Elettrodinamica 2 24 ottobre 2013 Autoinduzione Dimensioni e unità dell’autoinduttanza Fem autoindotta Induzione mutua Circuito LR Energia magnetica Energia magnetica di due circuiti accoppiati Circuito LC Rocchetto di Ruhmkorff

Autoinduzione Un circuito percorso da corrente genera un campo B Il flusso di B concatenato al circuito è B può essere calcolato usando la prima formula di Laplace B è proporzionale alla corrente, ne segue che anche il flusso lo è

Autoinduttanza. Dimensioni, unità di misura Il coefficiente di proporzionalità è detto autoinduttanza del circuito Dipende soltanto da fattori geometrici, come la capacità elettrica Le dimensioni sono L’unità di misura è lo henry (H)

Autoinduttanza di un solenoide Il campo B dentro un solenoide di N spire, sezione A e lunghezza l è Il flusso di B concatenato con le N spire è L’autoinduttanza è

Fem autoindotta In un circuito non deformabile, se varia la corrente, varia il flusso di B e quindi viene indotta una fem In un circuito indeformabile l’autoinduttanza è costante, la legge di Faraday si scrive

Induzione mutua Se due circuiti C1 e C2 sono vicini, il flusso magnetico attraverso uno dipende anche dal campo B, e quindi dalla corrente, dell’altro Di nuovo il flusso è proporzionale alla corrente Ove M21 il coefficiente di induzione del circuito 2 sul circuito 1 C1 C2

Induzione mutua A questo termine si aggiunge naturalmente quello di autoinduzione, il flusso totale è quindi Simmetricamente per il circuito 2 avremo Si può dimostrare che Il valore comune M è detto induttanza mutua Dipende sia dalla forma di entrambi i circuiti che dalla loro disposizione relativa e distanza Dimensioni e unità di misura sono le stesse di L

Circuito LR Contiene un resistore R e un induttore L Inizialmente il circuito è aperto e i=0 Alla chiusura del circuito i è ancora zero, ma varia come e nell’induttanza c’è una fem Al tempo t circola una corrente i e ai capi di R c’è una caduta di potenziale iR Per la 2a legge di Kirchhoff

Analisi qualitativa del circuito LR Al tempo t=0, i=0 e la fem è uguale all’opposto della fem della batteria. Ne segue che i cresce come Al crescere di i, cresce la caduta di potenziale sulla resistenza. Ne segue che i cresce come Cioè più lentamente che per t=0

Analisi qualitativa del circuito LR Il valore finale di i si ottiene uguagliando a zero e vale L’equazione del circuito ha la stessa forma che per il circuito di carica di un condensatore Si ottiene come soluzione Con costante di tempo del circuito

Energia Magnetica Partiamo dall’equazione del circuito LR e moltiplichiamo tutti i termini per la corrente Il primo membro rappresenta la potenza erogata dalla batteria Il primo termine a secondo membro è la potenza dissipata nella resistenza Il secondo termine rappresenta la rapidità con cui viene erogata energia all’induttore

Energia Magnetica Possiamo dunque scrivere La quantità totale di energia accumulata nell’induttore si trova integrando da i=0 a i=If Si deve dunque compiere lavoro per instaurare una corrente in un induttore

Energia Magnetica Nell’istaurare una corrente in un induttore si genera un campo B Il lavoro compiuto può quindi interpretarsi come il lavoro necessario per produrre il campo B L’energia accumulata in un induttore è accumulata nel campo B Nel caso particolare di un solenoide rettilineo

Energia Magnetica L’energia magnetica accumulata è Poiché Al è il volume del solenoide, definiamo la densità di energia magnetica Questo risultato, anche se ricavato per un caso particolare, è valido in generale

Energia magnetica di due circuiti accoppiati EB1 L1 R2 EB2 L2 Applichiamo la legge di Kirchhoff ai due circuiti Isoliamo il termine di induzione

Energia magnetica di due circuiti accoppiati Moltiplichiamo la prima eq. per la corrente del primo circuito e analogamente procediamo con la seconda eq. Come nel caso di un circuito singolo, il termine di sinistra rappresenta la potenza magnetica

Energia magnetica di due circuiti accoppiati L’energia magnetica totale sara` la somma delle energie magnetiche dei due circuiti Esplicitando la fem dei due circuiti

Energia magnetica di due circuiti accoppiati E integrando Tale energia non puo` essere negativa, questo matematicamente si esprime dicendo che la forma quadratica seguente e` non negativa La condizione perche’ cio` avvenga e` che il determinante sia negativo o nullo

Coefficiente di accoppiamento Fisicamente cio` significa che il coefficiente di mutua induzione e` compreso nei limiti Si definisce coefficiente di accoppiamento r e` compreso tra zero (circuiti disaccoppiati) e uno (circuiti completamente accoppiati)

