Equazioni Indefinite di equilibrio per le Travi Esistono delle relazioni differenziali che devono essere soddisfatte, sezione per sezione, in una struttura in condizioni di equilibrio. Come è noto in una generica sezione, le caratteristiche di sollecitazione sono una azione assiale, un momento flettente ed un taglio. q F x HB O p VA VB y

Consideriamo per la trave assegnata un concio di trave contenuto tra le sezioni alle ascisse x e x + dx, di lunghezza dx. Sia q l’intensità di un carico distribuito ortogonale alla linea d’asse e p l’intensità di un carico distribuito applicato lungo l’asse della trave. I carichi q e p siano continue nel tratto considerato. Nell’estrarre il concio elementare si sono evidentemente effettuati due tagli alle ascisse x e x + dx, per cui il sistema di forze agenti sul concio è costituito dai carichi distribuiti q e p e dalle azioni interne sulle sezioni dove sono stati effettuati i tagli. Scriviamo le equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale ed alla rotazione intorno al baricentro della sezione di ascissa x+dx. I carichi q e p possono essere considerati nel tratto infinitesimo dx costanti.

Equilibrio alla traslazione orizzontale: -N + (N+dN) + p dx = 0 ; Equilibrio alla traslazione verticale: T –(T+dT) - q dx = 0 ; Equilibrio alla rotazione : -M + M+dM –Tdx + qdx2/2 = 0. Semplificando e trascurando nell’equilibrio alla rotazione gli infinitesimi q M T M+dM T+dT y dx N p N+dN T+dT di ordine superiore, si ricavano le equazioni indefinite di equilibrio:

Le relazioni precedenti sono le equazioni indefinite di equilibrio interno per la trave. Esse sono valide in tutti i punti in cui le funzioni q e p sono continue e vanno combinate con opportune condizioni al contorno per determinare le funzioni incognite N, T e M. Si nota che nei tratti in cui il carico q è nullo, l’azione tagliante è costante ed il momento flettente è lineare, mentre quando q è costante il taglio lungo la linea d’asse è lineare ed il momento flettente è una funzione quadratica, ovvero una parabola. Osservazione 1: Nelle sezioni in cui l’azione di taglio si annulla, il momento flettente risulta massimo (derivata prima nulla, derivata seconda negativa) o minimo (derivata prima nulla, derivata seconda positiva). Osservazione 2: Nelle sezioni in cui l’azione tagliante è diversa da zero (T≠0), esiste sempre il momento flettente (può annullarsi in qualche sezione ma non in un tratto finito).

Un carico trasversale o la componente ortogonale all’asse della trave di un carico concentrato P produce, oltre ad una discontinuità nel diagramma del taglio, un punto angoloso nel diagramma del momento flettente. Azione tagliante O P A Momento flettente

Esempio: Coppia concentrata su una trave appoggiata. M/L M/L Azione tagliante A M/L M Momento flettente Una coppia concentrata M causa una discontinuità nel diagramma del momento flettente ma non dell’azione tagliante.