Liceo Scientifico Scorza Cosenza Ottavio Serra IRRAGGIAMENTO Il problema del corpo Nero e l'ipotesi dei quanti di Max Planck Liceo Scientifico Scorza Cosenza Maggio 2010 1 1

L’irraggiamento termico è la radiazione elettromagnetica di corpi incandescenti. In realtà ogni corpo, che non sia allo zero assoluto, irradia onde elettromagnetiche o, nel linguaggio quantistico, fotoni. Solo se la temperatura supera i 500 °C la radiazione comincia a essere percepita dall’occhio come luce, prima abbiamo radiazione infrarossa, poi giallo, verde blu, violetto, ultravioletto. 2 2

Si badi che la radiazione elettromagnetica non è necessariamente di tipo termico, cioè dovuta a disordine molecolare. Per esempio, un metallo bombardato con elettroni veloci emette, oltre a uno spettro di righe caratteristico del metallo, uno spettro continuo di tipo non termico, che è troncato bruscamente verso le alte frequenze o brevi lunghezze d’onda. 3 3

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Il grafico superiore rappresenta lo spettro di raggi X, indipendente dalla temperatura, l’inferiore l’irraggiamento termico misurato da Lummer e Pringsheim verso la fine dell’800 per due temperature diverse. 5 5

Potere emissivo e potere assorbente Il potere emissivo di un corpo è l’energia irradiata in tutte le direzioni nell’unità di tempo dall’unità di superficie nella banda di frequenza unitaria. Esso dipende dal corpo e dallo stato della superficie, dalla frequenza e dalla temperatura e si misura in J/s.m^2.Hz. 6 6

Il potere assorbente è invece un numero puro, rapporto tra l’energia assorbita e quella incidente. Il rapporto tra il potere emissivo e il potere assorbente non dipende dal corpo, è una funzione universale della frequenza e della temperatura. Se un corpo assorbe tutte le frequenze, si chiama corpo nero. Siccome il potere assorbente è <= 1, il rapporto tra potere emissivo e potere assorbente è il potere emissivo del corpo nero. 7 7

Che il potere emissivo del corpo nero non dipenda dal corpo, fu dimostrato da Kirckoff . Siano A e B due corpi neri (neri come la bocca di un forno, spiegare) immersi in un termostato a temperatura T di equilibrio. Se per qualche frequenza il corpo A emettesse più di B, tramite un filtro trasparente a quella frequenza l’energia fluirebbe da A verso B: A si raffredderebbe e B si riscalderebbe, contro il 2° principio della termodinamica. Il problema fu allora di determinare il potere emissivo del corpo nero E(T). Si vede che il potere emissivo E è legato alla densità di energia in una cavità portata all’equilibrio termico, u(,T), dalla relazione E=c.u, essendo c la velocità della luce (basta considerare le dimensioni fisiche delle grandezze). Più precisamente , ma ciò è più difficile da dimostrare, E,T)c/4).u(,T). 8 8

Il fatto che il rapporto tra il potere emissivo di un corpo e il suo potere assorbente dipende dal corpo implica che un corpo tanto più emette quanto più assorbe. In particolare, il corpo nero ha il massimo potere emissivo, a parità di frequenza e di temperatura. In generale, un corpo ha un potere assorbente selettivo, cioè dipendente dalla frequenza; ciò spiega il colore dei corpi.Vediamo ora come si calcola u(,T) e quindi E(,T)=(c/4). u(,T) . 9 9

Dalla teoria cinetica si sa che per ogni grado di libertà l’energia cinetica media è In un solido (monoatomico) gli atomi sono legati elasticamente da forze elettrostatiche, essi vibrano armonicamente e hanno un’energia potenziale media uguale a quella cinetica media 10 10

Questa formula è dovuta a Rayleigh e Jeans Siccome in media i quadrati di seno e coseno sono uguali e la somma è 1, ciascuno è 1/2, perciò Segue che Questa formula è dovuta a Rayleigh e Jeans 11 11

Potere emissivo in funzione della frequenza, secondo la legge classica 12 12

Il potere emissivo integrale, cioè su tutte le frequenze, conduce a un valore infinito e ciò è fisicamente assurdo. Vedi diapositiva precedente. Il problema fu risolto nel 1902 da Max Plank con l’ipotesi dei quanti di energia. 13 13

