Sistemi e Tecnologie della Comunicazione Complementi 1: numeri complessi

I numeri complessi La definizione dei numeri complessi nasce dalla esigenza di trovare una soluzione alla equazione: che non ha soluzione nel campo dei numeri reali L’utilizzo dei numeri complessi si rivela efficace nella trattazione matematica di svariati problemi fisici, tra i quali i fenomeni oscillatori (vibrazioni, correnti alternate, fluidodinamica, …) Vedremo una trattazione non rigorosa, ma sufficiente ad apprenderne l’utilizzo in pratica

Definizione Un numero complesso puo’ essere definito come un oggetto della forma dove a e b sono numeri reali, ed i e’ una quantita’ immaginaria tale che La trattazione rigorosa prevede la definizione di numero complesso come coppia di numeri reali, unitamente alla definizione delle operazioni come illustrate in seguito. Da qui segue che i**2 = -1. L’ultima affermazione (ancora dimostrabile come conseguenza della definizione) porta a considerare i numeri complessi come una estensione dei numeri reali.

Somma di numeri complessi La somma di due numeri complessi si definisce come la normale somma algebrica di binomi: La somma e’ dotata di elemento neutro: il numero complesso con a=b=0 : Per ogni numero complesso esiste il suo opposto:

Prodotto di numeri complessi Analogamente il prodotto di numeri complessi sara’: Il prodotto e’ dotato di elemento neutro: il numero complesso con a=1 e b=0 Per ogni numero complesso non nullo esiste l’inverso: Qua fare esempi di prodotto: (1-i)(3+4i), ma anche i*i i*i*i i*i*i*i i*i*i*i*i

Parte reale e parte immaginaria Dato il numero complesso si definisce parte reale il numero reale: e parte immaginaria il numero reale:

Coniugato di un numero complesso Dato un numero complesso a+ib, si definisce coniugato quel numero complesso che ha la stessa parte reale e parte immaginaria opposta: La somma ed il prodotto di un numero complesso con il suo coniugato hanno sempre come risultato un numero reale:

Rappresentazione geometrica Cosi’ come i numeri reali possono essere rappresentati come i punti di una retta, i numeri complessi (coppie di numeri reali) possono essere rappresentati come punti del piano, dove l’ascissa corrisponde alla parte reale, l’ordinata alla parte immaginaria del numero complesso Inserisci l’immagine a pag. 62 del Greco Vallabrega

Rappresentazione trigonometrica I punti del piano (quindi i numeri complessi) sono identificabili, oltre che dalle coordinate, dai due numeri: la lunghezza ρ: la distanza tra il punto e l’origine la rotazione θ: l’angolo che la congiungente con l’origine forma con l’asse delle ascisse (calcolato in senso antiorario) Nota: l’angolo e’ definito a meno di 2pi L’opposto e’ quello che sta dall’altra parte rispetto all’origine Il coniugato e’ quello che sta dall’altra parte rispetto all’asse delle ascisse

Modulo e fase di un numero complesso Si definisce modulo di un numero complesso la quantita’: che coincide con la distanza del punto rappresentativo del numero complesso nel piano dall’origine degli assi L’angolo θ si chiama argomento (o fase) del numero complesso:

Relazioni tra rappresentazioni Da quanto visto valgono le seguenti relazioni: Si puo’ quindi scrivere: Esempio con 1-i (mod(z) = sqrt(2), sin(theta)=-1/sqrt(2), cos(theta) = 1/sqrt(2), tg(theta)=1, theta = -pi/4 +2Kpi Nota: i numeri immaginari hanno theta = pi/2 – 3/2pi: in quel caso l’arcotangente non e’ definita (fa infinito) ma l’angolo si!

Moltiplicazione in rappresentazione trigonometrica La rappresentazione trigonometrica e’ comoda per il calcolo della moltiplicazione e della potenza: fare esempio con la rappresentazione normale e quella trigonometrica (1+I)*(1+ISQRT(3)) (theta = pi/4, pi/3)

Formula di Eulero Consideriamo la funzione di variabile reale: Si puo’ dimostrare che che si comporta come una funzione esponenziale con esponente immaginario, quindi possiamo scrivere: f(0) = 1 f(x1+x2) = f(x1)*f(x2) df/dx = if(x) int(f(x)dx) = 1/i f(x) Nell’esempio (per le derivate e gli integrali) si tartta i come una costante reale. Questo e’ improprio senza una dimostrazione valida. in realta’ queste uguaglianze si dimostrano utilizzando le successioni di funzioni

Formula di Eulero (2) Possiamo quindi scrivere un numero complesso nella forma: le formule per la moltiplicazione e la potenza possono essere scritte come: f(0) = 1 f(x1+x2) = f(x1)*f(x2) df/dx = if(x) int(f(x)dx) = 1/i f(x) Nell’esempio (per le derivate e gli integrali) si tartta i come una costante reale. Questo e’ improprio senza una dimostrazione valida. in realta’ queste uguaglianze si dimostrano utilizzando le successioni di funzioni