COLLEGIO GEOMETRI E GEOMETRI LAUREATI DELLA PROVINCIA DI MILANO Corso di preparazione all'Esame di Stato per l'abilitazione alla professione 22-06-2009 Estimo – Relatore: Antonio Ivan Orsenigo

Programma 1 - Richiami di matematica finanziaria 2 - Estimo generale: teoria delle stime 3 - Relazione di stima; stima dei fabbricati 4 - Stima dei fabbricati (seguito) 5 – Estimo legale

Richiami di Matematica Finanziaria Il calcolo finanziario è utilizzato per rendere omogenei tra loro valori che si verificano in epoche diverse. L’interesse è il prezzo d’uso del capitale. Il tasso (o saggio) d’interesse rappresenta il rendimento dell’unità di moneta nell’unità di tempo, cioè quanto rende un euro in un anno.

Il tasso di interesse: caratteri L’ammontare del tasso di interesse dipende: dal rischio dell’investimento dalla durata dell’investimento dal mercato dei capitali da scelte di natura politica e/o economica

Interesse semplice   L'interesse viene detto semplice quando gli interessi che maturano su un dato capitale in un certo tempo non si trasformano essi stessi in capitale, quindi non generano a loro volta interessi.  I = Co* r * t Si utilizza solitamente per investimenti che hanno durata minore o uguale ad un anno. Legenda: I  = ammontare dell’interesse Co = Valore del capitale iniziale r = saggio o tasso d'interesse, viene espresso generalmente in termini % t = tempo d'impiego del capitale, può essere espresso in gg/360; gg/365, in mm/12.

Montante ad Interesse semplice   Rappresenta la somma tra il valore del capitale iniziale e dei relativi interessi maturati in un certo periodo di tempo:  M = Co + I  M = Co + Co* r * t M = Co * (1 + r * t) Legenda: M = montante di un capitale I  = ammontare dell’interesse Co = Valore del capitale iniziale r = saggio o tasso d'interesse, viene espresso generalmente in termini % t = tempo d'impiego del capitale, può essere espresso in gg/360; gg/365, in mm/12.

M = R * (n + r ----------) Accumulazione a fine anno di rate infrannuali (mensili, bimestrali, ecc.) Rappresenta la sommatoria riferita a fine anno dei montanti di rate che si manifestano con regolarità (ad esempio canoni di locazione) e che possono essere anticipate o posticipate rispetto al periodo di riferimento. Per tale operazione si utilizza la seguente formula: n  1 M = R * (n + r ----------) 2 Legenda:  M = sommatoria a fine anno dei montanti di rate infrannuali R  = ammontare della singola rata n = numero delle rate r = saggio o tasso d'interesse, viene espresso generalmente in termini % +1 = se la rata è anticipata -1 = se la rata è posticipata

Interesse composto: caratteri   L'interesse si dice composto quando gli interessi maturati su un capitale in un certo tempo si sommano al capitale che li ha prodotti, generando, a loro volta, degli interessi. L'interesse composto si suddivide in:  interesse composto discontinuo annuo: gli interessi si sommano al capitale che li ha prodotti alla fine di ogni anno;  interesse composto convertibile: gli interessi si sommano al capitale che li ha prodotti più volte all'anno (semestralmente, trimestralmente, ecc. ecc.); interesse composto continuo o matematico: ad ogni istante gli interessi si sommano al capitale che li ha prodotti, non ha utilità pratica.

Interesse composto: calcolo Il valore di un capitale investito per un numero (n) di anni, si determina: Cn = Co * qn Legenda: Cn = montante di un capitale investito per (n) anni ad interesse composto Co = Valore del corrispondente capitale iniziale q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = durata dell’investimento del capitale in anni

Interesse composto: valore attuale Il valore attuale di un capitale futuro disponibile tra un certo numero (n) di anni, si determina: Cn 1 Co = --------- = Cn * ----- qn qn Legenda: Cn = Montante di un capitale investito per (n) anni ad interesse composto Co = Valore del corrispondente capitale iniziale q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = durata dell’investimento del capitale in anni

Le rendite Le rendite sono valori che si presentano con una certa regolarità, possono essere: Annualità = si verificano ogni anno, ad esempio il pagamento di una borsa di studio Poliannualità = si verificano ogni (n) anni, ad esempio il reddito ottenuto dal taglio di un bosco

Le annualità: classificazione Le annualità sono valori che si verificano ogni anno, possono essere: Costanti = sono tutte uguali tra loro Variabili = sono diverse di anno in anno Limitate = si manifestano solo per un numero limitato di anni (n) Illimitate = si manifestano per un numero illimitato di anni. Illimitato dal punto di vista economico (Infinito economico 80-100 anni) Anticipate = si verificano all’inizio di ogni anno considerato Posticipate = si verificano alla fine di ogni anno considerato

Le annualità: calcoli da svolgere Dal punto di vista matematico, interessa determinare la loro: An = Accumulazione finale = si tratta di portare il valore di tutte le annualità alla fine del periodo considerato, non si può realizzare per le annualità illimitate Ao = Accumulazione iniziale = si tratta di portare il valore di tutte le annualità all’inizio del periodo considerato. Am = Accumulazione intermedia = si tratta di portare il valore di tutte le annualità ad un anno (m) intermedio nel periodo considerato.

