La circonferenza Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO La circonferenza è il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato centro. Tale distanza si chiama raggio. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO L’equazione di una circonferenza con centro e raggio r è: Equazione in funzione del centro e del raggio. oppure, svolgendo i calcoli Equazione generale della circonferenza. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO ESEMPIO Scriviamo l’equazione della circonferenza che ha centro in C (2, -3) e raggio 4. Scriviamo l’equazione in funzione del centro di coordinate (p, q) e del raggio r Poiché nel nostro caso p = 2 ; q = -3 e r = 4, otteniamo Da cui, svolgendo i calcoli Si riesce a segnare il centro nella figura? Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO Viceversa: un'equazione di secondo grado in x e y della forma Rappresenta una circonferenza se e solo se In queste ipotesi, il centro della circonferenza ed il raggio sono dati dalle relazioni Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO ESEMPI L’equazione non rappresenta una circonferenza perché L’equazione è una circonferenza di centro e raggio Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO ESEMPIO L’equazione rappresenta una circonferenza? Scriviamola nella forma ottenuta dividendo entrambi i membri per 4. Tale equazione rappresenta una circonferenza, perché Essa ha centro in e raggio r = 2 Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO Le caratteristiche L’equazione di una circonferenza data nella forma è di secondo grado in x e y contiene sempre i termini x2 e y2 con coefficiente uguale a 1 non esiste il termine xy i coefficienti a e b dei termini di primo grado servono ad individuare la posizione del centro sono le seguenti: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO I casi particolari Al variare dei valori assunti dai parametri a, b, c dell’equazione abbiamo situazioni diverse: se a = 0, l’ascissa del centro vale 0 e quindi il centro della circonferenza appartiene all’asse delle ordinate se b = 0, l’ordinata del centro vale 0 e quindi il centro della circonferenza appartiene all’asse delle ascisse se c = 0, la circonferenza passa per l’origine Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO se a = 0 ∧ c = 0, la circonferenza ha il centro sull’asse y e passa per l’origine degli assi, in questo caso il raggio è l’ordinata del centro Se b = 0 ∧ c = 0, la circonferenza ha il centro sull’asse x e passa per l’origine degli assi, in questo caso il raggio è l’ascissa del centro Se a = 0 ∧ b = 0, ritroviamo l’equazione della circonferenza che ha origine nel centro degli assi Se poi anche c = 0, l’equazione assume la forma x2 + y2 = 0 che rappresenta una circonferenza con centro nell’origine e raggio nullo; in questo caso la circonferenza si riduce ad un punto, il suo centro. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO è una circonferenza che ha centro sull’asse delle ascisse perché manca il termine in y ESEMPI È una circonferenza che ha centro nell’origine perché mancano i termini di primo grado. C È una circonferenza che ha centro sull’asse delle ordinate perché manca il termine in x e passa per l’origine perché manca il termine noto. C Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFEREZA Per trovare l’equazione di una circonferenza sono necessarie e sufficienti tre informazioni indipendenti; in particolare: Se si conoscono le coordinate (p, q) del centro e la misura r del raggio, la sua equazione è Se si conoscono le coordinate di tre punti, basta sostituire tali coordinate nell’equazione generale della circonferenza e risolvere il sistema ottenuto. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFEREZA ESEMPIO Determiniamo l’equazione della circonferenza di centro C (1, 2) passante per A (0, 4) Possiamo risolvere il problema in due modi: 1° METODO (Geometrico) Calcoliamo il raggio della circonferenza corrispondente al segmento CA: A C L’equazione della circonferenza è allora: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFEREZA 2° METODO (Algebrico) Scriviamo il sistema: L’ascissa del centro vale 1 L’ordinata del centro vale 2 La circonferenza passa per A Il sistema risolto dà: L’equazione è dunque Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFEREZA ESEMPIO Scriviamo l’equazione della circonferenza che passa per i punti: A (-4, 0), B (-1, -1), C (0, 2) Per tre punti non allineati passa una sola circonferenza. Possiamo verificare il non allineamento dei punti mediante la rappresentazione dei punti nel piano cartesiano. A C B Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFEREZA Scriviamo il sistema sfruttando la condizione di appartenenza di un punto a una circonferenza: Passaggio per A Passaggio per B Passaggio per C Risolvendo il sistema abbiamo: A C B La circonferenza ha dunque equazione Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

POSIZIONI RECIPROCHE DI UNA CIRCONFERENZA E UNA RETTA Una retta rispetto ad una circonferenza si dice: secante se le due curve hanno due punti di intersezione distinti; tangente se le due curve hanno un solo punto in comune; esterna se le due curve non si intersecano. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.