Giochi dinamici: prima e seconda mossa Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Introduzione Spesso le imprese competono in sequenza un’impresa fa una mossa un nuovo prodotto una campagna pubblicitaria la seconda impresa osserva questa mossa e poi risponde Questi sono giochi dinamici possono creare un vantaggio della prima mossa o possono un vantaggio della seconda mossa possono anche consentire al leader di prevenire altri ingressi sul mercato Possono generare equilibri molto differenti dai giochi di scelta simultanea Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Stackelberg Pensate prima in termini di Cournot Le imprese scelgono la quantità sequenzialmente il leader sceglie la sua quantità per primo, in modo osservabile il follower osserva e sceglie la propria quantità Il first mover ha un vantaggio può anticipare le azioni del follower può perciò “manipolare” il follower Affinché sia davvero così, il leader deve vincolarsi credibilmente alla propria scelta di output L’impegno strategico ha un valore importante Capitolo 10 - Giochi Dinamici

L’equilibrio di Stackelberg Assumete ci siano due imprese con beni identici Come nell’esempio con Cournot, la domanda è: P = A – BQ = A – B(q1 + q2) I costi marginali per ciascuna impresa sono c L’impresa 1 è leader e sceglie la quantità q1 Così facendo può anticipare le azioni dell’impresa 2 Considerate l’impresa 2: la sua domanda residuale è P = (A – Bq1) – Bq2 e i suoi ricavi marginali sono perciò R’2 = (A - Bq1) – 2Bq2 Capitolo 10 - Giochi Dinamici

L’equilibrio di Stackelberg (2) Uguagliate i ricavi marginali ai costi marginali R2’ = (A - Bq1) – 2Bq2 C’ = c  q2* = (A - c)/2B - q1/2 La domanda dell’impresa 1 è P = (A - Bq2) – Bq1 P = (A - Bq2*) – Bq1 P = (A - (A-c)/2) – Bq1/2  P = (A + c)/2 – Bq1/2 Ricavi marginali impresa 1: R’1 = (A + c)/2 - Bq1 (A + c)/2 – Bq1 = c  q1* = (A – c)/2  q2* = (A – c)4B Questa è la funzione di reazione dell’impresa 2 q2 L’impresa 1 sa che questa è la funzione di reazione dell’impresa 2 alle scelte di output di 1 Dal precedente esempio sappiamo che questo è l’output di monopolio. Questo è un aspetto importante: il leader in Stackelberg sceglie lo stesso output di un monopolista, ma l’impresa 2 non è tagliata fuori dal mercato Ma l’impresa 1 sa quanto sarà q2 L’impresa 1 può anticipare la reazione dell’impresa 2 (A – c)/2B S (A – c)/4B Uguagliate i ricavi marginali ai costi marginali R2 Risolvete per q1 q1 (A – c)/B (A – c)/2 Capitolo 10 - Giochi Dinamici

