DAL CONTINUO AGLI ATOMI: RANDOM WALK La fenomenologia di Fourier ha una “realizzazione” in un modello discreto che porta al numero di Avogadro: il random walk

IL PIU’ SEMPLICE RANDOM WALK: L’UBRIACO Un individuo ubriaco si sposta a passi unitari ad intervalli di tempo unitari, con la stessa probabilità verso destra o verso sinistra, lungo una retta. L’ascissa è misurata da un intero n, positivo o negativo; il tempo da un intero N≥0 . Qual è la probabilità W(n,N) di trovare l’ubriaco in n dopo N passi?

SOLUZIONE GRAFICA _________________________________ N=5 ___________________n_______________ N=0

E’ IL TRIANGOLO DI PASCAL w (n,N) = (probabilità di N passi in una delle due direzioni, = (1/2)N)  (numero di cammini diversi che portano alla posizione n, essendo n≤N in modulo. w(n,N) = (1/2)N N!/(n+!n-!) n = (1/2) (N n)

EQUAZIONE DEL MOTO DELL’UBRIACO w(n,N) = 1/2[w(n-1, N-1) + w(n+1, N-1)] Viene involontariamente in aiuto proprio Fourier: infatti, se F(, N) = n einw(n,N), allora: F(, N) = (cos)N F(, 0) Ma poiché w(n,0)  n0  F(, 0)=1, sicché w(n,N) = (1/2∫0 2 e-in (cos)N d

FORMULE Il calcolo dell’integrale dà esattamente: w(n,N) = (1/2)N N!/(n+!n-!) n = (1/2) (N n) come avevamo anunciato; ma permette di fare approssimazioni semplicissime: se N, (cos)N  exp (-N 2/2) e si comporta gaussianamente per  ≈0, , 2

APPROSSIMAZIONE GAUSSIANA Per cui, come si trova su ogni libro di tavole di integrali (ma è facile da fare nel piano complesso con tecniche di residui): w(n, N) ≈ 1/√(2πN)exp(-n2/2N) La classica distribuzione a campana, gaussiana, in cui il valor quadratico medio della larghezza è: <n2> = N Banalmente, se sommiamo i passi unitari <(k k)2> = <k,j k j> = k( k)2 = N se k =  1 con uguale probabilità 1/2

COLLEGAMENTO CON IL NUMERO DI AVOGADRO Se  è l’estensione caratteristica di un passo dell’ubriaco e  l’intervallo di tempo tra due passi, la distanza quadratica media di un ubriaco dell’origine, <x2> <n2> 2 ; e siccome il tempo impiegato a raggiungerla è t = N , : <x2> = (2 / ) t , e quindi il coefficiente di diffusione di Fourier è proprio D= (2 / ) , cioè il quadrato del cammino libero medio diviso il tempo tra due urti se sostituiamo gli ubriachi con atomi in collisione in un gas.

FINALMENTE Chiamiamo  il diametro di una molecola; allora π2n= 1, dove n è il numero di atomi per unità di volume; siccome poi  è determinato dalla velocità quadratica media c = √<v2> degli atomi perché c  = , si ha infine che D= (2 / ) = c/ π2. Che ci mettiamo per  ? Jean Perrin studia il moto browniano di palline “ubriache” osservabili ma sensibili agli urti degli atomi nel bagno in cui navigano. Fabbrica palline di gommagutta tutte uguali di 0.2 micron di diametro e ne studia la diffusione. Da lì, n e poi il numero di Avogadro (Esercizio: relazione con il numero di Avogadro)

YOUNG E LAPLACE Young e Laplace ragionarono così: non sappiamo se esistono gli atomi, ma se ci fossero, quanto sarebbero grandi? Idea: se facciamo un modello atomico del calore latente di evaporazione e della tensione superficiale di un liquido, forse il confronto dei dati macroscopici ci dà l’o.d.g. delle dimensioni atomiche. Proviamo:

DIMENSIONI ATOMICHE 1 Se  è la dimensione molecolare e f la forza di attrazione che le molecole esercitano tra loro nel liquido, f  è il lavoro necessario per portare una molecola fuori del liquido, da sotto a sopra lo strato superficiale. Se m è la massa di una molecola, L ≈ f /m è il lavoro per unità di massa liquida, cioè il calore latente di evaporazione.

DIMENSIONI ATOMICHE 2 Tensione superficiale, S: per aumentare di a la superficie di un liquido, bisogna portare in un volume (a ) alla superficie nuove molecole. Se  è la densità del liquido e m la massa di una molecola, /m è il numero di molecole per unità di volume e il numero di molecole nello strato superficiale aggiunto è: a/m e il lavoro necessario per creare la superficie a è a/m f ; dividendo per a si ha il lavoro S per unità di superficie S ≈ (2/m) f Perciò,  ≈ S/(L)

NUMERI PER L’ACQUA Per l’acqua: L = 2.106 J/kg S = 7.5 10-2N/m  = 103kg/m3 Da cui si ottiene  ≈ 0.5 10-10m Un valore che, come sappiamo, è circa corretto.

URTI ATOMI-PALLINE Una sferetta di gommagutta di Perrin che ha un diametro di 0.2 micron ha una massa dell’ordine di 10-15 g. Una molecola d’acqua ha una massa dell’ordine di 10-23g. Pertanto, in un urto molecola-pallina la velocità trasferita alla pallina è circa 10-8 volte più piccola della velocità della molecola. Essendo tipicamente le velocità quadratiche medie dell’ordine della velocità del suono, cioè ≈ 105 cm/s, la pallina acquista in un singolo urto una velocità dell’ordine di 109 m/s.

FLUTTUAZIONI In realtà, il movimento osservato è frutto di fluttuazioni poissoniane della differenza tra numerti di urti su due facce opposte della pallina. Se  è il tempo tra due urti consecutivi, il numero di urti in un tempo t è dell’ordine di t/  e perciò le fluttuazioni di questo numero sono dell’ordine di √(t/ ) sicché lo spostamento in un tempo t è dell’ordine di x(t)≈c  √(t/ ) = c √(t )

MOTO STOCASTICO Comunque, da qualunque parte si abbordi il problema, compare una caratteristica del caso che lo segna in modo indelebile: se il caso governa un movimento (una distribuzione che si allarga, una traiettoria che porta lontano da un punto, la lunghezza caratteristica x cresce con la radice quadrata del tempo: x ~ √t. Nel moto deterministico sono più frequenti leggi lineari.