Capitolo 11 Dinamica rotazionale ed equilibrio statico Materiale a uso didattico riservato esclusivamente all’insegnante. È vietata la vendita e la diffusione della presente opera in ogni forma, su qualsiasi supporto e in ogni sua parte, anche sulla rete internet. È vietata ogni forma di proiezione pubblica. 1

Capitolo 11 Dinamica rotazionale ed equilibrio statico L’equilibrio coinvolge più forze, la cui somma deve avere risultante nulla, ma dipende anche dal punto in cui queste forze sono applicate. Ad esempio, perché questa donna non cada, le forze esercitate sulle mani e sul piede a terra devono avere come risultante una forza uguale al suo peso totale; ma il peso totale deve anche essere distribuito fra gli appoggi nel modo giusto, altrimenti il suo corpo ruota e la donna non riesce a mantenere la posizione. Perché si abbia l’equilibrio è necessario che una nuova grandezza fisica, il momento torcente, si annulli. In questo capitolo introduciamo il concetto di momento torcente e mostriamo che si ha equilibrio solo se sia la risultante delle forze sia il momento torcente risultante sono nulli. Vedremo anche che cosa succede se il momento torcente risultante non è nullo. 2

Capitolo 11 - Contenuti Momento torcente. Momento torcente ed accelerazione angolare. Momento torcente nullo ed equilibrio statico. Centro di massa ed equilibrio. Applicazioni dinamiche del momento torcente.

Capitolo 11 - Contenuti Momento angolare o momento della quantità di moto. Conservazione del momento angolare. Lavoro rotazionale e potenza. La natura vettoriale del moto rotazionale.

1. Momento torcente Sappiamo dall’esperienza che è molto più facile svitare un bullone o aprire una porta girevole facendo forza il più lontano possibile dall’asse di rotazione. Ecco perché le chiavi inglesi hanno un manico lungo e le maniglie delle porte sono lontane dai cardini. FIGURA 1 Applicare un momento torcente a) Quando si usa una chiave inglese per svitare un bullone, la forza da esercitare è minore se la si applica in un punto lontano dal bullone. b) Analogamente, per aprire una porta girevole è necessaria una forza minore se si applica la forza in un punto più lontano dall’asse di rotazione.

1. Momento torcente Definiamo una quantità chiamata momento torcente, M, rispetto ad un punto (chiamato POLO), di una forza : M = r x F ovvero M e’ il prodotto vettoriale tra r (vettore spostamento rispetto al polo del punto di applicazione della forza) e la forza F . Nel SI si misura in N · m (newton per metri) Il momento torcente è proporzionale sia alla forza sia alla distanza dall’asse di rotazione.

1. Momento torcente Solo la componente tangenziale di una forza causa un momento torcente: Figura 2

1. Momento torcente Possiamo dare pertanto la definizione generale di momento torcente: = rF Nel SI si misura in N · m (newton per metri) Figura 3

2. Momento torcente e accelerazione angolare Per un oggetto di massa m in rotazione intorno a un asse a distanza r da quest’ultimo, quindi di moto circolare ma NON necessariamente uniforme, valgono le seguenti formule : vT = w r vr = 0     aT = r a ac = rw2 m aT + m ac = F

2. Momento torcente e accelerazione angolare Seconda legge di Newton: Se consideriamo un oggetto di massa m in rotazione intorno a un asse a distanza r da quest’ultimo, possiamo riformulare la seconda legge di Newton cioè, in altre parole, la seconda legge di Newton per il moto rotatorio:

2. Momento torcente e accelerazione angolare Anche in questo caso c’è un’analogia tra grandezze rotazionali e lineari.

3. Momento torcente nullo ed equilibrio statico Un oggetto è in equilibrio statico quando è in quiete - cioè non è soggetto a traslazioni o a rotazioni: La risultante della forza sull’oggetto è nulla: [5] Il momento torcente risultante è nullo: [6]

3. Momento torcente nullo ed equilibrio statico Siamo liberi di scegliere l’asse di rotazione più conveniente per i calcoli del nostro problema. FIGURA 5 Schema per il calcolo delle forze necessarie per l’equilibrio statico Due genitori sostengono una lunga tavola di legno su cui è seduto il loro bambino. I calcoli del testo sono svolti scegliendo l’asse di rotazione nell’estremo sinistro della tavola.

3. Momento torcente nullo ed equilibrio statico Quando le forze che agiscono su un oggetto hanno componenti orizzontali e verticali, l’oggetto è in equilibrio se le componenti x e y della forza risultante sono nulle e se anche il momento torcente risultante è nullo. FIGURA 6 Lampada in equilibrio statico Una lampada di massa m, montata su un muro, è sospesa a un’asta leggera e incurvata. L’asta è fissata alla parete con una vite in corrispondenza della base e, con un cavo orizzontale, a un’altezza V dalla base.

4. Centro di massa ed equilibrio Affinchè un oggetto sospeso sia in equilibrio, il suo centro di massa deve trovarsi nel punto di sospensione. FIGURA 7 Momento torcente nullo ed equilibrio L’asta sospesa è in equilibrio se il momento torcente risultante che agisce su di essa è nullo o, equivalentemente, se il centro di massa è esattamente nel punto di sospensione.

