Orbite e Gravità Zero

Gravità Zero GMm/r2= mv2/r Fg=Fc Un astronauta in orbita bassa attorno alla Terra si muove (approssimativamente) su una grande circonferenza che gira tutt'intorno alla Terra. L'accelerazione richiesta per un tale moto è fornita dalla gravità. GMm/r2= mv2/r Fg=Fc Con M = massa della Terra, m = massa dell’astronauta, r = distanza fra i rispettivi centri di massa, v = velocità tangenziale dell’astronauta

Gravità Zero GMm/r2– mv2/r = 0 Fg-Fc=0 Questa è naturalmente la stessa equazione che abbiamo usato per dimostrare lo studio di Newton sulla gravità. Tuttavia, può anche essere scritta: GMm/r2– mv2/r = 0 Fg-Fc=0

La forza di gravità è perfettamente equilibrata dalla forza centripeta Gravità Zero La gravità è utilizzata completamente per fornire l'accelerazione del moto (la prima delle precedenti equazioni) La forza di gravità è perfettamente equilibrata dalla forza centripeta (seconda equazione)

Simulazione dell'assenza di peso in un aeroplano Che cosa succederebbe se l'astronave non percorresse un'orbita circolare ma ellittica? Non farebbe alcuna differenza.

Simulazione dell'assenza di peso in un aeroplano Se la forza di gravità a una distanza r è F = GMm/r^2 ovvero a = GM/r^2 Un astronauta all'interno di un veicolo spaziale è soggetto alla stessa gravità e quindi partecipa della stessa accelerazione del veicolo spaziale. Osservando il moto dell'astronauta nel riferimento solidale con il veicolo spaziale, l'astronauta non è attratto verso il pavimento dell'abitacolo o verso qualche altra direzione, e quindi ha l'impressione che la gravità sia stata eliminata. In una cabina in caduta libera (per esempio di un ascensore in cui si siano rotti i cavi), vicino alla superficie terrestre, l’astronauta sente (con le debite semplificazioni) a = g La cabina cade con una accelerazione g, ma anche il passeggero cade con la stessa accelerazione, per cui, anche in questo caso, non c'è alcuna forza che spinga il passeggero verso il pavimento della cabina. Riferendosi alla cabina circostante, il passeggero avrà ancora l'illusione che la gravità non esista.

Simulazione dell'assenza di peso in un aeroplano L’esperimento di simulare l’assenza di peso può essere effettuato senza rischi a bordo di un aereo che voli ad alta quota e che possa vincere la resistenza dell'aria con la potenza dei suoi motori. Seguendo una traiettoria parabolica ben calcolata, simile a quella di un proiettile soggetto alla sola forza di gravità, un tale aereo può simulare - per un tempo limitato - una situazione di "gravità zero" all'interno della carlinga. La NASA ha effettivamente eseguito un tale esperimento con l'aereo KC-135, un quadrigetto soprannominato "La Cometa del Vomito" poiché il rapido passaggio a gravità zero fa venire a molti passeggeri il mal d'aria. L'aeroplano può riprodurre temporaneamente un ambiente di assenza di gravità all'interno della carlinga, e viene utilizzato per l'addestramento degli astronauti e per brevi esperimenti su fenomeni a gravità zero. L'interno della carlinga è completamente imbottito, e l'illusione di assenza di gravità può essere mantenuta per circa 20-30 secondi.

Il volo

La forza di Coriolis Nel film di fantascienza "2001: Odissea nello spazio" si vede una stazione spaziale rotante, la cui rotazione fornisce all'equipaggio una "gravità artificiale". Ha una struttura a forma di ruota, con dei corridoi radiali che collegano la ruota con l'ambiente situato al centro. Questo ambiente al centro è dove avviene il trasferimento tra la stazione e l'astronave in visita. A causa della rotazione, viene generata una sorta di gravità, in cui il "basso" è quello diretto verso l'esterno della ruota. Quando ci si muove in questo ambiente in rotazione, specialmente andando su e giù per i corridoi radiali, si incontra un'altra forza, che ha preso il nome dal francese Gaspard Gustave de Coriolis (1792-1843).

L'acqua che scorre nello scarico del lavandino Di tanto in tanto si sente dire che l'acqua che scorre nello scarico del lavandino ruota in verso opposto a nord e a sud dell'equatore. Il principio fisico è corretto, ma l'effetto pratico è così microscopico che è piuttosto improbabile riuscire a osservarlo nel lavandino del bagno. D'altra parte, questo stesso effetto è molto importante nella rotazione su larga scala dell'atmosfera, negli uragani, nei tifoni e nelle ordinarie configurazioni meteorologiche.

L'acqua che scorre nello scarico del lavandino I grandi temporali nell'atmosfera terrestre sono in genere centrati in zone di bassa pressione e obbediscono alla forza di Coriolis. Questo fenomeno meteorologico fu osservato per la prima volta nel 1857 da Christophorus Buys Ballot in Olanda, benché fu William Ferrel negli Stati Uniti a prevedere l'effetto usando dei ragionamenti simili a quelli esposti qui. Se tutti e 3 i punti A,B,C si trovano dentro il lavandino, con B al centro dello scarico, la differenza di velocità di rotazione (attorno all'asse terrestre) tra il punto B e uno degli altri due punti è tipicamente soltanto di 0,001 millimetri al secondo o di circa 3 millimetri all'ora.

