Geometria in situazione seconda parte di Gianfranco Arrigo Alta scuola pedagogica, Locarno NRD, Bologna

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Un’idea suggerita dai cuscinetti a sfera Quarta situazione Un’idea suggerita dai cuscinetti a sfera

Consegna iniziale per gli studenti I meccanici conoscono bene il problema dei cuscinetti a sfera, consistente nel contornare di sferette l'albero attorno al quale gira una ruota. Per esempio, i cuscinetti a sfera li troviamo nei pignoni delle biciclette, nei mozzi delle ruote delle automobili. A noi interessa in modo particolare il problema di inscrivere in un dato cerchio due o più cerchietti tangenti fra di loro e pure tangenti internamente alla sua circonferenza. È una variazione del problema dei cuscinetti a sfera, che riserverà non poche sorprese!

Prima stimolazione: due cerchietti in un cerchio Raggio dei cerchietti inscritti: r2 r2 r Commento Fin troppo facile…

Seconda stimolazione: tre cerchietti in un cerchio Raggio dei cerchietti inscritti: 30° x 15° x . . r3 120° 120° Commento Niente di particolarmente interessante: assomiglia a uno dei soliti barbosi esercizi… r

Terza stimolazione: quattro cerchietti in un cerchio Raggio dei cerchietti inscritti: r . r4 Commento Ancora niente di eccezionale, ma si nota come il metodo di calcolo adottato prima sia direttamente applicabile anche a questo caso.

Quarta stimolazione: cinque cerchietti in un cerchio Raggio dei cerchietti inscritti: r x 54° 72° r5 x 27° Commento Qui si incomincia a vedere la struttura della formula generale, grazie al fatto che le tangenti interessate non sono esprimibili mediante radicali.

Quinta stimolazione: sei cerchietti in un cerchio Raggio dei cerchietti inscritti: r x r6 x 60° 60° Commento Potendo usare le radici, i risultati assumono forme più leggibili. Il valore trovato ci presenta la prima grande sorpresa…

Quinta stimolazione: sei cerchietti in un cerchio Se calcoliamo le lunghezze lungo un diametro scopriamo che… … al centro ci sta un nuovo cerchietto. Quindi i 6 cerchietti ipotizzati diventano 7. Commento Ora siamo pronti per la generalizzazione.

Sesta stimolazione: n cerchietti in un cerchio Sia n il numero dei cerchietti della prima corona. . r x . w rn x w

Sesta stimolazione: n cerchietti in un cerchio Inseriamo in un computer la formula trovata, per esempio usando un foglio elettronico. Schema del calcolo: Per n = 1,2,3, …, (24): n è il numero di cerchietti nella prima corona (tangenti internamente alla circonferenza data). Calcolando sul diametro si può stabilire il numero di corone concentriche:

Sesta stimolazione: n cerchietti in un cerchio A destra, un esempio di possibile output: Possiamo notare che per n=6 appaiono due corone (come abbiamo già trovato con il calcolo). Inoltre il computer ci segnala che per n=10 si passa a tre corone, per n=13 a quattro, per n=16 a cinque, per n=19 a sei, per n=22 a sette.

Oltre la terza dimensione: ipercubo e compagni Quinta situazione Oltre la terza dimensione: ipercubo e compagni

Consegna iniziale per gli studenti Così come… il punto è il “cubo” a zero dimensioni, il segmento è il “cubo” a una dimensione, il quadrato è il “cubo” a due dimensioni, il cubo è il “cubo” a tre dimensioni, … l'ipercubo è il cubo a quattro dimensioni. Così come… è possibile rappresentare (mediante proiezione) un cubo a tre dimensioni su di un foglio di disegno (bidimensionale), … dovrebbe essere possibile realizzare un modellino tridimensionale che sia la proiezione dell'ipercubo. Ogni modellino tridimensionale può essere rappresentato su un foglio (bidimensionale), quindi anche sullo schermo.

Guida per l’insegnante La situazione è stimolante sin dall'inizio: la curiosità degli studenti per quello che può essere definito un superamento della terza dimensione è nota ad ogni insegnante. Qui si propone di adottare un modo semplice ma efficace che permetta di passare dalla dimensione k alla k+1. L'oggetto della ricerca è il cubo a k dimensioni (k-cubo), con k=0,1,2,3,4,… Di ogni k-cubo verranno contati gli elementi a 0, 1, 2, …, (k–1) dimensioni: essi formano una n-tupla caratteristica del k-cubo.

Prima stimolazione: da 0-dim a 1-dim traslazione punto: 0 dimensioni segmento: 1 dimensione (1) (2,1)

Seconda stimolazione: da 1-dim a 2-dim traslazione segmento: 1 dimensione quadrato: 2 dimensioni (2,1) (4,4,1)

Terza stimolazione: da 2-dim a 3-dim traslazione quadrato: 2 dimensioni cubo: 3 dimensioni (4,4,1) (8,12,6,1)

Quarta stimolazione: da 3-dim a 4-dim traslazione cubo: 3 dimensioni ipercubo: 4 dimensioni (8,12,6,1) (16,32,24,8,1)

Quarta stimolazione: l’ipercubo Proiezione tridimensionale dell’ipercubo

Quinta stimolazione: prima generalizzazione Per poter chiarire bene la natura dei diversi k-cubi, costruiamo una tabella che ci permette di indurre le formule per il calcolo del termine n-esimo di ogni successione relativa agli elementi di dimensione 0,1,2,3,4, che chiamiamo ordinatamente: pk: numero vertici (0-dim) del k-cubo sk: numero spigoli (1-dim) del k-cubo fk: numero facce (2-dim) del k-cubo ck: numero cubi (3-dim) del k-cubo

Quinta stimolazione: prima generalizzazione Con un po’ di pazienza… Dim. k-cubo pk sk fk ck 0 1 0 0 0 1 2 1 0 0 2 4 4 1 0 3 8 12 6 1 4 16 32 24 8 … … … … … … e con un po’ di intuito

Sesta stimolazione: ultima generalizzazione Allora la nostra congettura diventa: Inizializzazione: k \ i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 8 12 6 1 0 0 0 0 0 0 0 4 16 32 24 8 1 0 0 0 0 0 0 5 32 80 80 40 10 1 0 0 0 0 0 6 64 192 240 160 60 12 1 0 0 0 0 7 128 448 672 560 280 84 14 1 0 0 0 8 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1 0 0 9 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1 0 10 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1 … … … … … … … … … … … … punto segmento quadrato cubo ipercubo supercubo fantacubo extracubo specialcubo elefancubo kilocubo

Settima stimolazione: scopriamo un teorema Calcoliamo: hk k \ i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 4 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 8 12 6 1 0 0 0 0 0 0 0 1 4 16 32 24 8 1 0 0 0 0 0 0 1 5 32 80 80 40 10 1 0 0 0 0 0 1 6 64 192 240 160 60 12 1 0 0 0 0 1 7 128 448 672 560 280 84 14 1 0 0 0 1 8 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1 0 0 1 9 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1 0 1 10 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1 1 … … … … … … … … … … … … … hk è uguale a 1, per ogni k

Settima stimolazione: enunciamo il teorema Il teorema può essere generalizzato. Allora vale la formula: Caso particolare: k=3 Ossia: Vertici – spigoli + facce = 2 (formula di Euler per i poliedri)

© 2002 gianfranco.arrigo@span.ch FINE © 2002 gianfranco.arrigo@span.ch