I magnifici cinque a cura di Renata Rizzo 2006 N.B. per leggere i collegamenti ipertestuali sono necessari i software Cabri II plus v.1.2.5. e Cabri 3D v.1.1.

I solidi di Platone ovvero i poliedri regolari Tetraedro Esaedro o Cubo Ottaedro Dodecaedro Icosaedro 428- 347 a.C.

Tra le figure piane Si chiamano regolari i poligoni che sono ad un tempo equilateri cioè con i lati tutti congruenti e equiangoli cioè con gli angoli tutti congruenti

Si possono disegnare poligoni regolari con qualsiasi numero di lati Al limite se i lati sono infiniti il poligono diventa un cerchio

Perché? Tra i solidi: I poliedri regolari invece sono solo 5 Inoltre le facce dei poliedri sono solo TRIANGOLI EQUILATERI QUADRATI PENTAGONI REGOLARI

In Grecia nel V secolo a.C……… Impara dapprima le quattro radici di tutte le cose: l’aria, la terra, il fuoco e l’acqua. Questi elementi sono eterni: come potrebbero infatti morire dato che non c’è nessun luogo che ne sia privo? Sono l’aria, la terra, il fuoco e l’acqua che, mescolati insieme, danno le forme e i colori di tutte le cose mortali. Empedocle 400 a.C.

Così pensavano gli antichi e Platone circa un secolo dopo Empedocle, legò i quattro elementi base dell’universo a quattro poliedri regolari: Fuoco Tetraedro Aria Ottaedro Terra Esaedro Acqua Icosaedro

TETRAEDRO Relazione di Eulero: V + F = S + 2 Per il tetraedro: 4 + 4 = 6 + 2 Cioè: 8 = 8 4 vertici 4 facce triangolari 6 spigoli

Lo sviluppo piano del TETRAEDRO Le 3 facce concorrenti in un vertice formano un angolo di 60° x 3 = 180°< 360° Si può quindi piegare e richiudere formando un solido

Per gli antichi il TETRAEDRO era il simbolo del FUOCO

Scambiando le facce con i vertici si ottiene uno strano effetto Dentro il tetraedro se ne forma un altro chiamato DUALE

OTTAEDRO Relazione di Eulero: V + F = S + 2 Per il l’ottaedro: 6 + 8 = 12 + 2 Cioè: 14 = 14 6 vertici 8 facce triangolari 12 spigoli

Lo sviluppo piano dell’ OTTAEDRO Le 4 facce concorrenti in un vertice formano un angolo di 60° x 4 = 240°< 360° Si può quindi piegare e richiudere formando un solido

Per gli antichi l’ OTTAEDRO rappresentava l’ ARIA

ESAEDRO o CUBO Relazione di Eulero: V + F = S + 2 Per il cubo: 8 + 6 = 12 + 2 Cioè: 14 = 14 8 vertici 6 facce quadrate 12 spigoli

Lo sviluppo piano dell’ ESAEDRO Le 3 facce concorrenti in un vertice formano un angolo di 90° x 3 = 270°< 360° Si può quindi piegare e richiudere formando un solido

Per gli antichi il CUBO rappresentava La TERRA

Dentro il cubo si forma un ottaedro DUALE Scambiando le facce con i vertici anche in questo caso si ottiene uno strano effetto Dentro il cubo si forma un ottaedro DUALE

E dentro l’OTTAEDRO si forma un CUBO DUALE

Il numero delle facce e dei vertici è invertito Infatti: l’OTTAEDRO ha 6 vertici 8 facce Il CUBO invece ha: 8 vertici 6 facce Cioè: Il numero delle facce e dei vertici è invertito

ICOSAEDRO Relazione di Eulero: V + F = S + 2 Per l’ icosaedro: 12 + 20 = 30 + 2 Cioè: 32 = 32 12 vertici 20 facce triangolari 30 spigoli

Lo sviluppo piano dell’ ICOSAEDRO Le 5 facce concorrenti in un vertice formano un angolo di 60° x 5 = 300°< 360° Si può quindi piegare e richiudere formando un solido

era considerato il simbolo L’ICOSAEDRO era considerato il simbolo dell’ACQUA

DODECAEDRO Relazione di Eulero: V + F = S + 2 Per l’ icosaedro: 20 + 12 = 30 + 2 Cioè: 32 = 32 20 vertici 12 facce pentagonali 30 spigoli

Lo sviluppo piano del DODECAEDRO Le 3 facce concorrenti in un vertice formano un angolo di 108° x 3 = 324°< 360° Si può quindi piegare e richiudere formando un solido

Dio si giovò del dodecaedro regolare per decorare l’ UNIVERSO Platone

Scambiando facce e vertici del DODECAEDRO compare …… L’ICOSAEDRO DUALE

Scambiando facce e vertici dell’ ICOSAEDRO compare …… il DODECAEDRO DUALE

Il numero delle facce e dei vertici è invertito Infatti: L’ICOSAEDRO ha: 12 vertici 20 facce Il DODECAEDRO ha 20 vertici 12 facce Cioè: Il numero delle facce e dei vertici è invertito

Le straordinarie proprietà geometriche dei poliedri regolari hanno sempre affascinato l’uomo lungo tutta la sua storia. Ecco alcuni esempi:

Leonardo da Vinci illustrò un trattato del matematico Luca Pacioli con questi disegni

Il grande artista olandese M.C. Escher (1898-1972) ha realizzato moltissime litografie e xilografie in cui compaiono i poliedri regolari. Quattro solidi

Ordine e disordine

Rettili

Tre solidi

Molto suggestiva è anche l’immagine di questo quadro del pittore surrealista spagnolo Salvator Dalì (1904-1989) raffigurante l’ultima cena sovrastata da una cupola trasparente a forma di dodecaedro regolare.