PROFILO DI UN GRANDE MATEMATICO Évariste Galois Elena Gardenal

Spesso non conta la lunghezza della nostra vita, ma l’intensità con la quale viene vissuta. Évariste Galois è considerato un genio della matematica nonostante abbia vissuto solo 21 anni.

Galois nacque il 25 Ottobre 1811 a Bourg-la-Reine, un sobborgo alle porte di Parigi. Studiò a casa, con l'aiuto della madre, fino al 1823, quando superò gli esami d'ammissione al collegio "Louis-le-Grand" di Parigi. Nel 1827 s'iscrisse ad un corso di matematica organizzato dal collegio, dimostrandosi subito uno dei migliori allievi.

Nel 1828, all'età di sedici anni e mezzo, tentò l'esame di ammissione alla Scuola Politecnica di Francia, ma venne respinto. Ritentò l'anno seguente, ma fu nuovamente, ed ingiustamente, respinto. Nel Luglio 1830, studente della Scuola Preparatoria, tentò di partecipare alle tre "gloriose giornate", ma gli fu impedito dal direttore, che lo espulse di lì a pochi mesi a cause delle sue idee repubblicane. Ostile al nuovo regime di Luigi Filippo, si arruolò nella Guardia nazionale del generale Lafayette, che fu tuttavia sciolta dal governo a fine anno.

Frattanto i documenti che Galois aveva inviato all'Accademia, concernenti le sue interessanti scoperte, vennero smarriti o mal compresi. Galois decise allora di dedicarsi alle proprie idee politiche, che lo condussero all'arresto in due circostanze: il primo processo lo vide rapidamente prosciolto, ma nel secondo fu condannato a sei mesi di carcere per "porto abusivo di uniforme"; rimase così in carcere sino alla primavera del 1832.

Conosciuta una ragazza subito dopo essere uscito di prigione, se ne innamorò e la corteggiò, salvo poi scoprire che ella era già impegnata. Sfidato dal fidanzato ad un duello d'onore, Evariste Galois morì a Parigi il 31 Maggio 1832, a vent'anni e mezzo. Le sue importanti scoperte ed innovazioni nel campo dell'algebra furono divulgate solo nella seconda metà del secolo, sia perchè erano troppo all'avanguardia per essere comprese dagli altri matematici del suo tempo, e sia, soprattutto, perchè nessuno ebbe l'umiltà di prendere in considerazione l'opera di uno studente universitario di vent'anni.

LA FAMIGLIA

La famiglia Evariste era una famiglia dai sani principi, il liberalismo in ambito politico e la più assoluta tolleranza in ambito religioso; ciò che è curioso far notare a proposito dei genitori di Galois è che, a quanto risulta, nè il padre nè la madre dimostrarono mai alcuna predisposizione fuori dal comune per le discipline matematiche.

Al di là di questo, entrambi i genitori erano persone di grande cultura. Il padre di Evariste, Nicolas Gabriel Galois, era divenuto, dopo aver disinteressamente fornito il proprio aiuto, nei limiti del possibile, ai suoi compaesani, il sindaco di Bourg-la-Reine. La moglie del sindaco, Adelaide-Marie Demante Galois, era una donna profondissima, tant'è vero che fu lei ad occuparsi dell'educazione del figlio fino agli undici anni, insegnandogli peraltro il latino ed il greco in maniera eccellente (si pensi che Galois vinse il secondo premio nella gara di greco del collegio Louis-le-Grand nel Giugno del 1828). Oltre ai genitori, Evariste aveva anche una sorella maggiore ed un fratello minore, di nome Alfred.

Il padre di Galois, oltre ad occuparsi degli affari municipali di Bourg-la-Reine, era anche un apprezzato poeta, e proprio questa fu la causa della sua rovina! Nel 1827 arrivò in paese un nuovo parroco, che cominciò da subito a minare l'autorità del sindaco liberale, accusandolo prima di essere bonapartista, e poi repubblicano. Tuttavia il rispetto che gli abitanti di Bourg-la-Reine avevano per Nicolas Galois non poteva esser ridotto con mezzi legali, così il parroco ed i suoi amici gesuiti cominciarono a mettere in giro, spacciandole per poesie del sindaco, delle strofette oscene e volgari che attirarono contro di lui la mutevole e volubile opinione pubblica.

