Flusso Massimo Certificati di (non-) ottimalità Esercizio 1 Sia data la seguente rete di flusso, in cui la sorgente è il nodo 1 e la destinazione è il nodo 6. Per ogni arco (i,j) viene fornita la capacità superiore uij e, nella “scatola”, il flusso xij sull’arco. 8 8 2 4 11 11 7 6 5 5 3 1 3 6 3 7 9 14 13 8 8 3 5 6 6 Si dimostri che x è un flusso ottimo.
Svolgimento x è una soluzione ammissibile, cioè un flusso, perché soddisfa sia i vincoli di capacità che quelli di conservazione del flusso; un certificato di ottimalità per x è fornito dal taglio saturo Ns= {1}, Nt = {2,3,4,5,6}, riportato in figura. 8 8 2 4 11 11 7 6 5 5 3 1 3 6 3 7 9 14 13 8 8 3 5 6 6
Esercizio 2 Sia data la seguente rete di flusso, in cui la sorgente è il nodo 1 e la destinazione è il nodo 6. Per ogni arco (i,j) viene fornita la capacità superiore uij e, nella “scatola”, il flusso xij sull’arco. 8 8 2 4 11 9 7 7 5 5 2 3 1 3 6 3 6 9 14 10 8 8 3 5 6 6 Si dimostri che x è un flusso non ottimo.
Svolgimento x è una soluzione ammissibile, cioè un flusso, perché soddisfa sia i vincoli di capacità che quelli di conservazione del flusso; un certificato di non ottimalità per x è fornito dal cammino aumentante (1,2,5,6), di capacità 2, riportato in figura. 8 8 2 4 11 9 7 7 5 5 2 3 1 3 6 3 6 9 14 10 8 8 3 5 6 6
Altra possibile tipologia di esercizio Esercizio 3 Sia data la seguente rete di flusso, in cui la sorgente è il nodo … e la destinazione è il nodo …. Per ogni arco (i,j) viene fornita la capacità superiore uij e, nella “scatola”, il flusso xij sull’arco. Si fornisca un certificato di ottimalità, oppure un certificato di non ottimalità, per il flusso x.