Definizione di Flusso Il flusso è la quantità di materia che, nell’unità di tempo, passa attraverso una superficie. Nel caso di campo elettrico uniforme si potrà dire numero di linee per unità di superficie Il flusso aumenta se il campo elettrico aumenta. Il flusso attraverso una superficie perpendicolare al campo è massimo Il flusso attraverso una superficie parallela al campo è zero L’algoritmo che soddisfa queste condizioni è il prodotto scalare fra il vettore campo elettrico E e il vettore DA normale alla superficie

Flusso di un campo Infatti il flusso misura la densità delle linee di campo attraverso una superficie DFE = E DA cosq Il flusso attraverso una superficie chiusa è sempre nullo. a meno che all’ interno della superficie non vi sia una sorgente o un pozzo di campo: Si deve prestare attenzione alla direzione delle linee del campo che incidono sulla superficie chiusa. Il flusso è una densità di campo, quindi verificarsi che le linee si addensino o si diradino. Per le linee entranti il flusso è negativo mentre per le linee uscenti il flusso è positivo; il risultato netto è 0.

Teorema di Gauss Caso di una carica puntiforme:   Caso di una carica puntiforme: Il flusso Campo Elettrico attraverso una superficie infinitesima vale dFE= E dA cosq. Se la superficie è perpendicolare alle linee di campo cosq = 1 dFE= E dA Se la superficie è una sfera di raggio r il flusso sarà FE= E 4p r2 e se il campo vale E = kQ/r2 FE = kQ/r2x4p r2 = 4p kQ ponendo e0 = 1/4p k (permettività) avremo FE = Q/e0 le cariche situate fuori dalla sfera non contribuiscono al valore del flusso perché la superficie è chiusa.

Sfera di Gauss Dalla legge di Coulomb si trova che il campo creato a distanza r da una carica puntiforme Q è: E = Q / 4 p e0 r2 Per il teorema di Gauss il flusso del campo di un campo elettrico generato dalla carica q, interna ad una superficie chiusa, è dato dalla formula Se la carica è puntiforme, ragioni di simmetria ci suggeriscono di usare come superficie Gaussiana una superficie sferica. Infatti essendo il campo radiale il vettore E ed il vettore DA sono paralleli

Teorema di Gauss: caso di un filo Supponiamo di voler conoscere il campo elettrico generato da un filo carico infinito (densità di carica l). In questo caso costruire una sfera attorno al filo non darebbe nessun vantaggi, perché la simmetria del campo prodotto da un filo è cilindrico, quindi conviene costruire una superficie di Gauss cilindrica attorno al filo. Il flusso di campo E attraverso le basi è nullo poiché le linee di campo E ed il vettore superficie sono perpendicolari; mentre il flusso attraverso la superficie laterale vale: F = Eacosq = E(2prh)cosq. E la carica racchiusa all’interno della superficie è lh. Quindi per il teorema di Gauss E(2prh)= lh/e0 ovvero

Teorema di Gauss: campo generato da una lastra isolante Dal teorema di Gauss, il campo prodotto da una lastra carica infinita è dato da: Costruiamo una superficie chiusa cilindrica con le basi parallele alla distribuzione piana e la superficie laterale che attraversi la lamina (vedi figura). Per ragioni di simmetria si nota che il campo attraversa solo le basi del cilindro, le superfici laterali sono parallele al campo, quindi il flusso FE = (EA + EA) = 2EA Se la densità di carica è s allora si avrà: Si noti che il campo generato da una lastra uniformemente carica, per distanze finite, non dipende da r.

Campo elettrico di una superficie metallica carica Se volessimo calcolare il campo nei pressi di una superficie metallica molto grande, con densità di carica s, per il teorema di Gauss possiamo usare una superficie cilindrica come in figura. Essendo un metallo tutte le cariche sono addensate sul lato esterno della lastra. Le linee di campo attraversano una sola superficie di base attraversano una sola superficie di base e non attraversano la superficie laterale. Il flusso sarà FE = EA e il Teorema di Gauss sarà La differenza con il campo della lamina isolante è dovuta al fatto che all’interno del conduttore il campo elettrico E è 0.