In breve, il sindaco Galois era divenuto la barzelletta di Bourg-la-Reine, ed un uomo con la dignità e con l'orgoglio del padre di Galois questo non poteva proprio accettarlo: e fu così che il 2 Luglio 1829 Nicolas Gabriel Galois si tolse la vita in un appartamentino di Parigi a pochi metri di distanza dal collegio Louis-le-Grand, dove studiava suo figlio; la speranza del sindaco era quella di salvare, se non il proprio, almeno l'onore della moglie e dei tre figli.

LA GIOVINEZZA

Evariste Galois trascorse un'infanzia serena a Bourg-la-Reine fino all'estate del 1823 quando, all'età di undici anni e mezzo, si recò a Parigi per sostenere gli esami di ammissione al collegio reale "Louis-le-Grand", esami che superò brillantemente.

Iscritto alla quarta classe elementare, all'inizio dell'anno seguente Galois, appena dodicenne, partecipò ad una rivolta contro il direttore, l'ultra-monarchico e filo-gesuita Berthot. Dopo la morte di Luigi XVIII (1814-1824), salì al trono di Francia il fratello Carlo X (1824-1830), che fece sostituire il vecchio Berthot con un certo Laborie, non meno fazioso di colui che l'aveva preceduto

Ammesso nel 1826, a meno di quindici anni, alla classe di retorica, nel Febbraio dell'anno seguente fu retrocesso alla seconda classe superiore. A mo' di consolazione, a Settembre Galois s'iscrisse ad un corso di matematica, organizzato dal collegio, ma con partecipazione facoltativa; si dimostrò fin dall'inizio uno degli studenti migliori, leggendo e studiando da autodidatta le opere di Legendre, Lagrange, Cauchy e Gauss.

Nell'estate del 1828 Galois tentò per la prima volta, vanamente, di essere ammesso alla Scuola Politecnica di Francia. L'anno seguente, dopo esser stato promosso, seppur con voti non eccellenti, ritentò l'esame, ma si vide respinto per la seconda volta, e dal momento che non sipotevano presentare più di due richieste di ammissione, capì di non aver più chances.

In generale, la giovinezza di Galois fu un periodo lieto e gioioso fino ai dodici anni, e quindi un progressivo incupirsi e chiudersi in sè stesso, dovuto prima ai cattivi rapporti con i compagni, e quindi all'orgoglio della consapevolezza del fatto di essere uno dei più grandi geni matematici del suo tempo (se non il più grande di sempre, tenuto conto dell'età), orgoglio quest'ultimo mai compreso dagli altri, e spesso scambiato per vanagloria dai suoi professori.

IL POLITECNICO

Al Politecnico erano ammessi di diritto i vincitori delle gare generali di matematica per le classi terze superiori dei collegi nazionali, più i candidati che avessero superato un esame orale su argomenti di algebra, geometria e trigonometria. Galois tentò quest'esame prima ancora di essere giunto alla classe terza (ovvero l'anno in cui era stato respinto dalla classe di retorica), ma venne respinto, forse per la settorialità della sua preparazione (ad onor del vero Evariste s'era preparato fin troppo in algebra, e troppo poco nelle altre materie).

Alla fine dell'anno scolastico successivo Galois sperava di non dover sostenere l'esame orale, ma purtroppo non riuscì a vincere la gara di matematica, e così dovette ripresentarsi... Irritato dalla pedanteria del suo esaminatore, che insisteva a chiedergli qualche minuto dettaglio sulla teoria dei logaritmi, e snervato dall'utilizzo dei gessi e soprattutto del cassino (lui era abituato a fare anche i calcoli più complessi a mente!), Galois finì per perder le staffe e scagliare il cassino in testa al noioso professore. Così facendo, gettò all'aria la sua seconda ed ultima chance di entrare nell'Olimpo dei matematici di Francia.

Come ripiego Galois puntò sulla Scuola Preparatoria (o Normale), che doveva addestrare i futuri insegnanti di matematica degli istituti superiori (quegli stessi insegnanti che aveva così tanto odiato!). Superò, finalmente, gli esami, con soli otto punti su dieci, lui che, sulle equazioni algbriche, ne sapeva più di tutti i suoi esaminatori messi insieme. Nel frattempo Evariste aveva inviato una memoria all'Accademia di Francia, ancora nel 1829; qualche tempo dopo venne a sapere che il presidente dell'Accademia, il grande Augustin-Louis Cauchy, l'aveva smarrito o gettato.

