Reti sociali Reti sociali

Cosa sono Una rete sociale e’ un grafo G = (V, E) dove I nodi rappresentano entita’, spesso persone o gruppi di persone Gli archi (pesati o meno) rappresentano relazioni tra i nodi della rete sociale Esempio: grafo delle conoscenze Vertici: persone Esiste arco tra a e b se a e b si conoscono Altri esempi nelle slide seguenti … Reti sociali

Esempio - commercio mondiale Reti sociali

Esempio - Internet Reti sociali

Esempio - catena alimentare Reti sociali

Cosa hanno in comune? Grandi e complesse Regolarita’, ma soltanto a livello macroscopico Componente gigante connessa Piccolo mondo: distanza media tra i nodi bassa Grafi sparsi: |E| = o(|V|2) Aggregazione (v. piu’ avanti) Invarianza di scala Distribuzione del grado secondo legge di potenza Reti sociali

Perche’ studiarle Comprendere le loro proprieta’ Aspetti ingegneristici e algoritmici Estrazione di informazioni Es.: motori di ricerca Progetto di algoritmi efficienti Es.: Web Caching Tolleranza ai guasti o agli attacchi … Reti sociali

Componente connessa Nelle reti considerate, la maggior parte dei nodi appartiene a un’unica componente connessa Es.: Web Matematicamente, una frazione costante dei nodi appartiene a un’unica componente connessa Reti sociali

Proprieta’ di piccolo mondo Reti sociali

Piccolo mondo 1967 - studio di Milgram: lunghezza media dei cammini in una rete di conoscenze Esperimento: consegna di lettere a persone negli Stati Uniti a mano, sfruttando soltanto la rete delle conoscenze Distanza media d = 6 Numero di Erdös = distanza dal matematico Paul Erdös nella rete delle collaborazioni 70975 matematici, 200000 archi d < 8 per la maggior parte dei vertci a distanza finita Molti altri esempi … Reti sociali

Esperimento di Milgram Spedire 160 lettere a una persona residente a Boston Consegna a mano Non si conosce indirizzo del destinatario ma si hanno soltanto informazioni generiche (ad esempio la professione) Domanda: dopo quanti passaggi una lettera giunge a destinazione? Reti sociali

Esperimento di Milgram/2 Circa un terzo delle lettere giunse a destinazione Si osservi che non si tratta di una bassa percentuale La maggior parte delle lettere arrivate non aveva subito piu’ di 6 passaggi Reti sociali

Reti piccolo mondo [WS98] Grandi dimensioni (n >> 1) Sparse (grado medio k << n) Non esiste un nodo centrale (kmax << n) Coefficiente di aggregazione elevato Distanza media tra i nodi bassa, tipicamente O(log n) Reti sociali

Esempi di reti piccolo mondo Internet La rete dei router La rete degli Autonomous Systems Il Web La rete delle conoscenze Tutti gli esempi visti all’inizio Queste reti hanno altre proprieta’ oltre a quelle di piccolo mondo Reti sociali

Picture by T. Deckert - TU Dreseden Clustering [Granovetter 73]: “la forza dei legami deboli“ I miei conoscenti probabilmente si conoscono … … ma alcuni hanno contatti con gruppi “lontani” Picture by T. Deckert - TU Dreseden Reti sociali

Clustering/2 Si supponga che il nodo v abbia dv vicini. Il massimo numero di archi tra di essi si ha quando essi formano una clique --> dv(dv - 1)/2 archi. Si supponga che invece sia nv il numero di archi tra i vicini di v Il coefficiente di clustering (aggregazione) di v e’ Cv = 2nv/dv(dv- 1) C = (1/n)∑vCv Reti sociali

Clustering/3 C1 = C2 = C4 = C5 = 1 C3 = 1/6 C = (1/5)∑iCi = 5/6 I nodi con un solo arco incidente hanno fattore di clustering 1 v1 v2 v3 v4 v5 Reti sociali

Distanza media tra i nodi Assumiamo per il momento reti connesse La distanza media tra i vertici e’ O(log n), spesso sub-logaritmica Il coefficiente di clustering e’ alto ((1)) Come spiegare tali proprieta’? Reti sociali

Grafi casuali Modello classico proposto da Erdös e Renyi Modello probabilistico Si hanno n nodi Per ogni coppia u e v di nodi, l’arco (u, v) esiste con probabilita’ p indipendente da tutti gli altri Proprieta’ Per p sufficientemente grande, la maggior parte dei nodi si trova in una componente gigante connessa Il diametro e’ logaritmico ma… Il coefficiente di clustering e’ basso (O(1/n)) Reti sociali

Modello di Watts e Strogatz [WS98] Si inizia con un anello di n nodi. Ogni nodo connesso ad altri k nodi Con probabilita’ p, ogni arco e’ riconnesso a una destinazione scelta casualmente in modo uniforme. Granovetter, “The strength of weak ties” ordine caos Reti sociali

Modello WS/cont. L’obiettivo era mostrare che con meccanismi semplici e’ possibile ottenere una rete di tipo piccolo mondo Risultati Componente gigante connessa Distanza media tra nodi connessi O(log n) Coefficiente di clustering (1) Reti sociali

Modello WS/clustering Scala logaritmica in p Quando p = 0 C = 3(k-2)/4(k-1) ~ 3/4 L = n/k Reti sociali

Modello di Kleinberg [Kl. 99] Lattice bidimensionale Si aggiungono q archi a ogni vertice u (shortcut) Il vertice v destinazione di uno shortcut e’ scelto con probabilita’ [d(u,v)]-r/ ∑wu[d(u,v)]-r se r = 0, si ha probabilita’ uniforme Nel seguito q = 1 Reti sociali

