Aritmetica Binaria 8-11-2000

Somme tra numeri binari Nei sistemi posizionali le cifre variano da 0 a B-1, la somma di due cifre qualunque non supera 2B-2. Al massimo il risultato e’ costituito da una cifra di ugual peso e da un eventuale riporto di valore 1 sulla cifra di peso immediatamente superiore. La presenza del riporto non altera questa proprietà, portando al massimo la somma a 2B-1. Analoghe considerazioni valgono per la sottrazione. Consideriamo il caso della somma di due bit: 0+ 0= ---- 0+ 1= ---- 1 1+ 0= ---- 1 1 1+ 1= ---- 1 0 Somma di due bit (Half Adder): Sum = A + B

Half-Adder (HA) A B 1 B 1 1 1 1 1 1 Half Adder (HA) Dalla sintesi della tabella della verità si ricava lo schema logico dell’ Half Adder (HA). Half Adder (HA) Sum C A B A B 1 B 1 1 Sum = A’ · B + A · B’ C = A · B 1 1 1 1

Somma di tre bit (Full Adder): Sum = A + B + Cin Full-Adder (FA) Full Adder (FA) Sum Cout A B Cin Somma di tre bit (Full Adder): Sum = A + B + Cin

Sum = A’·B’·Cin + A·B’·Cin’ + A·B·Cin + A’·B·Cin’ 1 1 1 BA Cin 00 01 11 10 1 1 Sum = A’·B’·Cin + A·B’·Cin’ + A·B·Cin + A’·B·Cin’ 1 1 1 BA Cin 00 01 11 10 1 Cout=A·Cin + B·Cin + AB 1 1 1 1 Generalmente il Full-Adder si realizza utilizzando due Half-Adder ed un OR come mostrato nello schema seguente

------------------------------ 1 1 0 0 1 1 1 02 Esempio di somma tra numeri binari: FA 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 12 + 1 1 1 1 1 0 12 = ------------------------------ 1 1 0 0 1 1 1 02

Sottrazioni tra numeri binari Differenza due bit:Diff = A - B Differenza di tre bit: Diff = A - B - Bin

-------------------------- 0 0 0 1 1 1 Esempio di sottrazione tra numeri binari: 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 - 0 1 1 1 1 0 = -------------------------- 0 0 0 1 1 1

Un progetto gerarchico e' un progetto suddiviso su più livelli. Ad ogni livello è associata una descrizione funzionale o una struttura di blocchi interconnessi I2 I3 I1 Z1 Z2 A B1 B2 Livello 0 Livello 1 Livello 2 Livello 3

Progetto di un sommatore a 4 Bit Problema: progettare in modo gerarchico una rete che esegua la somma di due numeri codificati con codice binario da 4 bit. Soluzione: Il primo passo è quello di descrivere lo schema in termini di segnali di ingresso e uscita (“descrizione ai morsetti”). Tale livello di descrizione corrisponde al livello gerarchico 0 (o ‘entity’). Level 0 - “Entity” 4 Bit Full Adder Z[0..3] COUT X[0..3] Y[0..3]

Level 1 Z0 X0 Y0 Z1 X1 Y1 Z2 X2 Y2 Z3 X3 Y3 Cout Lo schema logico di livello 0 può’ essere ulteriormento scomposto in blocchi più semplici, come mostrato nello schema logico seguente, utilizzando 4 Full-Adder a 1 Bit. Z0 1 BIT FULLADDER X0 Y0 Z1 1 BIT FULLADDER X1 Y1 Z2 1 BIT FULLADDER X2 Y2 Z3 1 BIT FULLADDER X3 Y3 Cout

Level 2 Ogni Full-Adder ad 1 Bit è descrivibile mediante il seguente schema logico utilizzando degli Half-Adder a 1 Bit. X y CIN Z C S 1 Bit Half Adder COUT

Level 3 Infine, gli Half-Adder utilizzati per realizzare i Full-Adder a 1 Bit possono essere descritti mediante il seguente schema logico. Questo è livello di descrizione più basso del nostro progetto. X C Y S Schema logico di un Half-Adder. Per l’inserimento del progetto all’interno del simulatore partiremo da questo livello di descrizione e ripercorreremo la gerarchia fino ad arrivare al livello 0.

