- le Medie la Moda la Mediana Elementi di Statistica descrittiva Lez. 2 - Misure di tendenza centrale - le Medie la Moda la Mediana ____________________ Anno scolastico 2012/2013 I.T.I.S. “P.A. Fiocchi” - Lecco

Valori MEDI (o indici di posizione) Nello studio dei fenomeni collettivi è importante calcolare dei valori sintetici che siano rappresentativi dell’insieme dei dati, che diano una visione d’insieme del fenomeno. Tali valori si dicono MEDIE Si possono definire diversi tipi di medie, tra le più comuni si hanno: le medie aritmetiche, la mediana, la moda, (la media geometrica, la media armonica, la media quadratica).

Esempio Si vogliono confrontare le stature di 3 gruppi: Un gruppo di bambini Un gruppo di giocatori di pallacanestro Un gruppo di clienti di un supermercato

Poligoni di frequenza dei tre gruppi

Elementi per cui le tre distribuzioni differiscono Valore attorno al quale si distribuiscono i dati Diversa distribuzione dei dati attorno al centro Presenza più o meno accentuata di code a destra o sinistra Distribuzione più o meno appuntita.

Confronto delle tre distribuzioni

Fra le misure che permettono di valutare sinteticamente tali caratteristiche ci sono: Misure di tendenza centrale: MEDIE Misure di variabilità o dispersione

Le misure di tendenza centrale possono essere distinte in due gruppi: Medie aritmetiche Media geometrica Media armonica Media quadratica 1° gruppo Medie ferme o analitiche Moda Mediana 2° gruppo Medie lasche o di posizione

Quali di queste è la Media “più giusta”? Non esiste la “media migliore”, ma la media da utilizzare deve essere scelta in relazione al problema che si sta risolvendo. La media più adatta, “più giusta”, va scelta a seconda dei DATI e degli SCOPI dell’elaborazione statistica.

Noi vedremo le seguenti medie: La Media aritmetica La Media aritmetica ponderata La Moda La Mediana

Esempio 1: Valutazioni In una verifica di matematica nella classe 1^C si sono avute le seguenti valutazioni:

LA MEDIA ARITMETICA semplice Permette di ottenere come informazione quale è, in media, la valutazione generale della classe. Essa si calcola addizionando tutte le valutazione e dividendo tale somma per il numero degli alunni:

In generale, se x1, x2, … xn sono n dati numerici, la loro Media aritmetica (media aritmetica semplice) si ottiene sommando tutti i dati numerici e dividendo la somma per il numero dei dati:

Esempio 2 Una società di ricerca statistica deve determinare la ricchezza degli abitanti di alcuni paesi al fine di decidere dove aprire alcuni punti vendita per una ditta operante nel settore commerciale. I dati raccolti sono riportati nella seguente tabella

Esempio 2 - Tabella dei redditi rilevati .

Esempio 2 - Diagramma delle frequenze dei redditi

Gli indici più utili potrebbero essere: Vogliamo calcolare dei valori numerici che siano indicativi del grado di ricchezza/povertà della popolazione del paese considerato. Gli indici più utili potrebbero essere: il reddito medio il reddito più diffuso il reddito rispetto al quale la popolazione risulta divisa in due parti uguali.

Reddito relativo al 1° paese: Questa media aritmetica si dice ponderata, le frequenze rappresentano i diversi “pesi” che hanno i singoli valori nel calcolo della media. Più grande è la frequenza di un valore, maggiore è l’influenza che esso ha sul valore medio.

LA MEDIA ARITMETICA ponderata In particolare se gli n dati numerici sono tali che: il dato x1 compare f1 volte, x2 f2 volte,…. xk fk volte, la Media Aritmetica ponderata) è data da:

La media geometrica G di questi valori è: Def. Siano x1, x2, … xn gli n valori, tutti >0, assunti da una variabile numerica La media geometrica G di questi valori è: Vediamo qualche esempio: 1- Se x1 e x2 sono i due lati di un rettangolo, la media geometrica rappresenta il lato del quadrato equivalente al rettangolo.