L’equilibrio di Stackelberg (3) La funzione di reazione dell’impresa 1 è “come” quella dell’impresa 2 L’output aggregato è 3(A-c)/4B Il prezzo di equilibrio è (A+3c)/4 Profitti impresa 1 (A-c)2/8B Profitti impresa 2 (A-c)2/16B Sappiamo che l’equilibrio di Cournot sia q1C = q2C = (A-c)/3B Prezzo in Cournot (A+c)/3 Profitti di ciascuna impresa (A-c)2/9B La leadership dà benefici al leader impresa 1, ma danneggia l’impresa follower 2 q2 (A-c)/B R1 Confrontate con l’equilibrio di Cournot (A-c)/2B C (A-c)/3B Con Leadership i consumatori traggono benefici, ma si riducono i profitti aggregati S (A-c)/4B R2 q1 (A-c)/3B (A-c)/ B (A-c)/2B Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Stackelberg e l’impegno credibile E’ fondamentale che il leader si impegni in maniera credibile a produrre la propria scelta di output senza tale impegno, l’impresa 2 ignorerebbe qualunque intento espresso dell’impresa 1 sulla produzione di (A – c)/2B unità l’unico equilibrio sarebbe l’equilibrio di Cournot Come impegnarsi in maniera credibile? costruendosi una reputazione investendo in capacità addizionale immettendo sul mercato la quantità dichiarata Dato tale impegno, ciò che conta è la tempistica di scelta Ma essere first mover è sempre vantaggioso? Considerate la competizione sui prezzi Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Stackelberg e la concorrenza di prezzo Con concorrenza sui prezzi la faccenda è molto diversa Il first-mover non ha alcun vantaggio: supponete prodotti identici il first-mover si impegna a vendere ad un prezzo superiore a C’ il follower abbasserà leggermente i prezzi e prenderà l’intero mercato l’unico equilibrio è P = C’ identico al gioco simultaneo ora supponete prodotti differenziati come nel modello spaziale assumete esistano due imprese come nel capitolo 9, ma ora l’impresa 1 può stabilire il prezzo per prima (vincolandosi a tale prezzo) conosciamo le funzioni di domanda delle due imprese e conosciamo la funzione di reazione dell’impresa 2 Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Stackelberg e la concorrenza di prezzo (2) Domanda impresa 1 D1(p1, p2) = N(p2 – p1 + t)/2t Domanda impresa 2 D2(p1, p2) = N(p1 – p2 + t)/2t Funzione di reazione impresa 2 p*2 = (p1 + c + t)/2 L’impresa 1 conosce la funzione di reazione dell’impresa 2 e perciò la domanda di 1 è D1(p1, p2*) = N(p2* – p1 + t)/2t = N(c +3t – p1)/4t Profitti impresa 1 π1 = N(p1 – c)(c + 3t – p1)/4t Derivate rispetto a p1 π1/p1 = N(c + 3t – p1 – p1 + c)/4t = N(2c + 3t – 2p1)/4t Risolvendo ottenete p1* = c + 3t/2 Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Stackelberg e la concorrenza di prezzo (3) p1* = c + 3t/2 Sostituite nella funzione di reazione dell’impresa 2 p2* = (p1* + c + t)/2  p2* = c + 5t/4 I prezzi sono maggiori che nel gioco simultaneo p* = c + t L’impresa 1 ha un prezzo maggiore rispetto all’impresa 2 e perciò ha anche una minor quota di mercato: c + 3t/2 + txm = c + 5t/4 + t(1 – xm)  xm = 3/8 Profitti impresa 1: π1 = 18Nt/32 Profitti impresa 2: π2 = 25Nt/32 La competizione di prezzo avvantaggia il second-mover Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Giochi dinamici e credibilità I giochi dinamici visti prima richiedono che le imprese si muovano in sequenza: che possano impegnarsi a perseguire le proprie scelte ciò è ragionevole quando si tratta di quantità è molto meno scontato quando si tratta di prezzi in assenza di un impegno credibile la soluzione dei giochi dinamici diventa assai differente il leader in Cournot può non produrre l’output dichiarato il first-mover in Bertrand può non mantenere il prezzo dichiarato Considerate un gioco di entrata in un mercato: l’entrata di concorrenti può essere prevenuta dal first-mover? Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Credibilità e predazione Prendete un semplice esempio due imprese: Megasoft (incumbent) e Novasoft (entrante) Novasoft sceglie per prima entrare o rimaner fuori dal mercato di Megasoft Poi sceglie Megasoft ostacolare l’entrata o accettare La matrice dei pay-off è come segue: Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Un esempio di predazione Qual è l’equilibrio di questo gioco? Ma (Entrare, Ostacolare) è credible? Matrice dei pay-off Megasoft Pare esistano due equilibri per questo gioco (Entrare, Ostacolare) non è un equilibrio Ostacolare Accettare (0, 0) Entrare (0, 0) (2, 2) Novasoft (1, 5) Restare fuori (1, 5) (1, 5) (Restare fuori, Accettare) non è un equilibrio Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Credibilità e predazione (2) Le opzioni elencate sono strategie e non azioni L’opzione di Megasoft di Ostacolare non è un’azione è una strategia Megasoft ostacolerà l’entrata solo se Novasoft entra, ma altrimenti non agisce aggressivamente Analogamente Accettare è una strategia definisce le azioni in relazione alla scelta strategica di Novasoft Le azioni implicite in una particolare strategia sono credibili? La promessa di Ostacolare se Novasoft entra è plausibile? Se non lo è, allora l’equilibrio associato è molto sospetto La rappresentazione in forma di matrice ignora il tempo rappresentate il gioco nella sua forma estesa per mettere in evidenza la sequenza delle mosse Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Ancora il nostro esempio Ostacolare viene eliminata E se Novasoft entra? (0,0) (0,0) Ostacolare Ostacolare Megasoft sta meglio accettando (2,2) Accettare Entrare Entrare M2 (2,2) Novasoft Entrare, Accettare è l’unico equilibrio per questo gioco N1 Novasoft sceglierà di entrare dato che Megasoft accetterà l’entrata Restare fuori (1,5) Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Il paradosso della catena di negozi E se Megasoft fosse presente in più di un mercato? minacciare su un mercato potrebbe influenzare gli altri Ma emerge il paradosso della catena di negozi di Selten: esiste una sequenza di 20 mercati Megasoft sceglierà “ostacolare” nei primi mercati per prevenire l’entrata nei successivi mercati? No: questo è il paradosso Supponete Megasoft scelga “ostacolare” nei primi 19 mercati, sceglierà “ostacolare” anche per il ventesimo mercato? Con un solo mercato rimanente, siamo nella situazione di prima: “Entrare, Accettare” è l’unico equilibrio Ostacolare l’ingresso sul ventesimo mercato non aiuterà a prevenire l’entrata su altri mercati…Non ce ne sono altri!! Perciò, “Ostacolare” non può essere scelta per il ventesimo mercato Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Il paradosso della catena di negozi (2) Ora considerate il 19° mercato L’equilibrio sarà “Entrare, Accettare” L’unico motivo per scegliere “Ostacolare” sul 19° mercato è di costruirsi una reputazione di impresa spietata per convincere i potenziali entranti del 20° mercato a non entrare Ma Megasoft non sceglierà “Ostacolare” nel 20° mercato Perciò “Entrare, Accettare” diventa l’unico equilibrio anche per questo mercato E il 18° mercato? “Ostacolare” per dissuadere gli entranti del 19° e 20° mercato Ma la minaccia di “Ostacolare” non è credibile “Entrare, Accettare” è ancora l’unico equilibrio Andando a ritroso, osserviamo che Megasoft non ostacolerà l’entrata su alcun mercato Capitolo 10 - Giochi Dinamici