Circuito LC – Oscillazioni libere Applichiamo la 2a legge di Kirchhoff È l’equazione del moto armonico di pulsazione che ha soluzione L C

Circuito LC Ove A e f si determinano imponendo le condizioni iniziali Se p.e. imponiamo che al tempo t=0 la carica sia Q0 e la corrente sia 0, otteniamo Carica e corrente sono sfasate di p/2

Circuito LC L’energia accumulata nel circuito è in parte elettrica e in parte magnetica Questa energia è costante Ciò significa che l’energia si trasforma da elettrica a magnetica e viceversa, conservandosi globalmente La presenza di resistenze comporta una diminuzione di energia e.m. e la comparsa di energia termica grafico

Rocchetto a induzione(*) Un rocchetto ad induzione (o di Ruhmkorff) è un tipo di trasformatore utilizzato per produrre impulsi ad alta tensione (dell’ordine di 10 kV) partendo da una sorgente di corrente continua a bassa tensione (*) le pagine da 23 a 28 sono adattate da Wikipedia

Funzionamento Un rocchetto ad induzione consiste di due solenoidi di filo di rame isolato avvolti attorno ad un unico nucleo di ferro Un solenoide (avvolgimento primario) è costituito di decine o centinaia di spire di filo smaltato ed è percorso da una corrente elettrica che crea un campo magnetico L'altro (avvolgimento secondario) consiste di diverse migliaia di spire di filo sottile ed è accoppiato magneticamente al primario attraverso il nucleo di ferro

Funzionamento Il primario agisce da induttore, immagazzinando l'energia nel campo magnetico associato Per produrre le variazioni di flusso necessarie ad indurre la forza elettromotrice nell'avvolgimento secondario, la corrente che circola nel primario è interrotta ripetutamente mediante un contatto vibrante chiamato interruttore Quando la corrente elettrica del primario viene interrotta improvvisamente, il campo magnetico cala rapidamente e questo, per induzione elettromagnetica, causa un impulso ad alta tensione attraverso il secondario Grazie all'alto numero di spire dell'avvolgimento secondario, la fem generata crea una ddp tra i terminali del secondario di molte migliaia di volt. Questa tensione è sufficiente a generare una scarica elettrica attraverso l'aria che separa i terminali

Funzionamento Il rocchetto di Ruhmkorff utilizza una lamina metallica vibrante chiamata interruttore per aprire e chiudere rapidamente il circuito primario L'interruttore è montato ad una estremità del nucleo ferroso, il campo magnetico generato dal primario attira la lamina, trattenuta da una molla, e apre il circuito All'apertura del circuito, il campo magnetico si interrompe, la molla richiama l’interruttore e il circuito viene chiuso nuovamente

Funzionamento La tensione nel secondario è indotta sia quando il circuito si apre che quando si chiude, ma la variazione della corrente è molto più rapida quando il circuito si apre così l'impulso nel secondario all'apertura è molto maggiore NOTA: un condensatore è posto in parallelo all'interruttore del primario per sopprimere l'arco elettrico fra i contatti e permettere un'apertura più rapida e quindi una tensione maggiore La forma d'onda dell'uscita di un rocchetto ad induzione è costituita da una serie di impulsi positivi e negativi ma una delle due polarità è molto più ampia dell'altra

Funzionamento Il nucleo ferroso è costruito con un fascio di fili di ferro rivestiti con lacca per isolarli elettricamente Questo diminuisce la formazione di correnti parassite perpendicolari all'asse magnetico

R r M EB L1 L2 Circuito chiuso Equazione del primario in assenza di corrente nel secondario Soluzione i1 t

Circuito chiuso Flusso nel secondario Fem nel secondario EB L1 L2 Circuito chiuso Flusso nel secondario Fem nel secondario Fintanto che non passa corrente nel secondario, la fem si riduce a Nell’istante di chiusura del primario (t=0) essa vale E2 t

Circuito aperto modellato con una R molto grande EB L2 Circuito aperto modellato con una R molto grande Equazione del primario Soluzione i1 t

R r L1 M EB L2 Circuito aperto Fintanto che non passa corrente nel secondario, la fem e` Nell’istante di apertura del primario (t=0) essa vale E2 t

Fem nelle commutazioni Le fem all’apertura e chiusura del primario, tenuto conto del buon accoppiamento, sono L’ultimo passaggio deriva dal diverso numero di spire nei due avvolgimenti Il rapporto delle fem all’apertura e chiusura del primario e`

Fem nelle commutazioni Il rocchetto e` costruito in modo che generi una ddp tra i terminali aperti del secondario, sufficiente a superare la rigidita` dielettrica dell’aria e provocare quindi una scarica E2 t apertura del primario chiusura del primario Potenziale di scarica in aria

Importanza scientifica Un rocchetto di questo tipo fu usato da H. Hertz per dimostrare sperimentalmente l'esistenza delle onde elettromagnetiche