Il concetto di flusso di un vettore attraverso una superficie Dato un campo di flusso (per esempio un campo di velocità, un campo elettrico etc..), una superficie immersa nel campo può essere rappresentata con un vettore perpendicolare ad essa nel suo centro ed uscente (che significa uscente?) Si definisce flusso del vettore v attraverso la superficie S il prodotto scalare del vettore v per il vettore S Φ(v)=v*S=vScosα Il flusso dipende da v, S e da α Se v ed S hanno la stessa direzione il prodotto scalare diventa un prodotto normale. Se α è 90° il flusso attraverso la superficie S è nullo. S S v α v

Il flusso totale è nullo Il flusso totale è diverso da zero. Flusso attraverso una superficie chiusa Nel caso di un campo uniforme, il numero delle linee di campo entranti è lo stesso di quelle uscenti. Il flusso totale è nullo Nel caso in cui c’è una sorgente che crea linee di campo, il numero delle linee di campo uscenti è maggiore di quelle entranti. Il flusso totale è diverso da zero.

TEOREMA DI GAUSS Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma delle cariche racchiuse diviso la costante dielettrica. Fai clic per iniziare e continuare Il Teorema di Gauss è utile per il calcolo dei campi elettrici di distribuzioni di cariche con particolari simmetrie. Basta individuare il tipo di simmetria e la corrispondente superficie gaussiana attraverso cui calcolare il flusso del campo.

Distribuzione di carica Simmetria Proprietà dello spazio Superficie gaussiana Campo elettrico risultante Carica puntiforme Q Sferica Isotropia Superficie sferica con centro in Q E=KQ/r2 Densità di carica superficiale σ su un piano Piana Omogeneità Superficie cilindrica con asse perpendicolare al piano E=σ/ε0 Densità di carica lineare λ su una retta Cilindrica Superficie cilindrica con asse il filo di cariche E=λ/2πε0r Sfera di cariche con densità di carica volumica ρ Superficie sferica concentrica con la sfera di cariche E=[Q/4πε0R3]r r<R E=Q/4πε0r2 r>R Superficie sferica di cariche E=0 r<R E=Q/4πε0r2 r>R Condensatore piano carico Un cilindro con una base parallela esterna all’armatura e una base interna.

Carica puntiforme E E S2 S1 E Q E Si ha: La simmetria dello spazio è sferica. Scegliamo come superficie gaussiana una sfera di centro la carica Q S2 S1 E Dividiamo la superficie della sfera in porzioni rappresentati dai vettori S1,S2…..Per simmetria il campo elettrico E è costante sull’intera superficie. Q E Si ha:

Piano di cariche S E S E La simmetria dello spazio è piana. Scegliamo come superficie gaussiana una superficie cilindrica con asse perpendicolare al piano E S Il vettore E è perpendicolare al piano di cariche di densità superficiale sigma e quindi il flusso di E attraverso ogni piano di base del cilindro è E*S mentre è nullo attraverso la superficie laterale

Linea retta di cariche S E S E La simmetria è cilindrica La superficie gaussiana è un cilindro con asse la linea di carica. S E E S Il campo E ha direzione perpendicolare alla linea di cariche Il flusso attraverso le basi è nullo. Il flusso totale è quello attraverso la superficie laterale.

Sfera piena di cariche R r E r R La simmetria è sferica. La superficie gaussiana è una superficie sferica concentrica di raggio r. R r Il campo elettrico all’interno della sfera è proporzionale ad r. Per r=R si riottiene l’espressione del campo elettrico di una carica Q. r R E Se faccio un buco lungo tutto il diametro di una sfera carica positivamente, quale sarà il moto di una carica negativa lasciata ad una uscita del buco?

Superficie sferica conduttrice carica La simmetria è sferica. La superficie gaussiana è una sfera. R r Se il raggio della superficie gaussiana è r<R Se il raggio della superficie gaussiana è r>R r E

Condensatore piano carico Un condensatore è costituito da due armature metalliche piane e parallele. Il flusso del campo è nullo attraverso la base nell’armatura e attraverso la superficie laterale. La simmetria è piana Prendiamo come superficie gaussiana un cilindro con una base parallela esterna all’armatura e una base interna. Il flusso totale è dato da quello del campo elettrico attraverso la base posta tra le armature. S E