titolo differenziale, gradiente, matrice Jacobiana

y = f(x) non lineare y f(xo) xo x

h k L(h) h df( Xo) Df( Xo)(h) k = L(h) differenziale di f in Xo funzione differenza di f in Xo

L : Rn Rm lineare pj : Rn R

f : R R ( n = 1 ) f : Rn R

derivata parziale rispetto ad xj f : R R notazione di Leibnitz f : Rn R derivata parziale rispetto ad xj

derivata parziale rispetto ad xj f : Rn R derivata parziale rispetto ad xj GRADIENTE di f in Xo

f(X ) := potenziale elettrico in X df(Xo) Xo f(Xo) f(X ) := potenziale elettrico in X

R2 R f campo scalare

punto di minimo punto di massimo

PUNTO DI SELLA

y x O punto stazionario

campo scalare trasformazione lineare

Rn Rm Rn Rm f df(Xo) Jf(Xo) = M( df(Xo) ) = campo vettoriale matrice Jacobiana di f in Xo Rn Rm df(Xo) trasformazione lineare M( df(Xo) ) = Jf(Xo) =

R Rm R Rm f df(to) n = 1 M( df(to) ) = campo vettoriale trasformazione lineare n = 1 M( df(to) ) =

to f(R) f (to)

to to+ h f(R) f (to+ h) f (to)

to to+ h f(R) f (to+ h) f (to)

to+ h f(R) f (to+ h) f (to)

to+ h f(R) f (to+ h) f (to)

to+ h f(R) f (to+ h) f (to)

to+ h f(R) f (to+ h) f (to)

to+ h f(R) f (to+ h) f (to)

to+ h f(R) f (to)

to+ h f(R) velocità istantanea f (to)

X f regola della catena a R Rn R

equazioni differenziali titolo integrali ed equazioni differenziali

Integrale definito y f(xo) xo x x1 x2 x3 integrale definito di tra xo ed X f(xo) xo x x1 x2 x3

Integrale indefinito insieme delle primitive di integrale indefinito di

Tabella degli integrali

Moto rettilineo oggetto in moto rettilineo Un’applicazione: spazio percorso dopo un tempo t : velocità media tra gli istanti to e to+h : velocità istantanea nell’istante to :

Grave in caduta libera Un’applicazione: oggetto in caduta libera con velocità iniziale nulla accelerazione di gravità costante: g velocità raggiunta dopo un tempo t : v(t) = g t ? spazio percorso dopo un tempo t : s(t)

Esercizio Calcolare la derivata della funzione: Per la regola della catena :

iperbole

x(t) Crescita di batteri = numero di batteri vivi nell’istante t DI UNA POPOLAZIONE ISOLATA IN UN AMBIENTE CON RISORSE ILLIMITATE ( ad esempio: batteri in coltura ) x(t) = numero di batteri vivi nell’istante t variazione Dx nell’intervallo Dt : tasso di crescita tasso di natalità - tasso di mortalità

Equazione differenziale CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE ISOLATA IN UN AMBIENTE CON RISORSE ILLIMITATE ( ad esempio: batteri in coltura ) x(t) = numero di batteri vivi nell’istante t variazione Dx nell’intervallo Dt : EQUAZIONE DIFFERENZIALE

Separazione delle variabili x

Condizione iniziale condizione iniziale : INTEGRALE GENERALE INTEGRALE PARTICOLARE

Decadimento radioattivo = nuclei radioattivi nell’istante t variazione DN nell’intervallo Dt : ( k > 0 )

Regole di integrazione integrazione per parti

Esercizi sugli integrali indefiniti Risolvere gli esercizi da pagina 387 a pagina 390 sul testo consigliato (le pagine non possono essere presentate sul web, perché appartengono all’Editore)

Area di un rettangoloide y y = f(x) rettangoloide di f su [a, b] x a b

y y = f(x) x a b

y y = f(x) x a b

additività y additività a x c b

Teorema della media Teorema della media

Esercizi sugli integrali definiti Soluzioni degli esercizi proposti a pagina 404

Soluzioni degli esercizi proposti a pagina 472

Polinomi di Taylor

Funzioni potenza

Confronto tra infinitesimi

Polinomi di Taylor infinitesimo di ordine n per x che tende ad xo polinomio di Taylor di f di ordine n con punto iniziale xo Se f è una funzione differenziabile in xo , allora : infinitesimo di ordine 1 infinitesimo di ordine 2 infinitesimo di ordine n derivata di ordine k

Esercizio Esempio xo = 0 f(x) = sin x 1 - 1 1

Esempio xo = 0 f(x) = sin x Polinomi di Taylor

Polinomi di taylor del seno

Polinomio di grado 101