Tecnologie e tecniche della ripresa e della registrazione audio Corso 1 – 25 ore Unità didattica 2 – Notazione binaria ed esadecimale Materiale rilasciato sotto licenza Creative Commons – Attribuzione/Non Commerciale/Condividi allo stesso modo Si autorizza, in deroga al secondo punto, l’utilizzo per l’insegnamento

Decibel e cenni sull’aritmetica binaria ed esadecimale Le rappresentazioni esponenziali Notazione in base 10 Notazione in base 2 Notazione in base 16 Il byte e i suoi multipli Differenza tra Megabyte e Megabit

Le rappresentazioni esponenziali Tutti abbiamo imparato a contare, da bambini. E abbiamo imparato che dopo il 10 viene l’11, dopo il 20 viene il 21 e dopo il 99 vengono il 100 e il 101 Per inciso, questo è l’ordine dei numeri naturali, che vengono indicati con il simbolo N Abbiamo poi, più grandicelli, imparato l’elevazione a potenza dei numeri. Un numero viene moltiplicato per sé stesso più volte. Il numero di moltiplicazioni è la potenza cui si eleva il numero iniziale Ad esempio 10 x 10 = 100 ma anche 102 In questo modo, possiamo indicare, ad esempio, 100 come 102

Le rappresentazioni esponenziali Questo modo di indicare i numeri viene detto notazione esponenziale e risulta particolarmente utile per indicare numeri molto grandi Ad esempio, la velocità della luce è di circa 300.000.000 m/s. Risulta molto più comodo indicarla come 3 x 108 m/s Alcuni esempi: 150.000.000=15 𝑥 10 7 (distanza tra terra e sole in km, in realtà sarebbe più precisamente 149.600.00 km) 15.000.000.000=15 𝑥 10 9 (età in anni dell’universo dal Big Bang) 61.000.000.000.000.000.000.000=61 𝑥 10 21 (numero degli atomi in un centimetro cubo di oro)

Le rappresentazioni esponenziali Con lo stesso principio posso indicare anche numeri molto piccoli. Basta contare il numero di decimali dopo la virgola (non tutti: solo gli zeri e il primo numero diverso da zero) e assegnare a tale numero il segno meno: Esempi 𝑐𝑚 1=𝑚 0,01= 𝑚 1 𝑥 10 −2 𝑚𝑚 5=𝑚 0,005=𝑚 5 𝑥 10 −3 (lunghezza media di una grossa formica rossa) 𝜇𝑚 17=𝑚 0,000017=𝑚 17 𝑥 10 −5 (feci dell’acaro della polvere) A seconda di quante cifre voglio avere prima della virgola, posso anche indicare lo stesso numero in modi diversi: 𝜇𝑚 17=𝑚 17 𝑥 10 −5 =𝑚 1,7 𝑥 10 −4 =𝑚 170 𝑥 10 −6 La notazione scientifica prevede di scrivere i numeri in modo che prima della virgola ci sia sempre lo zero o un solo numero diverso da zero, quindi le feci dell’acaro della polvere verrebbero espresse come m 1,7 𝑥 10 −4

Operazioni con le rappresentazioni esponenziali La notazione esponenziale viene utilizzata ad esempio dalle calcolatrici tascabili, per indicare numeri troppo grandi o piccoli Naturalmente, posso anche decidere come esprimere un dato numero, in base all’unità di misura che voglio utilizzare Ad esempio, posso esprimere un tragitto stradale come 55 km, ma se voglio esprimerlo in metri, sarà più comodo scrivere 𝑚 55 𝑥 10 3 A volte si trovano, proprio per questo motivo, numeri espressi in notazione esponenziale in modo apparentemente illogico. Ad esempio 2,4567 𝑥 10 5 . Non sarebbe più comodo scrivere semplicemente 24567? Dipende

Operazioni con le rappresentazioni esponenziali Il fatto è che, ad esempio, per sommare tra loro due numeri in notazione esponenziale, è più comodo avere tutti e due i numeri con lo stesso esponente. Per questo motivo, a volte ci si può imbattere in numeri espressi con esponenti apparentemente «scomodi» È la vecchia storia di non sommare le mele con le pere: se voglio fare somma o sottrazione tra due numeri con esponente, mi conviene che l’esponente sia lo stesso Per quanto riguarda moltiplicazione e divisione, inoltre, la convenienza di esprimere un numero con l’esponente più alto possibile deriva dal fatto che per moltiplicare due numeri in notazione esponenziale si moltiplica i numeri e si somma gli esponenti

Operazioni con le rappresentazioni esponenziali Di converso, per dividere tra loro due numeri, si divide un numero per l’altro e si sottrae un esponente dall’altro Esempi 1 𝑥 10 3 𝑥 1 𝑥 10 5 =1 𝑥 10 3+5 = 1 𝑥 10 8 1,6 𝑥 10 12 𝑥 1,1 𝑥 10 4 = 1,6 𝑥 1,1 𝑥 10 12+4 =1,76 𝑥 10 16 2,56 𝑥 10 5 :1,28 𝑥 10 3 =(2,56 :1,28) 𝑥 10 5−3 =2 𝑥 10 2 Nota 1: le parentesi non sarebbero necessarie, ma chiariscono meglio il meccanismo Nota 2: Tutto ciò è possibile grazie alla proprietà dissociativa di somma e moltiplicazione