L’energia cinetica media risulta e infine Per basse frequenze si ottiene la formula classica di Rayleigh e Jeans, perché l’esponenziale a denominatore si approssima ad 1+h/KT 14 14

La costante h è il famoso quanto elementare d’azione, ora detta costante di Plank. K invece è la costante di Boltzman, rapporto tra la costante R dei gas perfetti e il numero di Avogadro. 15 15

L’irraggiamento integrale Dalla legge di Plank, integrando su tutte le frequenze, si ottiene l’irraggiamento totale L’integrale vale perciò 16 16

La legge era già stata trovata sperimentalmente da Stefan e Bartoli La legge era già stata trovata sperimentalmente da Stefan e Bartoli. Boltzman l’aveva dimostrata con considerazioni termodinamiche, ma la costante  l’aveva determinata empiricamente. Si noti la potenza della teoria dei quanti.Un’altra legge, nota come legge di Wien o dello spostamento, collega la frequenza di massimo potere emissivo alla temperatura della sorgente. Essa ora si può dedurre derivando la legge di Plank rispetto alla frequenza: si trova 17 17

Siccome dalla luce visibile ai raggi X è più semplice misurare lunghezze d’onda , la legge di Wien viene ricavata dalla legge di Plank espressa in funzione della lunghezza d’onda, come è illustrato nella fig 1, e derivando rispetto alla lunghezza d’onda. Si trova Questa legge consente di ricavare la temperatura di una sorgente misurando la lunghezza d’onda di massimo potere emissivo. 18 18

E’ fondamentale per trovare la temperatura delle stelle E’ fondamentale per trovare la temperatura delle stelle. Da notare che prima di Plank Wien aveva determinato empiricamente la costante 0,288 osservando come si spostava la lunghezza d’onda del massimo (misurata con uno spettroscopio) al variare della temperatura di un forno (misurata con un termometro a resistenza elettrica). Ma è chiaro che non si può infilare un termometro in una stella, per non parlare della bellezza della teoria quantistica. 19 19

Potere emissivo in funzione della lunghezza d’onda. Siccome c/, differenziando si ha E sostituendo nella legge di Plank Si noti il segno “ - “: se  aumenta,  diminuisce. 20 20

Oramai le verifiche sperimentali sono innumerevoli. In definitiva, La legge è in perfetto accordo con i dati sperimentali di Lummer e Pringsheim, come riportati nei grafici di fig 1 a pagina 4. Oramai le verifiche sperimentali sono innumerevoli. N.B. Sia che si consideri E(T), sia E(,T), l’area al di sotto del grafico (l’integrale da 0 a infinito) dà sempre la legge di Stefan con lo stesso valore della costante  21 21

Invece la legge di Wien, espressa in termini di frequenza, dà il massimo potere emissivo in corrispondenza di una riga spettrale diversa da quella che si ottiene in termini di lunghezza d’onda. Per esempio, per il Sole, temperatura della fotosfera di circa 6000 °K, il massimo potere emissivo cade nell’infrarosso se si calcola la frequenza, se invece si calcola la lunghezza d’onda cade nel visibile, precisamente a 4800 A°. E’ un caso che l’occhio umano (forse di tutti gli animali terrestri) ha la massima sensibilità per la luce giallo-verde? 22 22

Nota tecnica sui thermos. Un vaso Dewar (un thermos) deve isolare termicamente il contenuto dall’ambiente esterno. Perciò si richiede: doppia parete per evitare il passaggio di calore per conduzione, il vuoto nell’intercapedine per bloccare la convezione; e per impedire l’irraggiamento? La parete interna deve essere lucidata a specchio: trappola per fotoni. E il tappo ci vuole? 23 23

Bibliografia essenziale 1) S. Tolansky: “Introduzione alla fisica atomica”, Einaudi, Torino 1950. Livello universitario di media difficoltà 2) R. Becker: “Teoria dell’elettricità”, Sansoni, Firenze 1950. Livello universitario avanzato (2° volume, appendice G) 3) A. Manna: “Elementi di fisica atomica”, R.A.D.R., Padova 1972. Livello liceale. 4) J. Orear: “Fisica generale”, Zanichelli, Bologna 1973. Livello liceale. 24 24