L’ERRORE NELL’ANALISI QUANTITATIVA Ogni misura quantitativa è soggetta ad un errore sperimentale e di conseguenza esiste una incertezza nel risultato che non può mai essere completamente eliminata: siccome un dato quantitativo non ha valore se non è accompagnato da una stima dell’errore associato, è necessario valutare questa incertezza. Poiché un singolo risultato non fornisce informazioni sull’incertezza, un’analisi viene normalmente effettuata su di una serie di replicati (aliquote di uno stesso campione analizzate esattamente nello stesso modo). Dall’insieme dei replicati si ottengono: Un valore “migliore” per il risultato dell’analisi, rappresentato dalla media aritmetica dei replicati: Una misura dell’incertezza legata al risultato dell’analisi, rappresentata dalla dispersione dei dati e generalmente espressa attraverso parametri quali la deviazione standard, la varianza o il coefficiente di variazione.

PRECISIONE La precisione (o riproducibilità) di una misura esprime il grado di concordanza fra misure ripetute di uno stesso campione – ovvero la dispersione dei dati rispetto al loro valore medio. Dal punto di vista sperimentale, la sua determinazione è abbastanza semplice poiché una stima della precisione di un’analisi si può ottenere direttamente dalla misura dei replicati. La precisione di una misura sperimentale è sempre positiva e viene espressa da: Deviazione standard del campione Varianza Coefficiente di variazione (in genere preferito in quanto permette di avere una indicazione diretta dell’importanza dell’incertezza rispetto al valore della misura) s2

Ea=Xmax+Xmin 2 Er= Ea/ valore mis Ea=val.mis x Er ACCURATEZZA L’accuratezza di una misura indica la vicinanza del valore ottenuto (generalmente espresso attraverso la media) al valore vero. Dal punto di vista sperimentale, la determinazione dell’accuratezza di una misura non è sempre facile, poiché il valore “vero” della grandezza da misurare potrebbe non essere noto. In tal caso è necessario utilizzare un valore “accettato” o usare altri criteri di valutazione. L’accuratezza di una misura viene espressa in termini assoluti o relativi attraverso l’errore (il segno dell’errore indica se si ha una sovrastima od una sottostima): Ea=Xmax+Xmin 2 Er= Ea/ valore mis Ea=val.mis x Er Errore (o errore assoluto) Errore relativo (anche in questo caso il dato relativo permette di avere maggiori informazioni, poiché indica direttamente l’importanza dell’errore). Altre unità comunemente usate per l’errore relativo sono le parti per mille o le parti per milione (ppm)

PRECISIONE vs. ACCURATEZZA Precisione ed accuratezza sono indipendenti fra di loro; misure precise possono essere poco accurate e viceversa. Elevate precisione ed accuratezza Bassa precisione ed accuratezza Elevata precisione, bassa accuratezza Bassa precisione, elevata accuratezza

TIPI DI ERRORE Gli errori sperimentali possono essere suddivisi in grossolani, sistematici e casuali. Questi errori hanno spesso origini diverse fra di loro → è fondamentale identificare il tipo di errore in una misura poiché da esso dipende il trattamento del dato ottenuto. L’errore grossolano deriva da occasionali errori macroscopici compiuti durante la procedura analitica e non è trattabile in modo sistematico. Spesso è molto evidente ed esistono criteri statistici per stabilire se un dato apparentemente aberrante all’interno di una serie di misure (“outlier”) sia dovuto o non ad un errore di questo tipo. L’errore sistematico (o determinato) è unidirezionale e fisso per una serie di misure effettuate nelle stesse condizioni sperimentali ed influenza l’accuratezza di una misura. Almeno in linea di principio, esso può essere corretto (correzioni teoriche, calibrazione dello strumento, uso di standard o di un bianco, ecc.). L’errore casuale (o indeterminato) è l’errore associato ad una misura derivante dalle limitazioni naturali insite nelle misure fisiche, ed influenza la precisione di una misura. Esso può assumere valori positivi o negativi e non può essere eliminato. Il suo effetto sul risultato di una misura può essere però valutato in quanto l’errore casuale può essere studiato mediante un approccio di tipo statistico.

ERRORE SISTEMATICO Gli errori sistematici hanno un valore definito ed una causa di solito determinabile, ed agiscono nello stesso modo su di ogni misura replicata. Le loro cause principali sono: Errori strumentali: derivano, fra le altre cose, da malfunzionamenti nella strumentazione, errori nella calibrazione delle apparecchiature utilizzate, esecuzione delle misure in condizioni non appropriate. Errori di metodo: rappresentano la forma di errore sistematico più difficile da individuare e derivano dal comportamento chimico o fisico non ideale dei reagenti o delle reazioni durante l’analisi. Esempi tipici sono la lentezza o l’incompletezza di alcune reazioni, l’instabilità di alcune specie, la non perfetta specificità dei reagenti, il verificarsi di reazioni secondarie che interferiscono con quella principale. Errori personali: si possono avere tutte le volte che all’operatore viene richiesta una valutazione soggettiva per determinare il valore di una grandezza (ad esempio la lettura di un indicatore o l’osservazione di un cambiamento di colore). Un’altra possibile origine è rappresentata dal pregiudizio dell’operatore (spesso involontario) nella lettura di un risultato numerico.