Design Entry Sintesi (Compilazione) Simulazione NO SI Funzionamento previsto ? NO SI Trasferimento al Chip (Target FPGA)

Aritmetica binaria: i numeri relativi Nella rappresentazione binaria di numeri dotati di segno viene tipicamente usato un bit per discriminare tra valori positivi e valori negativi. Dati n bit per la rappresentazione il bit usato per il segno è quello più significativo (MSB, in posizione n-1). Rappresentazione Segno-Valore Assoluto (S-VA) In questo rappresentazione al valore assoluto del numero viene prefisso un bit per indicarne il segno. Il valore 0 di questo bit codifica il segno più e il valore 1 il segno meno. Esempio n=8: +5710 = 001110012 -5710 = 101110012 segno modulo

La rappresentazione S-VA è vantaggiosa per la sua semplicità ma richiede circuiti complessi per l’esecuzione di somme algebriche. Prima di eseguire una somma algebrica tra due operandi A e B e’ necessario determinare quale dei due e’ maggiore in valore assoluto. Se A e’ maggiore di B si esegue la differenza A-B e si assegna al risultato il segno di A. Se A e’ minore di B si esegue la differenza B-A e si assegna al risultato il segno di B Osservazioni Usando n bit (es. 8) per la codifica, il range di valori rappresentabili risulta: [-2n-1-1..+2n-1-1]. Un bit (MSB) è usato per il segno. (Con 8 bit sono rapresentabili valori nell’intervallo [-127 ..+127]). Vi sono due configurazioni per lo zero (000000002 e 100000002 ) Poichè le operazioni vanno eseguite sulla sola parte di valore assoluto è semplice la determinazione dell’overflow

------ -------------- 3910 01001112 Risultato : +3910 001001112 Esempio di operazioni algebriche con rappresentazione S-VA (23+ 16 )10 Stesso segno, si esegue la somma escludendo il bit più significativo. Entrambi gli operandi hanno lo stesso segno ( bit 7 = 0 ), quindi il segno viene mantenuto ( bit 7 = 0 ) 1 2310 + 00101112 + 1610 = 00100002 = ------ -------------- 3910 01001112 Risultato : +3910 001001112 ( 22 - 17 )10 Il primo operando ha modulo maggiore del secondo ( |22| > |17| ) => si esegue la differenza tra 22 e 17. In questo caso il segno del risultato (5) è positivo e il bit 7 deve essere posto a 0. 1 2210 - 00101102 - 1710 = 00100012 = ------ -------------- 510 00001012 Risultato : +510 000001012

------ -------------- 810 00010002 Risultato -810 100010002 (8 - 16)10 Il secondo operando ha modulo maggiore ( |16| >|8| ) del primo. Si esegue la differenza tra 16 e 8. Il segno e’ quello dell’operando di valore assoluto maggiore. In questo caso il segno di 16 è negativo e il bit 7 deve essere posto a 1. 1 1610 00100002 - 810 00010002 = ------ -------------- 810 00010002 Risultato -810 100010002 (-112 - 39)10 Entrambi gli operandi di segno negativo => si sommano i valori assoluti. 1 11210 11100002 + 3910 01001112 = ------ -------------- 15110 100101112 Overflow. Sono necessari 8 bit per rappresentare 151 ! Usando la rappresentazione S-VA sono disponibili per il modulo solo 7 bit => (Overflow).

Rappresentazione in complemento a 2 (2’s C) Dati n bit per la codifica del modulo e del segno: la rappresentazione in complemento a 2 (2’s C) di un numero si ottiene sommando (sottraendo nel caso di numeri negativi) a 2n il numero codificato in valore assoluto ed eliminando l’eventuale bit di riporto in posizione n; - Con tale rappresentazione possono essere codificati i valori compresi nell’intervallo [(2n-1-1), -2n-1]. - I numeri positivi restano inalterati - I numeri negativi sono calcolabili partendo dal corrispondente valore positivo, invertendo tutti i bit (complemento a 1, 1’s) e sommando 1

Siano dati 3 bit (n=3) per la rappresentazione di numeri con segno Esempio Siano dati 3 bit (n=3) per la rappresentazione di numeri con segno Bit 0 Bit 1 Bit 2 n=3 Con tale configurazione di bit potranno essere codificati i numeri da +3 a -4, cioè [22-1,-22] La rappresentazione in complemento a 2 (2’s C) si ottiene come segue: si somma (o si sottrae) a 23 = 810 = 10002 la rappresentazione in valore assoluto del numero che si vuole rappresentare in 2’s C, Es +2: Per i numeri positivi si somma a 10002 il modulo del numero (|210|=0102). Quindi +210 = 10002+0102 = x0102 in complemento a 2 Es -2: Per i numeri negativi si sottrae da 10002 il modulo del numero |210|=0102. Quindi -210 = 10002-0102 = x1102 in complemento a 2

Rappresentazione in Segno e Valore Assoluto (S-VA) e Complemento a 2 (2’s C) di numeri con segno utilizzando 3 bit

Interpretazione di un numero codificato in complemento a 2 La rappresentazione con segno e valore assoluto (S-VA) risulta più intuitiva ma meno potente rispetto alla rappresentazione in complemento a 2 (2’s C). Come interpretare un numero codificato in complemento a 2 ? In una configurazione binaria di n bit codificata in complemento a 2, il bit più significativo (MSB in posizione n-1) assume un peso negativo pari a -2n-1. I numeri positivi (dn-1=0) codificati in complemento a 2 rimangono inalterati. Esempio: n=4 10112 in complemento a 2 equivale a: 10112 = -1·23 + 0·22 + 1·21 +1·20 = -8 + 0 + 2 +1 = -510 Mentre 01112 in complemento a 2 equivale a : 01112 = 0·23 + 1·22 + 1·21 +1·20 = 0 + 4 + 2 +1 = +710

