Elementi di calcolo delle probabilità

La parte della matematica che studia gli avvenimenti legati al caso, al fine di stabilire quale possibilità di verificarsi hanno tali avvenimenti, prende il nome di CALCOLO DELLE PROBABILITA’ Come scienza autonoma il C.d.P. nacque nel ‘600 per merito di Blaise Pascal, che iniziò ad occuparsi di alcune questioni connesse al gioco d’azzardo; in seguito si occuparono di questo settore, studiosi come FERMAT, NEWTON, LEIBNITZ e LAPLACE

Gli avvenimenti che hanno risultato incerto, perché sono legati al caso, si dicono AVVENIMENTI CASUALI o ALEATORI Ogni possibile risultato di un avvenimento casuale si dice EVENTO SEMPLICE o ELEMENTARE

Tutti gli eventi semplici che possono verificarsi come risultato di un avvenimento casuale, si dicono CASI POSSIBILI dell’avvenimento casuale Se tutti i casi possibili hanno la stessa possibilità di verificarsi si dicono UGUALMENTE PROBABILI Se si considera uno degli eventi semplici di un avvenimento casuale, fra tutti i casi possibili, quelli che verificano l’evento considerato, si dicono CASI FAVOREVOLI

DEFINIZIONE CLASSICA di PROBABILITA’ In un avvenimento casuale la probabilità p(E) di un evento semplice E è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli all’evento E e il numero di casi possibili, purchè siano tutti egualmente possibili p(E)=numero casi favorevoli/numero casi possibili

Se un evento si verifica sempre, si dice CERTO e la sua probabilità vale 1 Se un evento non si verifica mai, si dice IMPOSSIBILE e la sua probabilità vale 0 La probabilità di un evento quindi è sempre un numero compreso fra 0 ed 1 La probabilità può anche essere espressa in forma percentuale moltiplicando per 100 il suo valore numerico

Dato un evento E di un avvenimento casuale, si dice evento contrario di E l’evento che si verifica quando non si verifica E Se si indica con U l’insieme dei casi possibili e con A l’insieme dei casi favorevoli a un evento E, l’insieme dei casi favorevoli all’evento contrario è il complementare di A rispetto ad U. U A C(A)

Un evento che è unione o intersezione di due eventi semplici E1 e E2 si dice EVENTO COMPOSTO E1= esce un asso E2= esce una figura E1  E2=esce un asso o una figura E1  E2=esce un asso e una figura

Due eventi semplici di uno stesso avvenimento casuale si dicono fra loro INCOMPATIBILI se, nella stessa prova, il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi dell’altro Ad esempio, nel lancio di un dado, gli eventi semplici : E1=“esce 5” E2=“esce un numero minore di 3” sono fra loro incompatibili Due eventi semplici si dicono COMPATIBILI se il verificarsi dell’uno non esclude il verificarsi dell’altro Ne caso dell’estrazione di una carta da un mazzo i due eventi: E1=“esce una carta di cuori” E2=“esce una figura”

PROBABILITA’ TOTALE DI UN EVENTO UNIONE DI DUE EVENTI INCOMPATIBILI p(E1UE2)=p(E1)+p(E2) PROBABILITA’ TOTALE DI UN EVENTO UNIONE DI DUE EVENTI COMPATIBILI p(E1UE2)=p(E1)+p(E2)-p(E1  E2)

Dati due eventi E1ed E2, se il verificarsi dell’uno non incide sulla possibilità che si verifichi l’altro, i due eventi si dicono INDIPENDENTI Se il verificarsi di E1 influisce sul verificarsi di E2 i due eventi si dicono DIPENDENTI

PROBABILITA’ COMPOSTA DI UN EVENTO INTERSEZIONE DI DUE EVENTI INDIPENDENTI p(E1E2)=p(E1)·p(E2) PROBABILITA’ COMPOSTA DI UN EVENTO INTERSEZIONE DI DUE EVENTI DIPENDENTI p(E1 E2)=p(E1)·p(E2|E1) dove p(E2\E1) prende il nome di probabilità condizionata di E2 rispetto ad E1 e rappresenta la probabilità che si verifichi E2 dopo che si è verificatoE1

Eventi incompatibili Eventi compatibili Eventi indipendenti Eventi dipendenti

PROBABILITA’ SPERIMENTALE O STATISTICA

La concezione classica di probabilità fornisce una probabilità a priori, cioè una probabilità che si determina prima che l’evento si verifichi. La probabilità sperimentale fornisce invece una probabilità a posteriori perchè si ottiene dopo aver effettuato un elevato numero di prove dell’avvenimento casuale al quale l’evento si riferisce

LA FREQUENZA Consideriamo un esperimento costituito da un numero n di prove effettuate tutte nelle medesime condizioni. Supponiamo che un evento E si verifichi h volte , si chiama frequenza relativa f il rapporto fra il numero di successi ed il numero di prove. f=h/n con 0≤f≤1

E’ evidente che la frequenza relativa di un evento assume valori diversi fra loro, e ciò si verifica quando il numero delle prove effettuate non è elevato. Si può però verificare sperimentalmente che se il numero delle prove aumenta, la frequenza relativa all’evento E tende a stabilizzarsi su un valore ben preciso.

Si definisce probabilità sperimentale (o statistica) di un evento, la frequenza relativa dell’evento, calcolata in un numero sufficientemente elevato di prove, effettuate tutte nelle stesse condizioni

La probabilità sperimentale si può calcolare ogni volta che si possono effettuare delle prove reali dell’avvenimento

LA LEGGE DEI GRANDI NUMERI (legge empirica del caso) In una serie molto elevata di prove, effettuate tutte nelle stesse condizioni, la probabilità sperimentale di un evento assume un valore generalmente molto prossimo a quello della probabilità classica e tale approssimazione aumenta all’aumentare del numero delle prove