Quinta Lezione Espansione in momenti di dipolo, Metodo delle immagini, definizione e calcolo capacità

Riassunto della lezione precedente Circuitazione del campo elettrico Gabbia di Faraday Potenziale di un guscio/conduttore carico il generatore di Kelvin effetto delle punte e parafulmine calcolo del potenziale per alcune distribuzioni

L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche Distribuzione arbitraria di cariche: il potenziale in P in prima approssimazione, a grande distanza: P ri r di r’ Ma se ci sono cariche positive e negative in ugual quantità? L’approssimazione è chiaramente insufficiente

L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche Approssimiamo meglio ri P ri r di Per cui il potenziale diventa r’

L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche Se definiamo momento di dipolo per una distribuzione di cariche Vediamo che il secondo termine dell’espansione è Cioè esattamente il potenziale di dipolo calcolato nella scorsa lezione Questo è importante in quanto stabilisce che qualunque distribuzione di cariche, globalmente neutra, ad una certa distanza ha un potenziale (e quindi un campo) che dipende dal momento di dipolo

Esempio: approssimazioni a grande distanza Supponiamo di avere una distribuzione di cariche piuttosto complicata: Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m Q3= 12nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m Q2= 3nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m Q4= 8nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m Qual è il potenziale in P (3,0,4) m? P

Esempio: approssimazioni a grande distanza Le cariche sono tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m Sappiamo quindi che il risultato sarà con buona approssimazione Se avessimo fatto il conto in modo esatto avremmo ottenuto ….la distanza in questo caso non è poi così grande...

Esempio2: approssimazioni a grande distanza Modifichiamo lievemente i dati (le cariche) del problema precedente: Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m Q3= -4nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m Q2= 5nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m Q4= -2nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m Qual è il potenziale in P(3,0,4) m? P

Esempio 2: approssimazioni a grande distanza Le cariche sono ancora tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m Però se calcoliamo come prima Ovvero l’approssimazione è insufficiente: conta il contributo di dipolo (che sappiamo decrescere come r2) Calcoliamo il termine di dipolo:

Esempio 2: approssimazioni a grande distanza Se avessimo calcolato in modo “rigoroso” avremmo ottenuto

Metodo delle Immagini Se sostituiamo una superficie equipotenziale con una superficie conduttrice (o un conduttore pieno) avente il corretto potenziale, il campo rimane identico! IDEA: studiare i campi di distribuzioni di cariche in prossimità di conduttori rimpiazzando i conduttori con distribuzioni di carica appropriate, o viceversa, a seconda della difficoltà del problema

Metodo delle Immagini Tale procedura, ovvero sostituire ad un problema, un problema equivalente più semplice, è molto generale Ovviamente il problema è equivalente per tutto quanto è al di fuori del conduttore equivalente Il caso più semplice: un conduttore piano a potenziale zero (massa) in prossimità di una carica. Basta sostituire con un dipolo.

Carica in prossimità di un piano conduttore - P Il campo dovuto alla carica sola è r r a Sul piano, il campo è tutto ortogonale, con direzione -x, e la componente di r lungo x di r è -a, ovvero Aggiungiamo l’effetto della carica immagine raddoppiando il campo

Carica in prossimità di un piano conduttore - P La densità di carica indotta (Gauss) è r r a Notate che, se integriamo su tutto il piano (nota: (r,q) individuano un punto in coordinate polari) Come deve essere. La forza che subisce la carica è ovviamente (forza tra due cariche uguali e opposte…) Lo stesso risultato poteva essere ottenuto integrando i contributi di forza dovuti a s (molto più laborioso!!)