Modello di Kleinberg/2 Si tenta di riprodurre l’esperimento di Milgram Data una sorgente s e una destinazione t, definire un algoritmo per muovere un agente da s a t che conosce le posizioni dei nodi nella griglia conosce i vicini e gli shortcut del nodo in cui si trova ricorda i vicini e gli shortcut di tutti i nodi visitati Ad ogni passo diminuisce la distanza da t Si tenta di riprodurre l’esperimento di Milgram La griglia modella una distribuzione geografica dei nodi Reti sociali

Algoritmo Nel generico nodo v Scegli il vicino a distanza minima dalla destinazione L’algoritmo usa soltanto un’informazione locale e la conoscenza della posizione dei nodi sul lattice Reti sociali

Risultati Per r=2, esiste un algoritmo locale che raggiunge la destinazione in un numero atteso di passi O(log2n). Se r<2 un algoritmo locale richiede un numero atteso di passi (n(2-r)/3). Se r>2 un algoritmo locale richiede un numero atteso di passi (n(r-2)/(r-1)). Nota: numero atteso di passi sub-polinomiale soltanto per r=2 Risultato dovuto probabilmente ai limiti del modello Reti sociali

Prova per r = 2 e q = 1 P[u --> v]: probabilita’ che u scelga v come shortcut Per ogni w, la distanza da u e’ compresa tra 1 e 2n-2 Vi sono non piu’ di 4j nodi a distanza j da u Reti sociali

Prova per r = 2 e q = 1/cont. Fase j: insieme dei passi durante i quali l’agente si trova in nodi a distanza da t > 2j e <= 2j+1 L’agente inizia al piu’ in fase log2n Ad ogni passo l’agente si avvicina a t Occorre calcolare il numero medio E[Xj] dei passi durante la j-esima fase Quando l’agente lascia la fase j-esima e’ per entrare in una fase i <= j-1 E[lunghezza percorso] = ∑jE[Xj] Reti sociali

Prova per r = 2 e q = 1 /cont. Bj t u Se ci troviamo in un nodo u durante la fase j P[si lascia la fase j] >= P[si entra in Bj] Bj: insieme dei nodi a distanza <= 2j da t Reti sociali

Prova per r = 2 e q = 1 /cont. Bj t u Bj contiene almeno 22j-1 nodi Ciascun nodo in Bj dista al piu’ 2j+2 da u Quindi P[si entra in Bj] >= 1/128ln(6n) Reti sociali

Prova per r = 2 e q = 1 /cont. Poiche’ vi sono O(log n) fasi abbiamo O(log2n) passi in media Reti sociali

Altre proprieta’ - grado Reti sociali

Distribuzione del grado # nodi con grado k: P(k) ~ k-a P(k): % nodi con grado k a circa 2.1 per il Web [Broder et al. 2000] Regola dell’ 80/20: Una modesta percentuale di nodi ha quasi tutti i link --> Hub I ricchi diventano sempre piu’ ricchi Reti sociali

Reti prive di scala Reti sociali

Matematicamente… Non vi e’ una scala privilegiata per osservare le proprieta’ macroscopiche della rete Nelle reti sociali l’invarianza di scala si riferisce alla distribuzione del grado dei nodi Legge di potenza per distribuzione del grado entrante e/o uscente (es. il Web) Reti sociali

Modelli di reti sociali

Modelli di reti sociali Cosa sono Modelli per la generazione di grafi casuali Es.: modello di Watts e Strogatz obiettivo: riprodurre le proprieta’ osservate in pratica I modelli di Watts e Strogatz e di Kleinberg spiegano il fenomeno di piccolo mondo ma non altre proprieta’ Es.: la distribuzione del grado dei nodi Reti sociali

Meccanismi di base Attaccamento preferenziale Un nuovo nodo ha maggiore probabilita’ di connettersi ai nodi esistenti di grado piu elevato Esempio [Chung et al. 2000] per il Web Per t = 1, 2, … Con probabilita’ 1- si aggiunge un nuovo vertice con un link verso se stesso Con probabilita  si aggiunge un nuovo arco. Se u e v sono due nodi della rete, P[Si genera (u, v)] = du·dv/ ∑w,z dw·dz La rete risultante e’ di tipo piccolo mondo La distribuzione del grado segue una legge di potenza con esponente 1+1/ quando t e’ abbastanza grande Reti sociali

Esempio Si consideri il modello precedente e si supponga che  = 0.9 e che al tempo t la distribuzione del grado entrante sia approssimativamente una legge di potenza con parametro 1+1/ Stimare la probabilita’ che a t+1 venga creato un nuovo link verso un nodo di grado x Reti sociali

Esempio/cont. La distribuzione dipende anche da t, che stavolta e’ una variabile Se nuovo link verso un nodo di grado x allora A(x+1, t+1) = A(x+1, t) + 1 S(x, t): insieme dei nodi di grado x a t Si ricordi che si introduce nuvo link con prob.  Reti sociali

Riferimenti M. E. Newman. The structure and function of complex networks. Buon lavoro di rassegna sulle reti sociali Sezioni I, II, III e VI http://citeseer.ist.psu.edu/newman03structure.html M. E. Newman. Models of the Small World Lavoro di rassegna sul modello di Watts e Strogatz e sue estensioni http://citeseer.ist.psu.edu/487139.html D. Watts and S. H. Strogatz. Collective dynamics of ‘small-world’ networks. Nature, Vol. 393, pp. 440 – 442, 1998 Basta il lavoro di rassegna di Newman J. Kleinberg. The small-world phenomenon: An algorithmic perspective. Il lavoro di Kleinberg sulla navigazione nelle reti sociali http://www.cs.cornell.edu/home/kleinber/nips14.ps Reti sociali