Lavoro elettrico  

Energia potenziale Il lavoro meccanico fatto per spostare una carica q, in un campo elettrico E0 è pari, ed opposto, al lavoro che fa il campo elettrico wmecc = - wele . Quindi, il lavoro elettrico, come il lavoro meccanico, dipende solo dalle posizioni iniziali e finale della carica q (funzione di stato). Una carica q, immersa in un campo elettrico E0 , avrà una energia potenziale elettrica U(p), che dipenderà dalla posizione della carica. La differenza delle energie potenziali è il lavoro elettrico e dipenderà dalle relative posizioni e dal segno della carica U(A) – U(B) = wele Se una carica è posta all’infinito avremo una energia potenziale pari a zero U(∞) = 0. L’energia potenziale U(A) è il lavoro che una forza elettrica Fe = q0E deve fare per portare una carica da ∞ al punto A.

Potenziale L’energia potenziale, posseduta da una carica unitaria q0 posta nel punto p è U(p). Questa energia potenziale di pende dalla posizione e dalle cariche. Il potenziale elettrico V(p) = U(p)/q0 e naturalmente DV(p) = DU(p)/q0 dipende solo dalla posizione. Si definisce potenziale elettrico V, il potenziale generato da una carica Q e varia al variare della distanza dalla sorgente del campo, V(p) . La differenza di potenziale DV sarà anch’essa funzione posizione Vf – Vi = DV =- w/q La d.d.p. DV è il lavoro necessario per spostare una carica unitaria fra due punti, e può essere positiva o negativa. L’ unità di misura del potenziale è [J/C] e si chiama Volt (V) pertanto il campo elettrico E sarà definito come [V/m]. Per spostare un elettrone attraverso una differenza di potenziale di un volt è necessaria l’energia di un elettronvolt [eV] 1eV = (1.6 10-19 C) (1J/C) = 1,6 10-19 J

Calcolo del Potenziale Definizione di Lavoro Lavoro di un campo elettrico Calcolo integrale Relazione fra Lavoro e d.d.p. Se il campo è uniforme V = E s

Superfici equipotenziali Una superficie equipotenziale è il luogo geometrico dove il potenziale è uguale. La superficie può essere una reale o immaginaria. Spostare una particella carica su una superficie equipotenziale non costa lavoro. Una superficie equipotenziale è perpendicolare alle linee di forza

Potenziale di una carica puntiforme Si voglia spostare una carica q0 dal punto p (distante r dalla carica q) all’infinito radialmente rispetto a q. La definizione di potenziale richiede di fare l’integrale del prodotto scalare elementare E ds = E cosq ds Vf – Vi = - ∫E dr (fra 0 e ∞) Il potenziale è positivo quando la carica che lo determina è positiva

Potenziale di un dipolo elettrico Anche il potenziale V soddisfa il principio di sovrapposizione Nel punto p il potenziale sarà la somma dei potenziali dovuti alla carica (+) e alla carica (-) per r >> d r(-) – r(+) ~ d cos q e r(-) r(+) ~ r2 p = qd

Energia potenziale di più cariche fisse Per portare la prima carica dall’infinito alla posizione x non si compie nessun lavoro. Ma per spostare una seconda carica q2 dall’infinito alla posiziona a (x-d) si farà un lavoro (si deve vincere la repulsione) che sarà q2V dove V = q1/4pe0r è il potenziale generato da q1 quindi Per cariche uguali il Lavoro sarà positivo, per cariche diverse sarà negativo

Potenziale per un conduttore carico In un conduttore, l’eccesso di carica si distribuisce in modo che il potenziale all’interno e sulla superficie sia costante. Si è già visto che Siccome il campo elettrico all’interno deve essere 0 allora Vf = Vi In figura sono mostrati anche gli andamenti del campo e del potenziale interni ed esterni al conduttore. La curva del campo elettrico si ottiene derivando quella del potenziale. Se il corpo non è una sfera può succedere che ci sia una addensamento di carica (come succede in prossimità di cuspidi) dove le cariche si possono addensare fino a formare l’”effetto corona” - + E=0