Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management Lezione n° 9

Il modello di regressione lineare Introduzione ai modelli di regressione – Case Study Obiettivi Le ipotesi del modello La stima del modello La valutazione del modello Commenti

La classificazione dei clienti/prospect in termini predittivi Case Study – Club del Libro La classificazione dei clienti/prospect in termini predittivi 1

Il problema di analisi CAT 1 CAT n anzianità 1

L’obiettivo dell’analisi Prevedere la redditivita’ del socio fin dalle prime evidenze 1

redditività var. continua classi di redditività ( < 0 ; >= 0) L’impostazione del problema Redditività = ricavi - costi redditività var. continua classi di redditività ( < 0 ; >= 0) 1

Y : Redditività consolidata I dati di input Y : Redditività consolidata X : # ordini pagato ordini pagato rateale mensile sesso (dicotomica) area (dicotomiche) # liste 1

Il percorso di analisi Predisposizione Banca Dati Costruzione Var. Obiettivo Analisi Preliminari Stima del Modello Validazione Implementazione 1

Analisi preliminari lo studio della distribuzione lo studio della concentrazione la struttura di correlazione 1

Redditività var. continua L’impostazione del problema Redditività var. continua Regressione Lineare Redditività var. dicotomica Regressione Logistica 1

Il modello di regressione lineare Introduzione ai modelli di regressione – Case Study Obiettivi Le ipotesi del modello La stima del modello La valutazione del modello Commenti

I modelli di regressione Modelli di dipendenza per la rappresentazione di relazioni non simmetriche tra le variabili Y “variabile dipendente” (variabile target da spiegare) X1,…,Xp “variabili indipendenti” (variabili esplicative o regressori)

Il modello di regressione lineare Si vuole descrivere la relazione tra Y e X1,…,Xp con una funzione lineare se p=1  osservazioni in uno spazio a due dimensioni (i=1,…,n) se p>1  osservazioni in uno spazio a p+1 dimensioni (i=1,…,n)

Il modello di regressione lineare se p=1  spazio a due dimensioni  retta di regressione lineare semplice Y X

Il modello di regressione lineare se p>1  spazio a p+1 dimensioni  “retta” di regressione lineare multipla Y X1 X2

Il modello di regressione lineare Obiettivi Esplicativo - Stimare l’influenza dei regressori sulla variabile target. Predittivo - Stimare il valore non osservato della variabile target in corrispondenza di valori osservati dei regressori. Comparativo - Confrontare la capacità di più regressori, o di più set di regressori, di influenzare il target (= confronto tra modelli di regressione lineare diversi).

Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello n unità statistiche vettore colonna (nx1) di n misurazioni su una variabile continua (Y) matrice (nxp) di n misurazioni su p variabili quantitative (X1,…,Xp) la singola osservazione è il vettore riga (yi,xi1,xi2,xi3,…,xip) i=1,…,n

Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello Equazione di regressione lineare multipla i-esima oss. su Y i-esima oss. su X1 errore relativo all’i-esima oss. intercetta coefficiente di X1 La matrice X=[1,X1,…,Xp] è detta matrice del disegno.

Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello L’errore presente nel modello si ipotizza essere di natura casuale. Può essere determinato da: variabili non considerate problemi di misurazione modello inadeguato effetti puramente casuali La componente erratica rappresenta l’incapacità del modello di fornire una perfetta spiegazione dei valori effettivamente osservati.

Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello Errori a media nulla Errori con varianza costante (omoschedasticità) Errori non correlati (per ogni i≠j) Errori con distribuzione Normale * 1 – 3  hp deboli 1 – 4  hp forti

Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello Da un punto di vista statistico Y è un vettore aleatorio di cui si osserva una specifica realizzazione campionaria  hp sulla distribuzione X è una matrice costante con valore noto  no hp sulla distribuzione beta è un vettore costante non noto l’errore è un vettore aleatorio di cui si osserva una specifica realizzazione campionaria  hp sulla distribuzione

Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello in media Y può essere rappresentata come funzione lineare delle sole (X1,…,Xp) ogni osservazione di Y è uguale ad una combinazione lineare dei regressori con pesi=coefficienti beta + un termine di errore Difficilmente la relazione è valida per qualunque osservazione, più probabile che valga in media.

Il modello di regressione lineare La stima del modello Si vuole trovare la retta lineare migliore data la nuvola di punti Y X

Il modello di regressione lineare La stima del modello Equazione teorica  coefficienti non noti Equazione stimata  coefficienti stimati (una delle infinite rette possibili) stime dei coefficienti errore di previsione previsione

Il modello di regressione lineare La stima del modello Stimando la retta di regressione si commette un errore di previsione: Metodo dei Minimi Quadrati VALORE OSS. Y X ERRORE VALORE STIMATO

Il modello di regressione lineare La stima del modello Obiettivo  trovare la miglior approssimazione lineare della relazione tra Y e X1,…,Xp (trovare le stime dei parametri beta che identificano la “migliore” retta di regressione) Metodo dei minimi quadrati  lo stimatore LS è la soluzione al problema

Il modello di regressione lineare La stima del modello Lo stimatore dei Minimi Quadrati: LS è funzione di Y e X ha media ha varianza

Il modello di regressione lineare La stima del modello Proprietà dello stimatore LS non distorto consistente (se valgono certe hp su X’X) coincide con lo stimatore di max verosimiglianza sotto hp forti  BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) Consistenza vale sotto particolari ho sugli elementi di X’X  si ha consistenza sse gli elementi diagonali della matrice inversa di X’X vanno a 0 per n che va a infinito

Il modello di regressione lineare La stima del modello Scomposizione della varianza SST=SSE+SSM total sum of squares  variabilità di Y error sum of squares  variabilità dei residui model sum of squares  variabilità spiegata

Il modello di regressione lineare La stima del modello Indicatori sintetici di bontà del Modello R-quadro  OK valori alti R-quadro adjusted  OK valori alti Test F  OK p-value con valori bassi

Il modello di regressione lineare La stima del modello R-quadro= SSM/SST misura la % di variabilità di Y spiegata dal modello = capacità esplicativa del modello misura la variabilità delle osservazioni intorno alla retta di regressione. SSM=0 (R-quadro=0) il modello non spiega SSM=SST (R-quadro=1) OK R-quadro adjusted= [1-(1-SSM/SST)]/(n-1)(n-p-1) come R-quadro ma indipendente dal numero di regressori combina adattabilità e parsimonia

Il modello di regressione lineare La stima del modello Test F per valutare la significatività congiunta dei coefficienti ipotesi nulla statistica test valutazione  se p-value piccolo (rifiuto l’hp di coefficienti tutti nulli) il modello ha buona capacità esplicativa

Il modello di regressione lineare La stima del modello Indicatori di bontà del Modello Y Y Y X X X R-SQUARE=0.7 F con p-value piccolo

Il modello di regressione lineare La stima del modello Test t per valutare la significatività dei singoli coefficienti ipotesi nulla (j=1,…,p) statistica test valutazione  il coefficiente è significativo (significativamente diverso da 0) se il corrispondente p-value è piccolo (ossia, rifiuto l’ipotesi di coefficiente nullo)  il regressore a cui il coefficiente è associato è rilevante per la spiegazione del fenomeno