Capitolo 9 Quantità di moto e urti Materiale a uso didattico riservato esclusivamente all’insegnante. È vietata la vendita e la diffusione della presente opera in ogni forma, su qualsiasi supporto e in ogni sua parte, anche sulla rete internet. È vietata ogni forma di proiezione pubblica. 1

Capitolo 9 Quantità di moto e urti Quando la palla colpisce i birilli, nel sistema avvengono numerosi cambiamenti. I birilli, inizialmente fermi, si muovono, la palla cambia direzione e velocità. Ma c’è una grandezza fisica che non risente in alcun modo dell’urto: la quantità di moto totale del sistema. In questo capitolo introduciamo la quantità di moto, mostriamo come essa sia legata alla seconda legge di Newton e la utilizziamo per analizzare diverse situazioni di urto. 2

Capitolo 9 - Contenuti Quantità di moto. Quantità di moto e seconda legge di Newton. Impulso. Conservazione della quantità di moto. Urti anelastici. Urti elastici. Centro di massa.

1. Quantità di moto Definizione di quantità di moto, Nel SI si misura in kilogrammi per metri al secondo (kg m/s) La quantità di moto è un vettore; la sua direzione e il suo verso coincidono con quelli della velocità. [1]

1. Quantità di moto Variazione della quantità di moto: mv 2mv FIGURA 1 Variazione della quantità di moto Un orsetto di peluche e una palla di gomma, con la stessa massa m e la stessa velocità v verso il basso, cadono a terra. a) L’orsetto si ferma toccando il suolo: la variazione della sua quantità di moto è mv verso l’alto. b) La palla di gomma rimbalza verso l’alto con una velocità v: la variazione della sua quantità di moto è 2mv verso l’alto.

2. Quantità di moto e seconda legge di Newton La seconda legge di Newton così come l’abbiamo introdotta nel capitolo 5: è valida solo per oggetti di massa costante. Ne esiste una forma più generale, valida anche se varia la massa: [3]

3. impulso Definizione di impulso, Nel SI si misura in Newton per secondo (N·s = kg · m/s) L’impulso è un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza media. [5]

3. Impulso Possiamo riscrivere come Vediamo così che L’impulso è uguale alla variazione della quantità di moto. [6]

3. Impulso Perciò una forza elevata che agisce per un intervallo di tempo breve produce la stessa variazione di quantità di moto di una forza più piccola che agisce per un periodo più lungo. FIGURA 3 Colpire una palla da baseball Un battitore colpisce una palla e la rimanda indietro verso il lanciatore.

4. Conservazione della quantità di moto La forza risultante che agisce su un oggetto è uguale alla variazione della sua quantità di: Conservazione della quantità di moto Se la forza risultante che agisce su un oggetto è uguale a zero la sua quantità di moto si conserva, ovvero [8]

4. Conservazione della quantità di moto Forze interne ed esterne: Le forze interne agiscono tra gli oggetti che compongono un sistema. Come tutte le forze, intervengono sempre come coppie azione-reazione. Dato che tutte le coppie agiscono tra oggetti all’interno del sistema, la risultante delle forze interne è sempre nulla: Perciò la forza risultante che agisce su un sistema di oggetti non è altro che la somma delle forze esterne che agiscono su di esso.

4. Conservazione della quantità di moto Inoltre le forze interne non possono cambiare la quantità di moto di un sistema. Conservazione della quantità di moto per un sistema di oggetti: Se la risultante delle forze esterne che agiscono su un sistema è uguale a zero, la quantità di moto totale del sistema è conservata. In altre parole, Le quantità di moto dei singoli oggetti che compongono il sistema, però, possono variare.

4. Conservazione della quantità di moto Un esempio dell’effetto delle forze interne sul moto delle componenti di un sistema. Figura esempio svolto 4.

5. Urti anelastici Urto: situazione in cui due oggetti si colpiscono tra di loro. La durata dell’urto è abbastanza breve da permettere di trascurare le forze esterne. Urto anelastico: si conserva la quantità di moto ma non l’energia. Urto totalmente anelastico: quando gli oggetti restano attaccati dopo la collisione.

5. Urti anelastici Un urto totalmente anelastico: FIGURA 5 Due vagoni ferroviari si urtano e si agganciano l’uno all’altro Un vagone ferroviario in movimento urta contro un identico vagone fermo. Dopo l’urto, i vagoni rimangono agganciati l’uno all’altro e si muovono con la stessa velocità.