1- Se x1 e x2 sono i due lati di un rettangolo, la media geometrica rappresenta il lato del quadrato equivalente al rettangolo. G x2 x1 G G · G = x1 · x2

Esempio 2 Se x1, x2. x3 sono i tre lati di un parallelepipedo rettangolo allora G è il lato di un cubo avente lo stesso volume. G · G · G = x1 · x2 · x3

se gli n dati numerici positivi sono tali che: il dato se gli n dati numerici positivi sono tali che: il dato x1 compare f1 volte, x2 f2 volte,…. xk fk volte, la Media Geometrica è data da:

Esempio 3 Un capitale iniziale di 5.000 euro viene investito ad interesse composto. Sapendo che il tasso d’interesse il primo anno è del 2%, del 4% il secondo anno e del 6% il terzo anno, calcolare il tasso medio relativo ai tre anni. C0 = 5000 capitale iniziale: C1 = C0 + C0 *r1 = C0(1 + r1) = 5000(1 + r1) capitale alla fine del 1°anno C2 = C1 + C1*r2 = C1(1 + r2) = C0(1 + r1)(1 + r2) capitale alla fine del 2° anno C3 = C2 + C2*r3 = C2(1 + r3) = C0(1 + r1)(1 + r2) (1 + r3) capitale alla fine del 3° anno

se indichiamo con r il tasso medio annuo costante deve risultare: C3 = C0(1 + r)3 Per cui da C3 = C0(1 + r1)(1 + r2) (1 + r3)= C0(1 + r)3 avremo che (1+r) è la media geometrica (1 + r) = 3(1 + r1)(1 + r2) (1 + r3) quindi (1 + r)3 = 5622,24/5000 da cui 1 + r = 31,124  r  3,9 % diversa dalla media aritmetica dei tassi = 4%

Esempio 4 Il numero di microrganismi di una certa coltura è aumentato da 2000 a 9000 in 3 giorni. Calcolare l’incremento medio giornaliero. n0 = 2000 numero iniziale batteri: n1 = n0 + n0 *r = n0(1 + r) = 2000(1 + r) batteri alla fine del 1°giorno n2 = n1 + n1*r = n1(1 + r) = n0(1 + r)2= 2000(1 + r)2 batteri alla fine del 2° giorno n3 = n2 + n2*r = n2(1 + r) = n0(1 + r)3 = 2000(1 + r)3 batteri alla fine del 3° giorno

Esempio 4 E poiché alla fine del 3° giorno ci sono 9000 batteri 2000(1 + r)3 = 9000 (1 + r)3 = 9000/2000 1 + r = 34,5  r = 65,1 %

La Media Armonica Def. Siano x1, x2, … xn gli n valori, tutti >0, assunti da una variabile numerica La media armonica H di questi valori è:

La Media Quadratica Def. Siano x1, x2, … xn gli n valori assunti da una variabile numerica La media quadratica Q di questi valori è:

La Moda (o valore modale) La moda è uguale al dato che, nella distribuzione, compare con frequenza più elevata, cioè è il dato più rilevante, il dato più diffuso. Nel caso dell’ Esempio 1 - 2° paese Moda= = 15 milioni infatti 15 milioni è il reddito più diffuso Cioè il gruppo di abitanti con un reddito di 15 mil. è il più numeroso.

L’ortogramma dei redditi del secondo paese mostra chiaramente un valore modale

Osservazioni La MODA è un valore medio interessante Se la moda è un reddito basso allora c’è un gruppo consistente di cittadini poveri Se la moda è un valore alto c’è un gruppo consistente di cittadini ricchi. Se il reddito è legato al tipo di attività potrebbe indicare che in quel paese una certa attività è la più diffusa, o indicare il ceto sociale prevalente.

La Mediana La Mediana è una media di posizione, è uguale al valore che si trova al centro di una distribuzione ordinata in modo crescente (o decrescente) La Mediana divide i dati in due parti tali che : il numero di osservazioni  della Mediana è uguale al numero di osservazioni  della Mediana

Esempio 1 - Tabella dei voti .

Esempio:

Io sono il valore MEDIANO

Esercizio 3 La seguente tabella mostra i pesi in kg, degli studenti di una classe di 28 alunni. Dopo aver compilato una tabella e un grafico in excel, determina il valore centrale per ogni classe di peso e calcola la media ponderata.

Esercizio 4 Raccogli i dati relativi alle altezze in cm dei tuoi compagni di classe. Compila su un foglio di calcolo elettronico una tabella ed un grafico significativo. Calcola la media aritmetica, la moda e la mediana.

Fine lezione