Modelli e Algoritmi della Logistica Lezione – 13 Formulazioni del Problema di Localizzazione ANTONIO SASSANO Università di Roma“La Sapienza” Dipartimento di Informatica e Sistemistica Roma, 25-11-99

Localizzazione degli Impianti - Formulazione Eventi elementari: Variabili n m Þ xj 1 - Impianto j attivato o non attivato Þ yij 1 - Cliente i assegnato all’impianto j Vincoli: - Un cliente puo’ essere assegnato ad un impianto solo se quest’ultimo è attivato yij < xj iÎ I jÎ J - Ogni cliente deve essere assegnato ad uno e un solo impianto å yij=1 iÎ I jÎ J

Localizzazione degli Impianti - Formulazione å yij =1 iÎ I jÎ J yij < xj iÎ I jÎ J P yij > 0 xj >0 iÎ I jÎ J Funzione Obiettivo: å fj xj + å å cij yij jÎ J iÎ I jÎ J min TEOREMA: Se fj>0 per ogni j allora ogni soluzione ottima (x*,y*) del problema (di PL) soddisfa la condizione x*j<1 [DIMOSTRARE]

å fj xj + å å cij yij å yij =1 iÎ I xj - yij > 0 iÎ I jÎ J FORMULAZIONE FORTE jÎ J iÎ I jÎ J å yij =1 iÎ I xj - yij > 0 iÎ I jÎ J yij > 0 xj >0 iÎ I jÎ J å fj xj + å å cij yij min FORMULAZIONE ALTERNATIVA å yij < |I|xj jÎ J iÎ I - I clienti (al piu’ | I |) possono essere assegnati solo ad un impianto attivato. Somma di | I | vincoli della formulazione forte

å fj xj + å å cij yij å yij =1 iÎ I å yij < |I|xj jÎ J (*) FORMULAZIONE DEBOLE å yij =1 iÎ I yij > 0 xj >0 iÎ I jÎ J å fj xj + å å cij yij min å yij < |I|xj jÎ J (*) TEOREMA: Se fj>0 per ogni j allora ogni soluzione ottima del problema (di PL) soddisfa all’uguaglianza i vincoli (*).

å fj xj + å å cij yij å yij =1 iÎ I å yij = |I|xj jÎ J (*) Grazie al teorema precedente possiamo scrivere: FORMULAZIONE DEBOLE 2 jÎ J iÎ I jÎ J å yij =1 iÎ I yij > 0 xj >0 iÎ I jÎ J å fj xj + å å cij yij min å yij = |I|xj jÎ J (*) E porre: xj = 1/ |I| å yij jÎ J iÎ I

å (fj / |I| ) å yij + å å cij yij Sostituendo alla variabile x l’espressione precedente otteniamo: jÎ J iÎ I jÎ J FORMULAZIONE DEBOLE 3 å (fj / |I| ) å yij + å å cij yij = min å å (cij+ fj / |I|) yij min å yij =1 iÎ I jÎ J yij > 0 iÎ I jÎ J TEOREMA: Per ogni indice iÎI abbiamo: y*ij=1 Û cij+ fj / |I|= min{cik+ fk / |I|} kÎ J

y*14= y*24= y*34= y*43= y*52= y*62= 1 Min {cik+ fk / |I|} [ ] 7 4 1 3 2 8 10 5 6 9 13 12 = ú û ù ê ë é f c kÎ J [ cik+ fk / |I| ] y*14= y*24= y*34= y*43= y*52= y*62= 1 å å (cij+ fj / |I|) y*ij=2/3+5/3+2/3+13/6+1=6+1/6