4. Centro di massa ed equilibrio Si può sfruttare questa proprietà per trovare il centro di massa di un oggetto. Basta sospenderlo per due o più punti e tracciare le verticali dai punti di sospensione: il centro di massa si trova alla loro intersezione. FIGURA 9 Il centro geometrico degli Stati Uniti Per determinare il centro di massa di un oggetto di forma irregolare, come questa sagoma di legno che rappresenta gli Stati Uniti, lo sospendiamo per due o più punti. Poiché all’equilibrio il centro di massa giace sempre sulla retta verticale che passa per il punto di sospensione, l’intersezione di due rette verticali fornisce la precisa posizione del centro di massa.

5. Applicazioni dinamiche del momento torcente Quando studiamo sistemi dotati di elementi traslanti e rotanti dobbiamo essere sicuri di aver considerato correttamente tutte le forze e i momenti torcenti. FIGURA 10 Una massa appesa a una carrucola a) Una massa m è appesa a una fune arrotolata su una carrucola di raggio R e massa mc. Quando la massa m viene lasciata libera di cadere, accelera verso il basso. I versi positivi del moto per questo sistema sono mostrati in (b) e in (c). In (c) il peso della carrucola agisce nel suo centro ed è diretto verso il basso; l’asse della carrucola esercita una forza verso l’alto di intensità uguale al peso della carrucola più la tensione del filo. Delle tre forze che agiscono sulla carrucola soltanto la tensione nella fune produce un momento torcente rispetto all’asse.

6. Moto rotazionale vettore E’ un moto circolare intorno ad un asse di rotazione Si definisce la velocita’ angolare w come un vettore

6. Momento angolare Definizione di momento angolare, L L  r x p = r x mv Nel SI si misura in kg m2/s [11] Per un corpo che ruota con velocita’ angolare w : L = I da cui segue che il modulo di L = Iw Nel caso di una particella che si muove su una traiettoria circolare di raggio r troviamo con pochi passaggi: [12]

6. Momento angolare Definizione di momento angolare, L, per una particella puntiforme L = rp sen  = rmv sen  Nel SI si misura in kg · m2/s FIGURA 12 Il momento angolare in un moto non circolare

6. Momento angolare La velocità di variazione del momento angolare in un moto rotazionale è   Seconda legge di Newton per il moto rotazionale

7. Conservazione del momento angolare Se il momento torcente risultante cui è sottoposto un sistema è nullo, il momento angolare del sistema è conservato. Il caso più interessante è quello dei sistemi che possono cambiare forma: Figura esempio svolto 11

7. Conservazione del momento angolare Se il momento d’inerzia diminuisce la velocità angolare aumenta, e il momento angolare resta invariato. Il momento angolare si conserva anche negli urti rotazionali. FIGURA 14 Un urto rotazionale Un disco lasciato cadere da fermo sul piatto di un giradischi che ruota costituisce un esempio di “urto rotazionale”. Poiché durante l’urto sono coinvolte solo forze interne, il momento angolare finale risulta uguale a quello iniziale.

8. Lavoro rotazionale e potenza Un momento torcente che si manifesta attraverso uno spostamento angolare compie un lavoro, proprio come una forza che si manifesta attraverso uno spostamento lineare: [17] Il teorema dell’energia cinetica resta valido.

8. Lavoro rotazionale e potenza La potenza è definita come il rapporto tra il lavoro e il tempo impiegato a compierlo, sia nel caso del moto rotazionale che in quello traslazionale. Potenza sviluppata da un momento torcente [19] Si noti anche qui l’analogia con il caso lineare:

9. La natura vettoriale del moto rotazionale Il vettore velocità angolare è diretto lungo l’asse di rotazione. Il segno è dato dalla regola della mano destra. FIGURA 16 La regola della mano destra per la velocità angolare La velocità angolare ω di una ruota che gira ha la direzione dell’asse di rotazione; il verso di ω è stabilito con la regola della mano destra.

9. La natura vettoriale del moto rotazionale Sempre la regola della mano destra ci dà la direzione del momento torcente. FIGURA 17 La regola della mano destra per il momento torcente Esempi di vettori momento torcente ottenuti utilizzando la regola della mano destra.

9. La natura vettoriale del moto rotazionale. La conservazione del momento angolare implica che il momento angolare totale intorno a un asse qualsiasi debba essere costante. Ecco perchè i giroscopi sono così stabili. FIGURA 19 Momento torcente in un giroscopio Un giroscopio in rotazione nel verso indicato ha un momento angolare iniziale diretto verso sinistra. Il momento torcente dovuto alla gravità è invece nel verso uscente dalla pagina.

Riepilogo del capitolo 11 Una forza applicata in modo da causare un’accelerazione angolare produce un momento di torsione. Momento torcente di una forza tangenziale Momento torcente in generale La seconda legge di Newton per la rotazione: Affinché un oggetto sia in equilibrio statico la forza totale e il momento torcente totale devono essere nulli. Un oggetto sospeso è in equilibrio quando il suo centro di massa è sulla verticale del punto di sospensione.

Riepilogo del capitolo 11 Nei sistemi in moto rotazionale e traslazionale la seconda legge di Newton va applicata separatamente. Momento angolare Per il moto tangenziale, In linea generale, Seconda legge di Newton: In assenza di un momento torcente risultante esterno il momento angolare di un sistema si conserva.

Riepilogo del capitolo 11 Lavoro compiuto da un momento torcente: Potenza: Le quantità rotazionali sono vettori che puntano lungo l’asse di rotazione; il loro verso è dato dalla regola della mano destra.