ATTENZIONE L’equivalenza è valida solo per la regione al di fuori del conduttore equivalente: es. appello luglio 2007 Flusso attraverso la sfera? NON E’ ZERO come potreste immaginare mettendo la carica immagine Usiamo il teorema della immagini per calcolare la carica sul piano Integrata nel cerchio di 1 m Quindi per Gauss:

Capacità di un conduttore Per una sfera conduttrice isolata caricata con carica Q, i punti della superficie sono equipotenziali R Q Definiamo tale quantità Capacità [F]=[C]/[V] Se il conduttore non è sferico, nelle stesse condizioni il rapporto resta invariante

Capacità di un sistema di conduttori Vc3 Vc1 Se i conduttori sono più di uno, ricordando che Vc2 Avremo in generale Dove pij si definiscono coefficienti di potenziale

Capacità di un sistema di conduttori Quindi, un legame lineare (matrice) lega anche nel caso di più conduttori potenziali e cariche. Possiamo invertire tale matrice I coefficienti sono scritti in minuscolo perché, per convenzione, non sono ancora le capacità, ma coefficienti di capacità. Per definire le capacità conviene valutare quali siano i coefficienti che legano le cariche alle differenze di potenziale tra i conduttori (vedremo poi perché)

Sistema di conduttori Riscrivendo i coefficienti in modo da far comparire differenze di potenziale tra i conduttori, si ha in pratica una matrice capacità, in cui i coefficienti sulla diagonale si definisco autocapacità e gli altri coefficienti, mutue capacità

Sistema di 2 conduttori consideriamo il caso di 2 conduttori +q -q tale sistema prende il nome di condensatore

Condensatore piano Calcoliamo la capacità per il caso di due lamine affacciate, di area S e distanziate d + - d x Applicando il Teorema di Gauss:

Capacità tra due sfere metalliche concentriche b d Sa Sb

Capacità di un tratto di cavo coassiale Consideriamo un tratto di coassiale di lunghezza l l Avevamo calcolato (lezione 2) che a b Considerando che Q=ll otteniamo

Note e notazioni Di qui in poi userò delle frecce per indicare differenze di potenziale tali frecce ovviamente non servono ora ad indicare dei vettori userò frecce, che vanno da un punto (potenziale di riferimento) ad un altro punto (potenziale) per evidenziare qual è il potenziale di riferimento Per esempio: V indica il potenziale del conduttore 2 rispetto al conduttore 1 V Conduttore 1 Conduttore 2

Legge di Kirchhoff alle maglie Tale notazione consente di riscrivere la conservatività del campo elettrostatico in una forma molto utile che prende il nome di Seconda legge di Kirchhoff: Prendiamo una serie di punti, o una serie di conduttori, immersi in un campo 1 2 3 V21 V32 V13 Avevamo definito la ddp tra due punti come: Se quindi calcoliamo Ovvero: la somma algebrica delle differenze (o cadute) di potenziale lungo una maglia è nulla

Note La scelta della “maglia” è arbitraria Anche la scelta dei versi delle tensioni è arbitraria purché si adotti la stessa scelta per tutto il tempo (percorrere tutta la maglia nello stesso verso) Consente di legare le tensioni tra loro, ovvero ricavare una in funzione delle altre: per es A B C

Connessione condensatori: Serie +++++++++ --------------- +++++++++ +q -q V=V1+V2 V1 V2 ----------------- +q -q La carica totale non cambia Le differenze di potenziale si sommano Il sistema si comporta come un unico condensatore con capacità

Connessione condensatori: Parallelo +q1 -q1 +q2 -q2 Vtot La carica totale è la somma delle cariche La differenza di potenziale è la stessa

Esercizio Due elettrodi sferici come da figura. b d e c Due elettrodi sferici come da figura. L’elettrodo più interno è rivestito di dielettrico. Capacità? Possiamo pensare alla struttura come composta da due condensatori in serie: aggiungere un guscio metallico lungo la superficie di separazione non cambierebbe nulla (superficie equipotenziale) Cac Ccb

Esercizio Una sfera di raggio R1= 1m e carica Q= 1nC viene collegata con un filo conduttore ad una sfera, lontana dalla prima, di raggio R2=0.3 m e inizialmente scarica. Quali cariche possiedono le due sfere a collegamento avvenuto?

Esercizio (cont.) Conosciamo le capacità delle sfere Al collegamento la carica si ridistribuisce ed i conduttori finiranno per assumere lo stesso potenziale Ma la carica totale resta la stessa (principio di conservazione della carica) Dal sistema troviamo le quantità richieste

Energia di carica di un condensatore Caricando un condensatore compiamo un lavoro: il campo contro cui compiamo il lavoro crescerà con il crescere della carica sul conduttore +dq +q V q(V) V L