L’aritmetica cui siamo abituati Nelle slide precedenti a un certo punto ci siamo spinti dall’insieme dei numeri naturali N all’insieme dei numeri interi Z (ovvero abbiamo sconfinato nel campo dei numeri negativi) e poi siamo arrivati al campo dei numeri reali R, perché abbiamo cominciato a usare valori decimali e negativi Tornando però ai numeri naturali e alle scuole elementari, rispolveriamo gli esercizi propedeutici alle equivalenze che ci venivano fatti fare su unità, decine, centinaia, ecc. Che cosa vuol dire la serie di simboli «1536», ad esempio?

Notazione in «base 10» o decimale Se io scrivo 1536, posso scomporlo e interpretarlo come 1 migliaio + 5 centinaia + 3 decine + 6 unità Ripescando la notazione esponenziale di cui sopra, posso allora rappresentare 1536 come: 1 𝑥 10 3 +5 𝑥 10 2 𝑥 3 𝑥 10 1 +6 𝑥 10 0 (ricordando che qualsiasi numero elevato a zero è uguale a 1) La notazione in base 10 prevede, per l’appunto, 10 simboli da utilizzare per rappresentare qualsiasi numero I simboli sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Non esistono altri simboli in base 10 per rappresentare i numeri

Notazione in «base 10» o decimale Per questo motivo, se io scrivo «10», non uso un nuovo simbolo «10», ma una combinazione di due dei nove simboli disponibili, «1» e «0» Quando scrivo un numero superiore a 9, inconsciamente utilizzo una notazione basata su potenze di 10, contate usando quei dieci simboli Centinaia (102) Decine (101) Unità (100) Numero 2 5 25 3 4 7 347 Così, 25 significa 2 decine e 5 unità, ovvero 2 x 101 e 5 x 100 Analogamente, 347 significa 3 centinaia, 4 decine e 7 unità, ovvero 3 x 102 + 4 x 101 + 7 x 100

Notazione in «base 2» o binaria Poniamo a questo punto di avere a disposizione solo due simboli per rappresentare qualsiasi numero: «0» e «1» Nella notazione decimale usavamo, per le varie colonne, potenze di 10, ovvero del primo numero naturale superiore al massimo simbolo a disposizione Quale sarà, allora, il numero da elevare a potenza nelle varie «colonne», al posto di unità, decine ecc.? Ovviamente il 2. Le nostre colonne rappresenteranno potenze di 2, che verranno contate usando solamente «1» o «0»

Notazione in «base 2» o binaria Con questa notazione, i numeri vengono espressi da una successione di zeri e uno, a seconda che la corrispondente potenza di 2 «ci sia» o «non ci sia» Per la conversione, bisogna scomporre il numero in base 10 in tante potenze di 2 23 22 21 20 In base 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Es. 22= 1 𝑥 2 4 +0 𝑥 2 3 +1 𝑥 2 2 +1 𝑥 2 1 +0 𝑥 2 0 =10110

Notazione in «base 2» o binaria Come in base 10 si parla di unità, decine, centinaia per le potenze di 10, anche in base 2 ci sono dei nomi per le potenze di 2, o almeno per alcune di loro. Li vedremo alla fine della presentazione Per convertire in base 2 un numero in base 10, si utilizza il metodo delle divisioni successive 23 22 21 20 In base 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Notazione in «base 2» o binaria Per iniziare si scrive a sinistra il numero da convertire e a destra la base della notazione di destinazione: nel nostro caso «2» Si traccia poi un segno a croce e si esegue le divisioni, scrivendo a destra il resto Si prosegue sino a che l’ultimo quoziente è zero con resto 1 Il numero binario si legge in verticale nella colonna di destra, dal basso verso l’alto. 77 = 1001101

Notazione in «base 2» o binaria Facciamo la prova:

Notazione in «base 16» o esadecimale La notazione esadecimale ha base 16 e i simboli che possiamo utilizzare sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F La notazione esadecimale viene utilizzata in informatica anche perché una cifra esadecimale può essere fatta corrispondere, come vedremo a un «nibble» ovvero a quattro cifre binarie In campo musicale la notazione esadecimale viene utilizzata ad esempio per alcuni comandi MIDI di SysEx (System Exclusive), ovvero non «universali» ma dedicati alla singola macchina di una determinata marca e modello

Notazione in «base 16» o esadecimale Proviamo a costruire una tabella come abbiamo fatto per le notazioni decimale e binaria: Nella colonna «hex» contiamo quanti «160» stanno in ogni numero decimale Dopo il 9, usiamo le lettere. «10» decimale si indica con «A» e c0sì via

Notazione in «base 16» o esadecimale Quando arriviamo a «F», che in decimale vuol dire «15», ripartiamo a contare nella colonna del 161 Come nelle altre notazioni, per esprimere i numeri usiamo uno o più simboli Se per esempio scrivo, in esadecimale, «32», vedo nella tabella che in decimale intendo: 3 𝑥 16 1 +2 𝑥 16 0 =48+2=50