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi Esercizio 1 Si consideri un gioco di Stackelberg di concorrenza sulla quantità fra 2 imprese. L’impresa 1 è il leader, la 2 il follower. La domanda di mercato è P = 1000-4Q. Ciascuna impresa ha un costo unitario costante pari a 20. Trovate l’equilibrio di Nash Si supponga che il costo unitario produzione impresa 2 sia c<20. Quale valore dovrebbe avere c perché nell’equilibrio di Nash le 2 imprese abbiano la stessa quota di mercato? Capitolo 10 - Giochi Dinamici 18

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (2) Risoluzione Esercizio 1 L’impresa 2 sceglie la sua quantità per massimizzare i profitti Ora l’impresa 1 sceglie l’output per massimizzare i propri profitti Capitolo 10 - Giochi Dinamici 19

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (3) Risoluzione Esercizio 1 Non esiste un c non negativo tale per cui leader e follower hanno le stesse quote di mercato. Per vedere il perché, considerate c = 0. In questo caso la quantità prodotta dal leader è 120, mentre la quantità del follower è inferiore a 120. Al crescere di c, la quota di mercato del leader cresce mentre quella del follower diminuisce. Capitolo 10 - Giochi Dinamici 20

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (4) Esercizio 2 Cittadina di Tavullia, abitanti 1000 uniformemente distribuiti lungo la via centrale lunga 10 Km. Ogni cittadino acquista ogni giorno un frullato di frutta, usando uno scooter per spostarsi (andata e ritorno) con un costo di 0,50 di benzina per Km. Gianni possiede il negozio dell’estremità occidentale e Oscar il negozio dell’estremitò orientale. Costo marginale 1 frullato è di 1€ per negozio. Inoltre ciascuno di essi paga una tassa di 250€ al giorno. Gianni fissa il suo prezzo P1 per primo e poi Oscar fissa il suo a P2. Dopo che i prezzi sono stati fissati, quali prezzi stabiliranno i 2 negozi? Quanti clienti servirà ciascun negozio e quali saranno i 2 profitti? Capitolo 10 - Giochi Dinamici 21

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (5) Risoluzione Esercizio 2 Definiamo p1 il prezzo praticato da Gianni e p2 il prezzo praticato da Oscar. Sia x la posizione di un consumatore indifferente tra raggiungere Gianni o Oscar. Ne segue che Di conseguenza, la domanda affrontata da Gianni è Dunque, i profitti di Gianni sono dati da Capitolo 10 - Giochi Dinamici 22

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (6) Risoluzione Esercizio 2 Mentre i profitti di Oscar sono Dato che Oscar è il follower, per prima cosa massimizziamo π2 rispetto a p2 per ricavare la funzione di reazione di Oscar. Ora, sostituiamo la funzione di reazione di Oscar nella funzione di profitto di Gianni e otteniamo Capitolo 10 - Giochi Dinamici 23

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (7) Risoluzione Esercizio 2 Massimizziamo ora π1 rispetto a p1 Ora, dalla funzione di reazione di Oscar, otteniamo Capitolo 10 - Giochi Dinamici 24

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (8) Risoluzione Esercizio 2 Perciò, Gianni servirà una quota di mercato pari a Mentre Oscar avrà una quota di mercato pari a I profitti di Gianni sono 375(16 – 1) – 250 = 5375 I profitti di Oscar sono 625(13,5 – 1) – 250 = 7562,5 Capitolo 10 - Giochi Dinamici 25

Esercizi (9) Esercizio 4 Una impresa ha 2 fornitori di acqua. Uno di essi è Norda che offre acqua limpida ma non effervescente. L’altro è Pellegrino che offre acqua effervescente ma con dei residui. Il settore marketing ha sintetizzato la seguente matrice dei profitti sulla base dei prezzi per un contenitore da 8 litri. Quale equilibrio di Nash se le 2 imprese stabiliscono il prezzo simultaneamente? Quale equilibrio se la Norda stabilisce il prezzo per prima e la Pellegrino risponde al meglio? Dimostrare che la scelta del prezzo per primo è uno svantaggio per la Norda Prezzo della Norda Prezzo della Pellegrino 3 4 5 6 24,24 30,25 36,20 42.12 25,30 32,32 41,30 48,24 20,36 30,41 40,40 50,36 12,42 24,48 36,50 48,48 Capitolo 10 - Giochi Dinamici 26

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (10) Risoluzione Esercizio 4 Capitolo 10 - Giochi Dinamici 27

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (11) Risoluzione Esercizio 4 In questo caso possiamo utilizzare la funzione di reazione della Pellegrino per trovare la scelta ottimale. Chiamiamo la funzione di reazione della Pellegrino P (___Scelta di Norda). P (___3) = 4 dato che 25 è la prima cifra nelle parentesi più elevata della colonna 1. P (___4) = 4 dato che 32 è la prima cifra nelle parentesi più elevata della colonna 2. P (___5) = 4 dato che 41 è la prima cifra nelle parentesi più elevata della colonna 3. P (___6) = 5 dato che 50 è la prima cifra nelle parentesi più elevata della colonna 4. Capitolo 10 - Giochi Dinamici 28

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (12) Risoluzione Esercizio 4 Ora considerate la funzione di reazione della Norda N (3___) = 4 dato che 25 è la seconda cifra nelle parentesi più elevata della riga 1. N (4___) = 4 dato che 32 è la seconda cifra nelle parentesi più N (5___) = 4 dato che 41 è la seconda cifra nelle parentesi più N (6___) = 5 dato che 50 è la seconda cifra nelle parentesi più L’equilibrio di Nash è ovviamente dove N (4___) = 4 e S (___4) = 4 e cioè il punto (4,4). Capitolo 10 - Giochi Dinamici 29