LA MATEMATICA: GLI ESORDI

All'epoca di Galois la matematica, pur essendo alla base della disciplina militare moderna e delle dottrine filosofiche empiriste, non era considerata, dal punto di vista scolastico, una materia come il greco, il latino e la retorica. Proprio per questo il corso facoltativo di matematica e geometria, tenuto presso il collegio Louis-le-Grand dal professor Vernier, non riscuoteva un grande successo nè in termini di partecipazioni, nè di risultati.

Quando Evariste Galois, per sfuggire dalla routine e per dimenticarsi del fatto di dover ripetere un'altra volta la seconda, si iscrisse a questo corso di matematica, era appena incominciato il terzo trimestre dell'anno scolastico 1826-27. Galois cominciò a studiare la geometria euclidea, con l'ausilio delle opere di Legendre, e la risoluzione delle equazioni algebriche, stavolta grazie ai testi di Lagrange. Ben presto si appassionò a questi argomenti, ed in particolare all'ancor irrisolta equazione algebrica di quinto grado!

Era possibile trovare una formula generale per risolvere le equazioni di quinto grado mediante un numero finito di calcoli? Questo fu il primo quesito che si pose il giovane Galois, il quale aveva già intuitivamente compreso tutto il resto dell'algebra conosciuta sino ad allora... Ma naturalmente era difficile accettare che un semplice studente potesse essere così bravo, ed i meriti di Galois non vennero riconosciuti fino in fondo. Eppure alla fine dell'anno scolastico, in Giugno, lo studente che era stato bocciato vinse il secondo premio sia nella gara generale di matematica che in quella di greco.

Galois decise quindi di tentare la via della Scuola Politecnica, ma a causa di qualche sottigliezza di poco conto venne bocciato per "mancanza di metodo". Nel 1828 il professor Vernier venne sostituito da un nuovo insegnante, il professor Louis Richard, molto più preparato ed appassionato del suo predecessore; Richard comprese ben presto che Galois non era uno studente come tutti gli altri, e che, almeno per quanto riguardava l'algebra pura, egli doveva saperne più di lui: allora ammise che Galois non avrebbe avuto nulla da imparare da lui, e che avrebbe fatto senz'altro meglio a proseguire autonomamente le sue ricerche.

Ad un certo momento, tuttavia, a quanto risulta dal cambiamento di tono nelle note di giudizio, il rapporto tra Galois e Richard si guastò, probabilmente a causa del troppo orgoglio del primo, o della scarsa apertura mentale del secondo. In ogni caso Galois non venne certo sostenuto dalla scuola, ed alla fine dell'anno non riuscì a vincere che il quinto premio, nella gara generale di matematica. Dovette sostenere nuovamente gli esami orali per l'ammissione al Politecnico, e per la seconda (ed ultima!) volta l'insipienza del suo esaminatore gli costò molto cara.

Nel Febbraio del 1830, dopo aver conseguito un diploma di scienze e dopo aver superato gli esami d'ammissione, Galois entrò nella Scuola Preparatoria, pallida imitazione della Scuola Normale Superiore, fondata ai tempi di Napoleone dal conte e generale Gaspard Monge. Verso la fine dello stesso anno il nuovo re, Luigi Filippo, rese alla scuola l'antico attributo di Scuola Normale, ma Galois non fece quasi in tempo ad accorgersene, poichè venne espulso per "condotta disdicevole" ai primi di Dicembre. L'unico episodio degno di memoria occorso a Galois durante la sua permanenza presso la Scuola Preparatoria fu la dimostrazione del teorema di Sturm, teorema enunciato in classe dal professor Leroy, e dimostrato da Evariste a mente, in pochi minuti!

ALGEBRA PURA

Il giudizio riportato sopra si riferisce al primo trimestre dell'anno scolastico 1828/1829, ed è stato affibbiato dall'insegnante di matematica del collegio Louis-le-Grand, il professor Louis Richard, al giovane Evariste Galois, indubbiamente un talento precoce nell'ambito dell'algebra pura, tant'è vero che, pur essendo morto a soli vent'anni, molti matematici dei nostri tempi lo considerano il padre dell'algebra moderna?

y=-b/a ed y=-b�(b2-4ac)/2a. Ma a che livello di sviluppo era giunta questa disciplina, quando Galois iniziò a studiarla e ad applicarvisi? Già da secoli gli algebristi erano in grado di risolvere per radicali equazioni di primo e secondo grado, grazie alle formule y=-b/a ed y=-b�(b2-4ac)/2a. Già dal Cinquecento, grazie allo scienziato lombardo Gerolamo Cardano (1501-1576), erano note anche complesse formule di risoluzione per le equazioni di terzo e quarto grado. Ciò che consente di risolvere queste equazioni è il fatto che esse si possono sempre ridurre ad equazioni di grado più basso.

Che fosse possibile risolvere per radicali (ovvero mediante un numero finito di operazioni razionali, da eseguire sui coefficienti delle equazioni) anche le equazioni di quinto grado? In base al teorema fondamentale dell'algebra, o teorema di Gauss, un'equazione di grado enne può essere risolta per enne radici, quindi dovrebbe esistere una formula per calcolare le cinque radici di un'equazione di quinto grado... Eppure questa formula non si riusciva a ricavarla.

Il grande matematico franco-piemontese Joseph-Louis Lagrange (1734-1813) aveva individuato un metodo generale per ricavare le formule risolutive per radicali di equazioni di ennesimo grado. Questo metodo riduce un'equazione di primo grado ad una semplice divisione, un'equazione di secondo grado ad una di primo, una di terzo ad una di secondo ed una di quarto ad una di terzo. Tuttavia, se applicato ad una di quinto la trasforma in una di sesto, e se applicato ad una di sesto la rende addirittura di decimo grado!

Un matematico italiano, Ruffini, sul finire del Settecento aveva dato una dimostrazione piuttosto complessa, e poco elegante, del fatto che le equazioni di quinto grado non potessero essere risolte per mezzo di radicali. Alla stessa conclusione era giunto, nel 1824, il norvegese Niels Henrik Abel, il quale aveva inoltre ipotizzato che, non potendosi risolvere equazioni di quinto grado, non se ne potevano risolvere neppure di gradi superiori. O meglio, equazioni di grado superiore al quarto possono essere risolte, ma solo in casi particolari: non si può invece trovare una formula generale di risoluzione per radicali.

Il giovane Abel aveva ragione, ma purtroppo morì di povertà, freddo, fame, stanchezza e tisi, a soli ventisette anni d'età. Galois decise che da allora in avanti avrebbe ricercato le condizioni necessarie e sufficienti a risolvere, per mezzo di radicali, equazione algebriche di qualsiasi grado. Iniziò, nel 1829 (a diciassette anni e mezzo!!) a studiare quelle equazioni che avevano per grado un numero primo; ben presto verificò e dimostrò che si potevano risolvere solo quelle di grado pari a due o tre, mentre per quelle di grado dal quinto in su non era possibile trovare una formula risolutiva per radicali.

Inviò, a questo proposito, non una, ma tre (sic Inviò, a questo proposito, non una, ma tre (sic!) memorie all'Accademia di Francia... Non una sola delle tre fu presa in considerazione dagli illustri matematici del regno. Nè Poisson, nè Fourier, nè soprattutto il grande Cauchy si degnarono di prendere in considerazione un documento inviato da un liceale diciottenne. Comunque sia, introducendo il concetto di "gruppo di radicali" e ponendo le basi della "teoria dei gruppi", Evariste Galois riuscì, per primo nella storia della matematica, a dimostrare l'insolubilità per radicali di equazioni algebriche di grado superiore al quarto. Era il Maggio 1832, ed Evariste aveva vent'anni e sette mesi.

Galois si scontrò a duello con Perscheux d'Herbinville il 30 maggio 1832, le ragioni del duello non sono chiare, ma sembrano collegate in qualche modo ad una donna, Stephanie-Felice du Motel, di cui Galois si era invaghito qualche mese prima. Una sorte di legenda racconta che Galois passò la notte prima del duello a scrivere tutto ciò che sapeva sulla teoria dei gruppi, è ragionevole pensare che ciò sia un po' esagerato. Comunque Galois fu gravemente ferito e lasciato sulla strada da d'Herbinville e dal suo secondo. Morirà in ospedale il giorno dopo, il 31 maggio 1832 quando non ha ancora compiuto i 21 anni.

Il materiale di Galois fu ricopiato e spedito dal fratello e da un amico a Gauss, Jacobi e altri. I matematici del tempo si accorgeranno del patrimonio rappresentato da quegli appunti solo una decina di anni dopo. Il contenuto di quei fogli passa oggi sotto il nome di Teoria di Galois: in meno di 21 anni di vita Evariste Galois portò alla luce concetti ancora fondamentali per l'algebra moderna.