EFFETTO DELL’ERRORE SISTEMATICO Errore sistematico costante: il valore dell’errore è costante e non dipende dalla quantità misurata Errore sistematico proporzionale: aumenta o diminuisce in proporzione alla quantità misurata Gli errori sistematici possono anche essere composti, cioè risultare dalla somma di errori sistematici costanti e proporzionali. L’effetto dell’errore sistematico sulla analisi presenta un andamento opposto: - per un errore sistematico costante, l’errore relativo è inversamente proporzionale alla quantità da determinare (è maggiore per campioni più piccoli e diminuisce aumentando la dimensione del campione) - per un errore sistematico proporzionale l’errore relativo è costante, indipendente dalla quantità di campione. Errore sistematico proporzionale (positivo) Nessun errore sistematico Valore sperimentale Errore sistematico costante (positivo) Valore vero I due tipi di errori sistematici possono essere differenziati confrontando i risultati di analisi effettuate variando la quantità di campione

CORREZIONE DELL’ERRORE SISTEMATICO Gli errori sistematici strumentali e quelli dovuti alle interferenze da parte della matrice del campione sono in genere corretti utilizzando opportune tecniche di calibrazione (ad esempio, utilizzando il metodo delle aggiunte standard). Gli errori sistematici personali possono essere minimizzati attraverso il controllo delle operazioni effettuate e la scelta del metodo analitico. Gli errori sistematici di metodo sono i più difficili da rivelare in quanto per la loro individuazione è necessario conoscere il valore “vero” del risultato dell’analisi. Alcune procedure utilizzabili sono le seguenti: Utilizzo di materiali standard di riferimento reperibili in commercio (es. presso il National Institute of Standards and Technology – NIST): consistono in materiali naturali di varia natura (o eventualmente ottenuti per sintesi in modo da riprodurne al meglio la composizione) contenenti uno o più analiti a concentrazione nota. Essi permettono quindi non solo di effettuare l’analisi, ma anche di riprodurre le eventuali interferenze dovute alla matrice del campione. La concentrazione dei componenti nei materiali standard di riferimento viene determinata (a) utilizzando metodi analitici di riferimento, (b) utilizzando due o più metodi analitici indipendenti o (c) attraverso le analisi effettuate da una rete di laboratori.

CORREZIONE DELL’ERRORE SISTEMATICO Uso di due o più metodi analitici indipendenti: in assenza di materiali standard di riferimento adeguati, è possibile confrontare i risultati ottenuti mediante il metodo in esame con quelli ricavati dall’analisi dello stesso campione con un differente metodo analitico. I due metodi dovrebbero essere il quanto più possibile diversi fra di loro (e possibilmente basarsi su principi fisici differenti) in modo da evitare che uno stesso fattore possa influenzare entrambe le analisi. Analisi del bianco: l’analisi di un bianco contenente i reagenti ed i solventi utilizzati in un’analisi e, se possibile, i costituenti del campione escluso l’analita (matrice del campione) permette di valutare l’errore dovuto alle interferenze da parte di contaminanti, reagenti ed altri materiali. I risultati ottenuti possono poi essere applicati come correzioni alle misure effettuate sul campione. Spesso sono comunque necessari metodi statistici di confronto per stabilire se la differenza fra i risultati ottenuti nell’analisi ed il valore atteso sia o no dovuta ad un errore di tipo sistematico.

NATURA DELL’ERRORE CASUALE L’errore casuale complessivo in una misura è determinato dall’accumularsi di una serie di errori estremamente piccoli dovuti a molte variabili incontrollate nella maggior parte dei casi non identificabili singolarmente. La loro somma determina però una fluttuazione misurabile dei dati di una serie di replicati intorno al loro valore medio. Sebbene questo errore non possa essere eliminato, il suo effetto può essere analizzato in quanto l’errore casuale presenta caratteristiche ben determinate, interpretabili mediante un approccio di tipo statistico. Quando la variazione è determinata dall’errore casuale, i valori tendono a disporsi attorno al valore medio secondo un andamento a campana, detto curva gaussiana o curva normale dell’errore. Valore sperimentale Normalmente nel trattamento statistico dell’errore casuale si assume una distribuzione di tipo gaussiano. Questa approssimazione è valida nella maggior parte dei casi, ma alcuni tipi di misure seguono una statistica differente (es. le misure di decadimento radioattivo seguono una statistica detta di Poisson).