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (13) Risoluzione Esercizio 4 b) Se Norda dovesse scegliere per prima e fosse consapevole del fatto che Pellegrino è second mover allora la funzione di Payoff di Norda dipende dalla funzione di reazione della Pellegrino. I payoff di Norda sono i seguenti PayoffN(N=3) = PayoffN(P(___3)) = = PayoffN quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 30. PayoffN(N=4) = PayoffN(P(___4)) = = PayoffN quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 32. PayoffN(N=5) = PayoffN(P(___5)) = PayoffN(N=6) = PayoffN(P(___6)) = = PayoffN quando Pellegrino sceglie 5, ovvero 36. Capitolo 10 - Giochi Dinamici 30

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (14) Risoluzione Esercizio 4 L’equilibrio è ora al punto (5,6) dove Norda sceglie per prima 6. Entrambe le imprese stanno meglio in questo gioco perché, appena Norda sceglie 6 e non può tornare indietro, la miglior risposta della Pellegrino è 5. Se ora la Norda potesse cambiare scelta, allora tornerebbe indietro e passerebbe a 4, ma a questo punto la Pellegrino cambierebbe andando a 4 tornando così all’equilibrio di Cournot. Norda non ricava alcun beneficio dall’essere first mover. In un gioco sui prezzi, l’impresa che muove per prima è “un bersaglio fermo” per l’impresa che muove seconda. Entrambe stanno meglio che nella scelta simultanea, ma il second mover è quello che ricava il maggior beneficio. Capitolo 10 - Giochi Dinamici 31

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (15) Esercizio 7 La EosTech ha un monopolio per la produzione di attrezzi. La domanda è: a un prezzo di 10.000€ al pezzo => 25.000 unità a un prezzo di 600€ al pezzo => 30.000 unità Gli unici costi sono i costi iniziali di produzione irrecuperabili di costruzione di un impianto. La EosTech ha investito per portare la produzione a 25.000 unità. Un potenziale concorrente di questa industria è in grado di appropriarsi del 50% del mercato investendo 10.000.000€. Tale impresa entrerebbe nel mercato? Perché? Se la EosTech potesse investire 5.000.000€ per arrivare a 40.000 unità, tale strategia sarebbe efficace e redditizia per scoraggiare l’entrata dell’altra impresa? Capitolo 10 - Giochi Dinamici 32

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (15) Risoluzione Esercizio 7 La funzione di domanda inversa è P = 3.000 – 0,08Q Con C’ = 0 l’esito di monopolio per la EosTech è P = € 1.500 Q = 18.750 Profitti = € 28.125.000. Interpretiamo l’affermazione che il concorrente può appropriarsi del 50% del mercato nel senso che può competere in un duopolio simmetrico sulle quantità. In questo caso, l’equilibrio post-entrata è P = € 1.000 Q = 25.000 Ciascuna impresa produce qi = 12.500 unità e ottiene un risultato operativo pari a € 12.500.000. Dato che il costo di entrata è pari a € 10.000.000, l’entrata è profittevole. Capitolo 10 - Giochi Dinamici 33

Capitolo 10 - Giochi Dinamici Esercizi (15) Risoluzione Esercizio 7 I profitti della EosTech scendono da € 28.125.000 a € 12.500.000, ossia subiscono una riduzione di € 15.625.000. Se spendendo € 5.000.000 EosTech potesse scoraggiare l’entrata della rivale ed evitare la perdita di € 15.625.000, sicuramente sarebbe un ottimo investimento. Tuttavia, non è affatto evidente che l’acquisto di capacità produttiva addizionale permetta di raggiungere questo risultato. La capacità attuale dell’impresa è 25.000 che è già superiore a ciò di cui abbisogna. Capitolo 10 - Giochi Dinamici 34