Annualità costanti limitate posticipate - An Accumulazione finale Accumulazione finale di annualità (a) costanti limitate posticipate: qn -1 An = a * ----------- r Legenda: An = Accumulazione finale a = Valore della singola annualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero delle rate annuali

Annualità costanti limitate posticipate - Ao Accumulazione iniziale Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti limitate posticipate: qn –1 1 A0 = a * ----------- * ------ r qn Legenda: A0 = Accumulazione iniziale a = Valore della singola annualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero delle rate annuali

Annualità costanti limitate posticipate - Am Accumulazione intermedia Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti limitate posticipate: qn –1 1 qn –1 1 Am = a * ----------- * ------ * qm = a * ----------- * ------ r qn r qn-m Legenda: Am = Accumulazione delle annualità riferite all’anno (m) a = Valore della singola annualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero delle rate annuali m = anno a cui si riferisce l’accumulazione

Annualità costanti limitate anticipate - An Accumulazione finale Accumulazione finale di annualità (a) costanti limitate anticipate: qn -1 An = a * q * ----------- r Legenda: An = Accumulazione finale a = Valore della singola annualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero delle rate annuali

Annualità costanti limitate anticipate - Ao Accumulazione iniziale Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti limitate anticipate: qn –1 1 An = a * q * ----------- * ------ r qn Legenda: A0 = Accumulazione iniziale a = Valore della singola annualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero delle rate annuali

Annualità costanti limitate anticipate - Am Accumulazione intermedia Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti limitate anticipate: qn –1 1 qn –1 1 Am = a * q * ----------- * ------ * qm = a * q * ----------- * ------ r qn r qn-m Legenda: Am = Accumulazione delle annualità riferito all’anno (m) a = Valore della singola annualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero delle rate annuali m = anno a cui si riferisce l’accumulazione

Ammortamento dei capitali: generalità Ammortamento dei capitali: calcolo della rata annuale Si tratta delle operazioni finanziarie legate ai mutui ipotecari. Solitamente interessa determinare l’ammontare della rata periodica di mutuo e/o il valore di un mutuo residuo. In questa sede possiamo solo riferirci al mutuo a tasso costante, ipotizzando il pagamento di rate posticipate (se esse avessero scadenza diversa ci si deve adeguare). Si ragiona come se si operasse con rate annue costanti posticipate limitate qn –1 qn –1 r qn Ao = a * --------- da cui M = R * -------- ---> R = M -------- r qn r qn qn –1 Legenda: Ao = Accumulazione iniziale delle annualità M = ammontare della somma mutuata a = Valore della singola annualità R = valore della rata annua q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero dei pagamenti annuali

Ammortamento dei capitali: caso generale Se le rate fossero di tipo semestrale, quadrimestrale, trimestrale, bimestrale o mensile, si dovrebbe adattare la formula precedente (1 + r/x)xn –1 (r/x) * (1 + r/x)xn M = R * ---------------------- quindi R = M * --------------------- (r/x) * (1 + r/x)xn (1 + r/x)xn –1 Legenda: M = ammontare della somma mutuata R = valore della rata annua r = saggio o tasso d'interesse n = numero degli anni del mutuo x = numero dei pagamenti infrannuali

Annualità costanti illimitate posticipate - Ao Accumulazione iniziale Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti illimitate posticipate: a Bf A0 = ------ attenzione  V0 = ----- r rc Legenda: A0 = Accumulazione iniziale V0 = valore medio di mercato a = Valore della singola annualità Bf = beneficio fondiario q = (1 + r) rc = tasso di capitalizzazione r = saggio o tasso d'interesse

Annualità costanti illimitate posticipate - Am Accumulazione intermedia Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti illimitate posticipate: a Am = ------ * qm r Legenda: Am = Accumulazione delle annualità riferite all’anno (m) a = Valore della singola annualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse m = anno a cui si riferisce l’accumulazione

Annualità costanti illimitate anticipate - Ao Accumulazione iniziale Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti illimitate anticipate: a * q A0 = ------ r Legenda: A0 = Accumulazione iniziale a = Valore della singola annualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse

Annualità costanti illimitate anticipate - Am Accumulazione intermedia Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti illimitate posticipate: a * q Am = --------- * qm r Legenda: Am = Accumulazione delle annualità riferite all’anno (m) a = Valore della singola annualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse m = anno a cui si riferisce l’accumulazione

Le poliannualità: classificazione Le poliannualità sono valori che si verificano ogni (n) anni, possono essere: Costanti = sono tutte uguali tra loro Variabili = sono diverse tra loro Limitate = si manifestano solo per un numero limitato di turni (t) Illimitate = si manifestano per un numero illimitato di turni. Illimitato dal punto di vista economico (Infinito economico 80-100 anni) Anticipate = si verificano all’inizio di ogni turno considerato Posticipate = si verificano alla fine di ogni turno considerato

Le poliannualità: calcoli da svolgere Dal punto di vista matematico interessa determinare la loro: Atn = Accumulazione finale = si tratta di portare il valore di tutte le poliannualità alla fine del periodo considerato, non si può realizzare per le poliannualità illimitate A0 = Accumulazione iniziale = si tratta di portare il valore di tutte le poliannualità all’inizio del periodo considerato. Am = Accumulazione intermedia = si tratta di portare il valore di tutte le poliannualità ad un anno (m) intermedio nel periodo considerato.

Poliannualità costanti limitate posticipate - Atn Accumulazione finale Accumulazione finale di poliannualità (P) costanti limitate posticipate: qtn -1 Atn = P * ----------- qn -1 Legenda: Atn = Accumulazione finale P = Valore della singola poliannualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva t = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità

Poliannualità costanti limitate posticipate – Ao Accumulazione iniziale Accumulazione iniziale di poliannualità (P) costanti limitate posticipate: qtn –1 1 Ao = P * ----------- * ------ qn -1 qtn Legenda: A0 = Accumulazione iniziale P = Valore della singola poliannualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva t = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità

Poliannualità costanti limitate posticipate –Am Accumulazione intermedia Accumulazione intermedia di poliannualità (P) costanti limitate posticipate: qtn - 1 1 qtn –1 1 Am = P * ----------- * ------ * qm = P * ----------- * ------ qn - 1 qtn qn - 1 qn-m Legenda: Am = Accumulazione delle poliannualità riferito all’anno (m) P = Valore della singola poliannualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva t = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità

Poliannualità costanti limitate anticipate - Atn Accumulazione finale Accumulazione finale di poliannualità (P) costanti limitate anticipate: qtn -1 Atn = P * qn * ----------- qn -1 Legenda: Atn = Accumulazione finale P = Valore della singola poliannualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva t = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità

Poliannualità costanti limitate anticipate - Ao Accumulazione iniziale Accumulazione iniziale di poliannualità (P) costanti limitate anticipate : qtn –1 1 An = P * qn * ----------- * ------ qn -1 qtn Legenda: A0 = Accumulazione iniziale P = Valore della singola poliannualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva t = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità

Poliannualità costanti limitate anticipate - Am Accumulazione intermedia Accumulazione intermedia di poliannualità (P) costanti limitate anticipate: qtn –1 1 qtn –1 1 Am = P * qn * ----------- * ------ * qm = P * qn * ---------- * ------ qn – 1 qtn qn – 1 qtn-m Legenda: Am = Accumulazione delle poliannualità riferita all’anno (m) P = Valore della singola poliannualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva t = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità m = anno a cui si riferisce l’accumulazione

Poliannualità costanti illimitate posticipate - Ao Accumulazione iniziale Accumulazione iniziale di poliannualità (P) costanti illimitate posticipate: P An = ----------- qn -1 Legenda: A0 = Accumulazione iniziale P = Valore della singola poliannualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva

Poliannualità costanti illimitate posticipate - Am Accumulazione intermedia Accumulazione intermedia di poliannualità (P) costanti illimitate posticipate: P Am = ----------- qm qn - 1 Legenda: Am = Accumulazione delle poliannualità riferito all’anno (m) P = Valore della singola poliannualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva

Poliannualità costanti illimitate anticipate - Ao Accumulazione iniziale Accumulazione iniziale di poliannualità (P) costanti illimitate anticipate: P * qn An = ----------- qn -1 Legenda: A0 = Accumulazione iniziale P = Valore della singola poliannualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva

Poliannualità costanti illimitate anticipate - Am Accumulazione intermedia Accumulazione intermedia di poliannualità (P) costanti illimitate anticipate: P * qn Am = ---------- qm qn - 1 Legenda: Am = Accumulazione delle poliannualità riferito all’anno (m) P = Valore della singola poliannualità q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva