Modellistica e simulazione1 Esercitazione 3 Sommario: - Algoritmi di discretizzazione - Taratura dei parametri di un modello

Richiami: SIMULAZIONE di un sistema dinamico dato un sistema dinamico: continuo discreto calcolare il movimento delle variabili di stato e di uscita

Richiami: SIMULAZIONE di un sistema dinamico calcolare le traiettorie delle variabili di stato e di uscita cosa serve ? 1. un sistema dinamico completamente definito 2. orizzonte di simulazione 3. funzioni di ingresso u(•) definite su tutto l’orizzonte

Il caso dei sistemi DISCRETI COME FUNZIONA - noti i parametri che definiscono il sistema [se lineare note le matrici A, B, C, (D)] - dato lo stato iniziale (t=0): - fissato un’orizzonte H (ad es. 10 istanti) - definita una funzione di ingresso u(•) su tutto H: oppure

Il caso dei sistemi DISCRETI COME FUNZIONA calcolo iterativamente i valori di x(t) con t=1, 2, ..., H: se il sistema è lineare con t=1,2,...,H

Esempio di un sistema discreto sistema a 3 serbatoi eq. di stato: eq. di uscita: parametri: equilibrio: se

Esempio di un sistema discreto sistema a 3 serbatoi stato iniziale: ingresso: parametri: orizzonte: H=10 t 1 2 3 ... 10 4 dopo due passi è all’equilibrio!!

Esempio di un sistema discreto sistema a 3 serbatoi stato iniziale: ingresso: parametri: orizzonte: H=10 t 1 2 3 ... 10 3,5 non è ancora arrivato all’equilibrio!!

Il caso dei sistemi CONTINUI sistema di equazioni differenziali - dato lo stato iniziale (t=0): - fissato un’orizzonte H (ad es. 10 istanti) - noti i parametri che definiscono il sistema [se lineare note le matrici A, B, C, (D)] - definita una funzione di ingresso u(•) su tutto H

Il caso dei sistemi CONTINUI soluzione analitica sistema di equazioni differenziali sistemi semplici (caso raro): integro le equazioni differenziali (soluzione analitica) es. sistema lineare con u(•)=0: equazione del movimento

Il caso dei sistemi CONTINUI metodi di discretizzaione sistema di equazioni differenziali caso generale su calcolatore: approssimo cioè approssimo la derivata con il rapporto incrementale diversi metodi a seconda di come viene calcolata espliciti impliciti a un passo a più passi

Metodo di EULERO Es. massa-molla K U M discretizziamo: La curva rossa è il movimento x(t) discretizziamo:

Metodo di RUNGE-KUTTA

Metodo di RUNGE-KUTTA

Metodo di RUNGE-KUTTA esempio monodimensionale: ........

Metodo di RUNGE-KUTTA caso bidimensionale

Metodo di RUNGE-KUTTA esempio bidimensionale: massa-molla K U M p1 f1 .... continua

Foglio Excel Excel

Osservazioni 1. Più il passo è piccolo: - più il metodo è preciso - maggiori sono i tempi di calcolo 2. Se il movimento calcolato è instabile: - riduco il passo - cambio metodo Se è ancora instabile lo è strutturalmente

Modelli deterministici Per alcuni modelli i parametri rappresentano dei coefficienti misurabili M K U Per altri modelli i parametri non sono misurabili ma vanno stimati

Richiami: taratura di un modello lineare Parametri: Dati Stima forma ricursiva Innovazione Coefficiente di oblio

Esempio: Valore medio (1) Dati: Modello: Taratura di un modello lineare Qual’è la retta orizzontale che passa più vicino a tutti i punti?

Esempio: Valore medio (2) Dati: Modello: Taratura di un modello lineare

Esempio: Regressione lineare (1) Dati: Modello: Taratura di un modello lineare Qual’è la retta passante per l’origine che passa più vicino a tutti i punti?

Esempio: Regressione lineare (2) Dati: Modello: Taratura di un modello lineare

Esempio: Ticino e Po (1) scala di deflusso B C A

 Esempio: Ticino e Po (2) Dati: Taratura di un modello non lineare B C rigurgito Dati: Parametri: Taratura di un modello non lineare scala di deflusso Come posso calcolare la portata nel tratto A?

Esempio: Ticino e Po (3) Modello: Scomposizione: Linearizzazione: Taratura di un modello non lineare