CIFRE SIGNIFICATIVE Per essere effettivamente utile, ogni dato numerico deve contenere informazioni relative alla sua accuratezza. Questo può essere fatto in vari modi, ad esempio fornendo un intervallo di fiducia al livello del 90% o del 95% oppure indicando una deviazione standard assoluta o relativa, eventualmente riportando anche il numero di dati dalla quale essa è stata ricavata (in modo da indicare anche la sua affidabilità). Un indicatore meno soddisfacente, ma molto comune, si basa sulla convenzione delle cifre significative. Il numero di cifre significative di un numero è il numero minimo di cifre richieste per rappresentarlo in notazione scientifica senza comprometterne la precisione. In base alla definizione, gli zeri sono significativi solo se si trovano in mezzo ad un numero o alla fine di un numero, a destra della virgola (0,000 006 302 oppure 6,302 oppure 6302,0) 9,25 . 104 3 cifre significative 9,250 . 104 4 cifre significative 9,2500 . 104 5 cifre significative In base alla convenzione delle cifre significative, l’ultima cifra significativa di un numero (che può essere anche uno zero) è la prima cifra incerta, alla quale è quindi associato un errore il cui valore minimo è ±1.

CIFRE SIGNIFICATIVE NEI CALCOLI NUMERICI Esistono regole empiriche che permettono di stabilire quale numero di cifre significative debba essere conservato nelle operazioni aritmetiche. Addizione e sottrazione Il numero di cifre significative del risultato è determinato dalla posizione della cifra significativa di “valore” più alto fra i numeri considerati: 3,4 + 0,020 + 7,31 = 10,730 → 10,7 Moltiplicazione e divisione Una regola empirica prevede che il numero di cifre significative del risultato sia pari a quello del numero di partenza con il minor numero di cifre significative. 24 × 4,52 /100,0 = 1,08 → 1,1 24 × 4,02 /100,0 = 0,965 → 0,96 Logaritmi e antilogaritmi Il logaritmo di un numero mantiene a destra della virgola dei decimali un numero di cifre pari a quelle contenute nel numero originale. L’antilogaritmo di un numero mantiene tante cifre quante sono quelle a destra della virgola dei decimali nel numero originale. log 4,000 × 10-5 = -4,3978 antilog 12,5 = 3 × 1012

ARROTONDAMENTO DEI RISULTATI Una volta definito l’entità dell’errore associato, il risultato di una misura analitica deve essere arrotondato di conseguenza. Sulla base del valore della deviazione standard si arrotonda il risultato alla cifra più vicina compatibile con l’errore associato (nel caso di una cifra “5” finale, entrambi gli arrotondamenti in eccesso ed in difetto sono possibili; per evitare arrotondamenti sistematici in un senso o nell’altro per convenzione in questo caso si arrotonda alla cifra pari più vicina). Come criterio generale, l’arrotondamento andrebbe rimandato fino al momento in cui il calcolo è completo, conservando nei risultati parziali sempre almeno una cifra in aggiuinta a quelle significative: questo evita che arrotondamenti prematuri portino ad un risultato non corretto.

Probabilità di trovare  = livello di fiducia INTERVALLO DI FIDUCIA Nella maggior parte delle situazioni che si possono presentare in chimica analitica, non è possibile conoscere il valore vero  poiché questo richiederebbe un numero infinito di misure. Utilizzando la statistica è però possibile ricavare una stima del valore di  basata sul valore x della media sperimentale, definita mediante l’intervallo di fiducia. Intervallo di fiducia: intervallo di valori centrato attorno al valore della media sperimentale x, all’interno del quale con una certa probabilità (livello di fiducia) cadrà il valore della media  della popolazione. Limite di fiducia inferiore Limite di fiducia superiore Intervallo di fiducia x x Probabilità di trovare  = livello di fiducia

DETERMINAZIONE DI ERRORI GROSSOLANI Talvolta un dato in una serie di replicati (outlier) può sembrare incompatibile con tutti gli altri, generando il sospetto che sia il risultato di un errore grossolano. Sebbene lo scarto di un dato sperimentale sia una operazione che va effettuata con cautela (soprattutto per piccoli insiemi di dati) il test Q è generalmente riconosciuto come un metodo appropriato per prendere tale decisione. Per eseguire questo test i dati vengono disposti in ordine crescente e si calcola il valore del parametro Qsperim, dove xq è il valore sospetto (il più alto o il più basso dell’insieme di dati) ed xn è il valore ad esso più vicino. Si cerca poi in tabella il valore di Qteor corrispondente al numero di osservazioni considerato ed al livello di fiducia richiesto. Se Qsperim > Qteor il dato in esame dovrebbe essere scartato in quanto, con una probabilità almeno pari al livello di fiducia considerato, non appartiene alla popolazione in esame. Se necessario, l’operazione può essere ripetuta per il dato immediatamente precedente, e così via. intervallo

DETERMINAZIONE DI ERRORI GROSSOLANI: TABELLA DEI VALORI CRITICI DI Q 3 0,94 0,98 0,99 4 0,76 0,85 0,93 5 0,64 0,73 0,82 6 0,56 0,74 7 0,51 0,59 0,68 8 0,47 0,54 0,63 9 0,44 0,06 10 0,41 0,48 0,57