Matematica finanziaria Nozioni di … Matematica finanziaria

Cosa studia la matematica finanziaria??? La matematica finanziaria è una matematica applicata allo studio dei problemi concernenti la finanza. La finanza è quella scienza che studia le modalità di allocazione del denaro tra usi alternativi, al fine di massimizzare la propria soddisfazione.

Capitale Interesse Montante C0 = capitale iniziale I = interesse t = tempo M = montante (capitale finale dopo il tempo t) M = C0 + I

Capitalizzazione semplice Nella capitalizzazione semplice, l’interesse non è “fruttifero” cioè non produce altro interesse. L’interesse è calcolato solo sul capitale iniziale ed è proporzionale al capitale e al tempo. I = r C0 r = saggio d’interesse o tasso unitario d’interesse (si indica anche con i ) es: r = 0,12 significa 12 % cioè 12/100

Montante nella capitalizzazione semplice t = n (tempo espresso in anni) M = C0 + I I = r C0 (in un anno) In = n r C0 (in n anni) M = C0 + r C0 (in un anno t=1) M = C0 +n r C0 (in n anni , t = n) Metto in evidenza C0 ed ho: M = C0(1+nr)

Interesse semplice Il fattore montante ad interesse semplice risulta F(t) = 1 + t r cioè è funzione del tempo Graficamente si ha una retta F(t) 1 t

Formule inverse M = Co (1+rn) Co = M / (1+nr) n = (M – Co) / (r Co) r = (M – Co) / (n Co)

Capitalizzazione composta Nella capitalizzazione composta, l’interesse è “fruttifero” cioè produce altro interesse, si capitalizza. L’interesse per il periodo successivo non viene calcolato sul capitale di partenza ma sul montante riferito al termine del periodo. Alla fine del primo anno M1 = C0 (1+r) Alla fine del secondo anno M = M1 (1+r) cioè M2= C0 (1+r)2 Dopo n anni Mn = C0 (1+r)n

Interesse composto Il fattore montante ad interesse composto risulta F(t) = (1 + r)t r>0 cioè è funzione del tempo; graficamente si ha una funzione esponenziale F(t) 1 t

L’inverso del fattore montante è il Fattore di sconto L’inverso del fattore montante è il fattore di sconto Φ(t) =

Concetto di sconto Chi paga un debito prima della scadenza (sia il debitore o un terzo) vuole un compenso che si chiama sconto. L’importo del credito si dice valore nominale (o anche capitale); la somma che il creditore riceve , cioè il valore nominale diminuito dello sconto, si dice somma scontata.

In generale, indicando con C l’importo del credito o valore nominale, con S lo sconto complessivo e con V la somma scontata o valore attuale, si ha per definizione: V = C- S S = C- V

Regimi di sconto e leggi di sconto Il compenso che spetta a chi paga anticipatamente, cioè lo sconto, può essere fissato direttamente. In generale, però, le parti preferiscono fissare un tasso. A ciascun procedimento di calcolo dello sconto corrisponde un regime di sconto. I più importanti regimi sono: sconto commerciale sconto razionale sconto composto

Fissato un regime, cioè un procedimento da applicare per il calcolo dello sconto, si parla di legge di sconto allorché si vuol distinguere fra applicazioni dello stesso regime di sconto a tassi diversi.

(dove d = tasso di sconto) Sconto commerciale Lo sconto si dice commerciale quando è proporzionale al capitale (importo o valore nominale del credito) e al tempo (di anticipazione). Bisognerà naturalmente fissare il tasso, cioè lo sconto per ogni euro di valore nominale e per ogni unità di tempo (anno). S = C d t (dove d = tasso di sconto) V = C- S = C- C d t V = C (1- d t)

Sconto razionale Lo sconto si dice razionale quando è calcolato come interesse semplice (a un dato tasso i ) sulla somma scontata (che è quella effettivamente prestata). Di conseguenza il valore nominale C del credito è il montante (ad interesse semplice al tasso i ) della somma scontata V e come montante C, si ha: C = V (1 + i t ) V = C / ( 1+ i t )

S = C i t / (1+ i t ) S = V t i V = C/ (1+it) La formula dice che la somma scontata con sconto razionale ( o valore attuale razionale ) si ottiene dividendo il valore nominale per il binomio (1+ i t ), o anche moltiplicando per il fattore 1 / (1+ i t ) , che si dice fattore di sconto razionale; esso esprime il valore attuale con sconto razionale di un euro scadente al tempo t. S = C – V = C – C / ( 1+ i t ) = (C + C i t – C ) /(1+ i t ) S = C i t / (1+ i t ) S = V t i V = C/ (1+it)

Sconto composto Lo sconto si dice composto quando è calcolato come interesse composto ( a un dato tasso i ) sulla somma V. Il valore nominale C del credito è quindi il montante (ad interesse composto a un tasso i ) della somma scontata V; si ha allora: C = V ( 1+ i ) t V = C / (1 + i ) t