5. Urti anelastici Le quantità di moto e le velocità finali in funzione delle quantità di moto iniziali e delle masse: [10]

5. Urti anelastici Pendolo balistico: si può ottenere l’altezza h sfruttando la conservazione dell’energia meccanica dopo che l’oggetto si è attaccato al blocco. Figura esempio svolto 6.

5. Urti anelastici Negli urti in due dimensioni la conservazione della quantità di moto si applica separatamente a ogni componente: Figura esempio svolto 7.

6. Urti elastici Negli urti elastici si conservano sia la quantità di moto sia l’energia cinetica. Urto elastico unidimensionale: FIGURA 6 Un urto elastico fra due carrelli sulla rotaia a cuscino d’aria Nel disegno v1,f è verso destra (positiva), il che significa che m1 è maggiore di m2. In effetti, abbiamo scelto m1 = 2m2; utilizzando le equazioni [12] otteniamo v1,f = v0/3 e v2,f = 4v0/3. Se m1 fosse minore di m2, il carrello 1 rimbalzerebbe indietro verso sinistra e v1,f sarebbe negativa.

6. Urti elastici Abbiamo due equazioni (la conservazione della quantità di moto e la conservazione dell’energia) e due incognite (le velocità finali). Risolvendo in funzione delle velocità finali:

6. Urti elastici Gli urti elastici in due dimensioni sono risolvibili solo se si conoscono alcuni dati relativi allo stato finale, ad esempio la velocità finale di uno degli oggetti coinvolti: FIGURA 8 Urto elastico di due stone durante una partita di curling Il modulo della velocità della stone 2 dopo l’urto può essere calcolato utilizzando la conservazione dell’energia, mentre la direzione del moto può essere determinata utilizzando la conservazione della quantità di moto nelle direzioni x e y.

7. Centro di massa Il centro di massa di un sistema di masse è il punto in cui il sistema può essere messo in equilibrio in un campo gravitazionale uniforme. FIGURA 10 Il centro di massa di due oggetti Il centro di massa è più vicino all’oggetto di massa maggiore oppure è equidistante dai due oggetti se le loro masse sono uguali.

7. Centro di massa Centro di massa di due oggetti: [13] Il centro di massa è più vicino all’oggetto di massa maggiore.

7. Centro di massa Il centro di massa non si trova necessariamente all’interno dell’oggetto: FIGURA 11 La posizione del centro di massa In un oggetto con una distribuzione di massa continua e uniforme il centro di massa è situato nel centro geometrico dell’oggetto. In alcuni casi ciò significa che il centro di massa è in un punto al di fuori dell’oggetto.

7. Centro di massa Moto del centro di massa: Velocità del centro di massa Accelerazione del centro di massa [16] [17]

7. Centro di massa Il prodotto della massa totale per l’accelerazione del centro di massa è uguale alla risultante delle forze esterne: Seconda legge di Newton per un sistema di particelle Il centro di massa accelera come se fosse una particella puntiforme di massa M soggetta all’azione di una forza FIGURA 13 Centro di massa di un razzo che esplode Un razzo per fuochi d’artificio lanciato nel cielo segue una traiettoria parabolica (se si trascura la resistenza dell’aria) finché non esplode. Dopo l’esplosione il centro di massa continua il suo moto sulla stessa traiettoria parabolica finché qualcuno dei frammenti non tocca il suolo.

Riepilogo del capitolo 9 Quantità di moto: La quantità di moto è un vettore. Seconda legge di Newton: Impulso: L’impulso è un vettore. L’impulso è uguale alla variazione della quantità di moto. Se l’impulso è breve, la forza esercitata può essere molto grande.

Riepilogo del capitolo 9 Se la risultante delle forze esterne è nulla la quantità di moto è conservata. La risultante delle forze interne di un sistema è sempre uguale a zero. In un urto si può assumere che le forze esterne siano trascurabili. Urto anelastico: l’energia cinetica non si conserva. Urto totalmente anelastico: dopo la collisione gli oggetti proseguono attaccati.

Riepilogo del capitolo 9 Un urto unidimensionale avviene lungo una retta. In due dimensioni la conservazione della quantità di moto va applicata separatamente a ognuna delle due dimensioni. Urto elastico: l’energia cinetica si conserva. Centro di massa:

Riepilogo del capitolo 9 Centro di massa:

Riepilogo del capitolo 9 Moto del centro di massa: