ESERCITAZIONE 2 Come leggere la tavola della normale e la tavola t di Student. Alcune domande teoriche

Come va letta la tavola della normale standardizzata? Sulla prima colonna della tabella troviamo la cifra intera e la prima cifra decimale del valore di z, la seconda cifra decimale va invece letta sulla prima riga. All’interno della tabella, nella casella corrispondente alla riga e alla colonna del valore di z, si trova il valore dell’area sottesa alla curva. Le due tabelle che seguono ci danno due aree diverse: la Tavola 1 ci da l’area oltre z, la Tavola 2, invece, ci da il valore dell’area che va da 0 a z,. Entrambe le tabelle ci forniscono il valore dell’area per metà curva.

Esempio: vogliamo sapere il valore z per α=0.05 Quando dobbiamo trovare il valore z critico utilizziamo la tavola 1 ricordandoci che questa tabella fornisce l’area di metà curva. Esempio: vogliamo sapere il valore z per α=0.05 andiamo sulla tavola 1 ed individuiamo il valore z corrispondente all’area 0.0250 cioè 0.05/2. Il valore 0.025 si trova in corrispondenza del valore 1.9 (numero intero e prima cifra decimale) della prima colonna e il valore 6 (seconda cifra decimale) sulla prima riga. Così il valore z sarà 1.96.

Aree della distribuzione normale standard. Aree oltre z. Tavola 1 Aree della distribuzione normale standard. Aree oltre z.

Aree della distribuzione normale standard. Aree tra 0 e z Tavola 2 Aree della distribuzione normale standard. Aree tra 0 e z

Come trovare il valore critico della t? Nelle colonne della Tavola 3 viene riportato il valore della probabilità di commettere l’errore di primo tipo (alfa) nel caso di ipotesi monodirezionale e di ipotesi bidirezionale. Nelle righe invece sono riportati i gradi di libertà.

Se, ad esempio, i gradi di libertà per la t sono 30, e il ricercatore ha fissato un valore di alfa pari a .05 formulando un’ipotesi bidirezionale, allora il valore critico di t si trova all’incrocio tra la riga 30 e la colonna .05 (considerando i valori sotto l’etichetta «Ipotesi bidirezionale»), ed è uguale a |2.042| (si ricorda che la distribuzione della t di Student è simmetrica, quindi i valori positivi e negativi per uno stesso livello di alfa coincidono nel modulo e sono solo differenti nel segno). Il ricercatore non può rifiutare l’ipotesi nulla che le medie provengono da una stessa popolazione se la t empirica è inferiore a |2.042|, con una probabilità di commettere errore del primo tipo pari a .05. Se invece la t empirica è maggiore/uguale a 2.042 o minore/uguale a –2.042, il ricercatore deve rifiutare l’ipotesi nulla.

2.042 

Se il ricercatore formula un’ipotesi monodirezionale destra, considerando sempre 30 gradi di libertà e un valore di alfa pari a .05 allora il valore critico di t si trova all’incrocio tra la riga 30 e la colonna .05 (considerando i valori sotto l’etichetta «Ipotesi monodirezionale»), ed è uguale a 1.697. Il ricercatore non può rifiutare l’ipotesi nulla che le medie provengano da una stessa popolazione se la t empirica è inferiore al valore critico di t, con una probabilità di commettere errore del primo tipo pari a .05. Se invece la t empirica è maggiore/uguale a 1.697, il ricercatore deve rifiutare l’ipotesi nulla.

1.697 

Se il ricercatore formula un’ipotesi monodirezionale sinistra, considerando sempre 30 gradi di libertà e un valore di alfa pari a .05, il valore critico di t si trova sempre all’incrocio tra la riga 30 e la colonna .05 (considerando i valori sotto l’etichetta «Ipotesi monodirezionale»), ed è uguale a 1.697. Questo valore va però invertito di segno perché l’ipotesi è monodirezionale sinistra, quindi il ricercatore non può rifiutare l’ipotesi nulla che le medie provengono da una stessa popolazione se la t empirica è superiore a –1.697, mentre deve rifiutare l’ipotesi nulla se la t empirica è minore/uguale a –1.697.

Alcune domande teoriche 1.     Nel calcolare un intervallo di confidenza nel quale ricada la media incognita di una popolazione, supponendo che n=25 e che α=.05, il valore critico sarà:  2.58 b)  2.064 c)  1.96 d)  2.797 2.    Se la deviazione standard della popolazione è 19.0 e il campione ha ampiezza N=19, l’errore standard sarà: 19.00 b) 1.06 c) 1.00 d) 4.36 3. La distribuzione campionaria delle medie si approssima alla distribuzione normale: a) sempre, purché n sia sufficientemente grande b) mai c) solo se la forma della distribuzione nella popolazione e' normale d) solo se la varianza della distribuzione nella popolazione e' bassa

Risposte Poiché n<30, la distribuzione di riferimento è la t di Student. Il valore critico va trovato in corrispondenza di 24 gradi di libertà, e a un livello di probabilità α=.05 a due code. Questo valore è uguale a 2.064 quindi la risposta corretta è b. La risposta corretta è la d. Infatti si applica la formula  x = /√n Se n e' sufficientemente grande (>30) la distribuzione campionaria delle medie si approssima sempre alla distribuzione normale. Quindi la risposta corretta è la a