Algebra Booleana Generalità In quasi tutti i tipi di calcolatori elettronici le informazioni vengono elaborate in forma digitale, ossia i segnali elettri- ci che le rappresentano possono assumere due soli valori distinti. I circuiti che eseguono queste elaborazioni sono chiamati circuiti logici e presentano, appunto, la caratteristica di operare con segnali binari. Vengono pertanto rea- lizzati con dispositivi che possono assumere solo due stati diversi: diodi in conduzione o non, transistor in satura- zione o in interdizione, ecc.... Per il funzionamento del circuito logico non è importante conoscere il valore numeri- co del segnale binario, ma basta rilevarne il livello; in genere questo può essere indicato con “0” ed “1” o con “L” ed “H” (Low = basso, High = alto). Il funzionamento di un tale circuito può quindi essere descritto da un punto di vista logico senza preoccuparsi della sua struttura fisica; allo scopo può essere utilizzata l’algebra di Boole (G. Boole, 1815- 1864). L’algebra di Boole, o algebra binaria, è infatti una logica matematica basata su due diverse situazioni che si escludono reciprocamente. Per variabile booleana si intende una qualunque grandezza che può assumere due soli stati (interruttore aperto o chiuso, affermazione vera o falsa, lampada accesa o spenta, livello di tensione alto o basso, diodo in conduzione o non, ecc...). Ai due diversi livelli logici vengono associati i simboli “0” ed “1”. Le generiche variabili vengono identificate da lettere (per esempio a, b, c ........; A, B, C, ecc.........) e, ad ognuno dei due stati logici che possono assumere, può essere associato, arbitrariamente, il valore “0” o “1”. Nel 1938 Shannon applicò le regole dell’algebra di Boole alla progettazione di circuiti di commutazione a relè, at- tribuendo i valori “1” e “0” ai due stati fisici di questi due dispositivi. Questo metodo è tuttora utilizzato per l’analisi e la sintesi dei circuiti in quanto consente di esplicitare a mezzo di funzioni booleane le connessioni dei circuiti e le operazioni da esse eseguite.

vado in barca se viene anche Marco ed è bel tempo Funzioni booleane Una funzione booleana, infatti, fornisce un’uscita logica in corrispondenza di ogni combinazione dei livelli delle variabili d’ingresso. Le operazioni fondamentali dell’algebra di Boole sono le seguenti: AND o prodotto logico OR o somma logica NOT o negazione, complementazione AND o prodotto logico Si consideri la seguente proposizione logica: vado in barca se viene anche Marco ed è bel tempo La gita in barca è condizionata dall’avverarsi di entrambi le condizioni poste - Se si assegnano alle variabili i valori “0” ed “1” si può scrivere: Q (1 = vado in barca, 0 = non vado in barca) A (1 = viene Marco, 0 = non viene Marco) B (1 = è bel tempo, 0 = è cattivo tempo) dove A e B sono le variabili indipendenti e Q quella dipendente

Le “n” variabili possono assumere 2n configurazioni diverse; nella tabella della verità riportata nella figura sotto- te vengono prese in considerazione le quattro (22) combinazioni con il corrispondente livello assunto dalla variabile dipendente. Nella figura è altresì riportato un circuito ad interruttori per realizzare una porta AND ed il simbolo grafico della stessa secondo gli standard USA e I.E.C.. L’equazione logica (prodotto logico) che sintetizza le combinazioni riportate nella tabella è la seguente: Q = A x B La Q si trova al livello “alto” solo se entrambe le variabili indipendenti A e B assumono questo livello. Si può gene- ralizzare l’equazione al caso di “n” variabili e dire che Q vale 1 se, e solo se, tutte le “n” variabili valgono 1.

la barca a vela si muove se c’è vento o se remo Or o somma logica Si consideri la seguente proposizione logica: la barca a vela si muove se c’è vento o se remo Affinché la barca si muova è sufficiente che si verifichi una sola delle due condizioni sopra enunciate. Se, anche in questo caso, si assegnano alle variabili i valori “0” ed “1” si può scrivere: Q (1 = la barca si muove, 0 = la barca non si muove) A (1 = c’è vento, 0 = non c’è vento) B (1 = io remo, 0 = io non remo), Dove A e B sono variabili indipendenti e Q quella dipendente. Nella figura seguente è riportata la tabella della verità della proporzione logica in esame nella quale si evidenzia che Q è a livello “basso” (0) solo se entrambe le variabili indipendenti sono a livello “0” . Nella figura è altresi riportato un circuito ad interruttori per realizzare una porta OR e i due simboli grafici della stessa porta secondo gli standard USA e I.E.C.

L’equazione logica (somma logica) che sintetizza le combinazioni riportate nella tabella della verità è la seguente: Q = A + B Si può generizzare l’equazione al caso “n” variabili e dire che Q vale 1 se una sola delle n variabili vale 1. Per le funzioni AND ed OR, prima esaminate, valgono le seguenti proprietà: Commutativa A * B * C = C * A * B A + B + C = C + A + B Associativa ( A * B ) * C = A * ( B * C ) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3) Distributiva A * ( B + C ) = ( A * B ) + ( A * C ) A + ( B * C ) = ( A + B ) * ( A + C ) Le proprietà precedenti, come tutti i teoremi dell’algebra booleana, possono essere verificate confrontando le tabelle della verità di ogni relazione.

Si consideri la seguente proposizione logica: NOT o negazione, complementazione Si consideri la seguente proposizione logica: vado in barca se non piove I valori delle variabili sono: Q (1 = vado in barca, 0 = non vado in barca) A (1 = piove, 0 = non piove) Dove A è la variabile indipendente e Q quella dipendente. A queste condizioni corrisponde la seguente equazione algebrica: Q = Ā A livello simbolico, per negare una grandezza si deve soprassegnare il simbolo. Ovviamente una doppia negazione riporta alla variabile non negata. = A = A Nella figura riportata qui di seguito è rapresentato un circuito a relè per realizzare una porta NOT e I due simboli grafici della stessa porta secondo gli standard USA e I.E.C.