Metodo opertivo per il calcolo del complemento a 2 di un numero Nella rappresentazione in complemento a 2 i numeri positivi rimangono inalterati mentre i numeri negativi possono essere ottenuti, dalla rappresentazione in valore assoluto, invertendo tutti i bit (1’s C) e sommando 1. Esempio n = 4 a) Rappresentare +510 in complemento a 2. Soluzione + 510 = 01012 (rimane inalterato) b) Rappresentare -510 in complemento a 2. Si esprime il valore assoluto di –5 in binario. Si applica il complemento a 1 e si somma 1 a risultato. 1’s +1 510 = 0101 -> 10102 -> 10112 = -5

Propriètà Applicando due volte la regola del complemento a 2 si ottiene il numero originale. Esempio n = 4 510 in complemento a 2 risulta 10112 Applicando nuovamente il complemento a 2 si ottiene il valore assoluto del numero 1’s +1 -5 -> 10112 -> 01002 -> 01012 = + 510 il complemento di una somma algebrica è uguale alla somma aritmetica dei complementi

Utilizzando una rappresentazione a 4 bit calcolare 3 +1 = [0100] Vantaggi della rappresentazione in complemento a 2 rispetto alla rapp. somma valore assoluto - Vi è una sola rappresentazione per lo zero (00…000). - Operativamente non vi e’ differenza nell’eseguire somme o sottrazioni - Non e’ necessario individuare il maggiore, in valore assoluto, tra i due operandi come nel caso della rappresentazione S-VA. Per Esercizio Utilizzando una rappresentazione a 4 bit calcolare 3 +1 = [0100] 3 -1 = [0010] -1 -2 = [1101] 3 -7 = [1100]

Overflow Nel caso della rappresentazione con segno e valore assoluto (S-VA) la presenza di eventuali situazioni overflow puo’ essere rilevata analizzando il bit di carry-out relativo al bit più significativo del modulo. S-VA Nel caso di somme algebriche con numeri rappresentati in complemento a 2 la rilevazione della condizione di overflow si ottiene controllando se il bit di carry-in e il bit di carry_out relativi al bit più significativo (il bit n-1) della codifica sono diversi. Questa operazione puo’ essere eseguita utilizzando l’operatore logico or-esclusivo. 2’s C Esempi: Con N=3 possono essere rappresentati i numeri tra [+3, -4] in 2’s C 3+3 = 6 (overflow) 0 1 1 0 1 1+ 0 1 1 = ------------------ 0 1 1 0 2+1 = 3 0 0 0 0 1 0+ 0 0 1 = ------------------ 0 0 1 1 -3-3 = -6 (overflow) 1 0 1 1 0 1+ 1 0 1 = ------------------ 1 0 1 0 -3-1 = -4 1 1 1 1 0 1+ 1 1 1 = ------------------ 1 1 0 0 -3+2 = -1 0 0 0 1 0 1+ 0 1 0 = ------------------ 0 1 1 1

Progetto di un sommatore algebrico a 4 Bit Problema: progettare in modo gerarchico una rete che esegua la somma algebrica di due numeri di 4 bit codificati con segno e valore assoluto (S-VA). La rete produce un risultato a 4 bit per cui è necessario segnalare eventuali situazioni di overflow. Level 0 - “Entity” Segno X Somma Algebrica 3 Overflow X[0..2] Segno Z Segno Y 3 Z[0..2] 3 Y[0..2] S-VA S-VA

Level 1 Segno x C2’s Errore Overflow 4 Bit Full Adder X[0..2] Segno Z Lo schema logico dell’esercizio puo’ essere ulteriormente scomposto.In rosso sono evidenziati i tipi di rappresentazione utilizzati per l’elaborazione delle informazioni all’interno della rete. Segno x C2’s Errore Overflow 2 3 4 Bit Full Adder X[0..2] 4 4 4 Segno Z C2’s C2’s Segno y 3 3 Y[0..2] Z[0..2] S-VA 2’s C 2’s C S-VA

Level 2 C1’s I[0..2] Segno x +1 2’s C S-VA U[0..3] La rete che calcola il complemento a 2 può essere ulteriormente decomposta con due blocchi in cascata che, nel caso di numeri negativi, calcolano il complemento a 1 e sommano 1. La rete che somma 1 al numero in complemento a 1 puo’ essere ottenuta con un FA a 4 bit nel quale uno degli operandi è 1 se il numero è negativo e 0 se il numero è positivo. C1’s I[0..2] 3 4 Segno x +1 2’s C S-VA U[0..3]

Level 3 Mentre la rete che calcola il complemento a 1 puo’ essere realizzata con degli operatori di or-esclusivo.