Notazione in «base 16» o esadecimale Altri esempi: 14hex = 20dec 1 𝑥 16 1 +4 𝑥 16 0 =16+4=20 22hex = 34dec (2 𝑥 16 1 +2 𝑥 16 0 =32+2=34) FFhex = 255dec (15 𝑥 16 1 +15 𝑥 16 0 =240+15=255)

Notazione in «base 16» o esadecimale La conversione da decimale a esadecimale si può fare con il metodo delle divisioni successive come per la conversione in binario Una caratteristica interessante dell’esadecimale è però il fatto che una cifra esadecimale può rappresentare esattamente quattro cifre binarie, ossia un nibble Infatti: 1hex = 1dec = 0001bin 9hex = 9dec = 1001bin 12hex = 18dec = 0001 0010bin 1Dhex = 29dec = 0001 1101bin FFhex = 255dec = 1111 1111bin Proviamo a dimostrare queste equivalenze!

Notazione in «base 16» o esadecimale Proviamo ora, come accennato, a convertire il numero 200 decimale in esadecimale Per prima cosa dividiamo il numero per 16 e prendiamo la parte intera del quoziente. In questo caso 12, che viene indicato dalla lettera «C» Poi moltiplichiamo la parte decimale (0,5) per la base (16) e otteniamo 8 Accostando le due cifre, il numero 200dec viene espresso in esadecimale come C8hex 200/16 = 12,5 -> C 0,5 x 16 = 8 -> 200dec = C8hex

Notazione in «base 16» o esadecimale Altro esempio: proviamo a convertire il numero 122 decimale in esadecimale Per prima cosa dividiamo il numero per 16 e prendiamo la parte intera del quoziente. In questo caso 7, che viene indicato dalla cifra «7» Poi moltiplichiamo la parte decimale (0,625) per la base (16) e otteniamo 10, rappresentato dalla lettera «A» Accostando i due simboli, il numero 122dec viene espresso in esadecimale come 7Ahex 122/16 = 7,625 -> 7 0,625 x 16 = 10 -> A -> 122dec = 7Ahex

Notazione in «base 16» o esadecimale La notazione esadecimale viene utilizzata come metodo «compatto» per esprimere numeri in notazione binaria Abbiamo detto in precedenza che un solo simbolo esadecimale, scelto tra i 16 simboli che vanno da «0» a «F», è sufficiente a rappresentare un «nibble», ovvero la situazione di quattro bit Con la notazione esadecimale diviene così possibile, ad esempio, rappresentare il valore di un byte (8 bit) con due soli simboli Sarà sufficiente dividere il byte in due nibble e rappresentare ciascuno dei nibble con una cifra esadecimale

Notazione in «base 16» o esadecimale Esempi Nella notazione esadecimale pura e semplice, il primo zero sarebbe inutile, ma dato che vogliamo rappresentare la situazione di un byte, dobbiamo avere sempre 8 cifre e, se necessario, aggiungere zeri prima delle cifre «significative» 01100001 = 61hex = 97dec 10100101 = A5hex = 165dec 01110011 = 73hex = 115dec 10111101 = BDhex = 189dec

Notazione in «base 16» o esadecimale Esempi Naturalmente, per convertire un numero dalla notazione esadecimale alla notazione decimale, è necessario moltiplicare ogni cifra per la potenza di 16 corrispondente alla posizione della cifra stessa: 61hex = 6 x 161 + 1 x 160 = 97dec A5hex = 10 x 161 + 5 x 160 = 165dec 73hex = 7 x 161 + 3 x 160 = 115dec BDhex = 11 x 161 + 13 x 160 = 189dec

Per finire: il bit e i suoi multipli Come abbiamo visto, il bit (binary digit, cifra binaria), che può avere solo lo stato «1» o «0», richiede quasi subito dei multipli per rappresentare cifre utili Abbiamo visto che esistono il nibble (gioco di parole con «bit», che può voler dire anche «morsettino», mentre «nibble» vuol dire «mordicchiata») di 4 bit, e il byte di 8 bit Al di sopra si comincia a parlare di word (parola) di 16, 32 o 64 bit In informatica si utilizzano però i multipli kilobyte, megabyte, ecc. oltre all’ingannevole megabit

Per finire: il bit e i suoi multipli Il megabit è infatti pari a 106 bit e non a 106 byte come il megabyte. Il megabit viene utilizzato per la velocità delle connessioni (e per farvi credere di andare 8 volte più veloci) L’unità di base, per motivi storici, resta comunque il byte, e i multipli fanno normalmente riferimento a questo A lato, una tabella con i multipli presenti e, presumibilmente futuri, dei bit, o meglio dei byte Simbolo Nome Valore in byte kB Kilobyte 103 MB Megabyte 106 GB Gigabyte 109 TB Terabyte 1012 PB Petabyte 1015 EB Exabyte 1018 ZB Zettabyte 1021 YB Yottabyte 1024

Cercate di mantenere l’equilibrio mentale… E non fatevi spaventare dai numeri. Buon lavoro!