Parametri caratteristici dell'orbita Le leggi di Keplero Prima legge (1608) L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Parametri caratteristici dell'orbita Per la prima volta nella storia della scienza Keplero elimina dall'astronomia le sfere celesti e ipotizza per i pianeti un moto diverso da quello circolare. Osserviamo che, poiché l'ellisse è una figura piana, i moti dei pianeti avvengono in un piano, detto piano orbitale. Per la terra tale piano è detto eclittica.

Nella figura prima è rappresentata un'orbita ellittica, con indicati i suoi parametri caratteristici: semiasse maggiore (a), semiasse minore (b), distanza focale (c), eccentricità (e). Tra questi parametri esistono le relazioni seguenti: L'ellisse in figura ha un'eccentricità di circa 0.5 e potrebbe rappresentare l'orbita di un asteroide. I pianeti hanno in realtà eccentricità molto più piccole: 0.0167 per la Terra , 0.0934 per Marte, 0.2482 per Plutone. La distanza dei pianeti dal Sole non è costante, ma varia da un massimo (afelio) ad un minimo (perielio).

2. Il momento angolare orbitale del pianeta si conserva. Seconda legge (1609) o legge delle aree Il raggio vettore che unisce un pianeta al Sole descrive aree uguali in tempi uguali. Consideriamo ora alcune conseguenze di questa legge la velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita. Le due aree evidenziate nella figura a fianco sono infatti uguali e vengono quindi percorse nello stesso tempo. In prossimità del perielio, dove il raggio vettore è più corto che all'afelio, l'arco di ellisse è corrispondentemente più lungo. Ne segue quindi che la velocità orbitale è massima al perielio e minima all'afelio. Per l'orbita qui raffigurata, la velocità al perielio è circa 3 volte la velocità all'afelio. 2. Il momento angolare orbitale del pianeta si conserva.

3. La velocità lungo una determinata orbita è inversamente proporzionale al modulo del raggio vettore. Questa è una conseguenza della conservazione del momento angolare. Se L, dato dal prodotto di m, r e vt è costante ne discende che vt è inversamente proporzionale a r (si veda "momento angolare" per la definizione di L, m, r e vt). 4.Sul pianeta viene esercitata una forza centrale, cioè diretta secondo la congiungente tra il pianeta e il sole. La seconda legge della dinamica per i sistemi in rotazione è dove M è il momento della forza applicata. Poiché L si conserva, la sua variazione è nulla e quindi anche M è nullo. Questo può accadere solo se F è parallelo ad r, cioè è diretto come la congiungente con il sole.

La velocità areolare è quindi Nella figura qui a fianco OA rappresenta il raggio vettore e AB la traiettoria del pianeta nel tempo Δ t. Se Δ t è sufficientemente piccolo, AB può essere approssimato da un segmento di retta. Sia inoltre θ l'angolo tra il raggio vettore e AB. Nel tempo Δ t viene quindi descritta un'area La velocità areolare è quindi essendo la velocità orbitale istantanea. Poiché m v r sin(θ) è il modulo del momento angolare, risulta Se vA è costante, anche L lo è.

Terza legge (1619) I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite. Questa legge è valida anche per i satelliti che orbitano intorno ai pianeti e può essere espressa in forma matematica nel modo seguente: dove K è una costante (a volte detta di Keplero), che dipende dal corpo celeste preso in considerazione (il Sole o qualcuno degli altri pianeti).

Limiti di validità delle leggi di Keplero Per un'orbita circolare la si riduce a dove r è il raggio dell'orbita. Limiti di validità delle leggi di Keplero Va specificato che le leggi di Keplero sono precise nella misura in cui sono soddisfatte le seguenti ipotesi: la massa del pianeta è trascurabile rispetto a quella del sole; si possono trascurare le interazioni tra diversi pianeti (tali interazioni portano a leggere perturbazioni sulla forma delle orbite). Nel sistema solare queste ipotesi sono approssimativamente soddisfatte se non è richiesta un'altissima precisione o un intervallo temporale molto lungo. Nel caso queste caratteristiche siano richieste (per esempio, nel progettare l'orbita di una sonda spaziale), le leggi di Keplero da sole non sono sufficienti. Nel caso dei sistemi di stelle binarie, le masse delle due stelle sono in generale dello stesso ordine di grandezza. In questo caso le leggi di Keplero sono ancora valide se si considerano le orbite delle due stelle attorno al comune centro di massa).

Le orbite possono essere classificate secondo diversi criteri: In astronomia, un'orbita è la traiettoria di un corpo celeste, di un satellite artificiale o di un veicolo spaziale nello spazio, dove in genere è presente il campo gravitazionale generato da un altro corpo celeste. Classificazione: Le orbite possono essere classificate secondo diversi criteri: in base all'energia posseduta dal corpo; In base all'inclinazione; In base all'altitudine .

Classificazione in base all'energia Orbita ellittica: l'orbita è chiusa ed è un ellisse se l'energia totale E del corpo è minore di zero (ovvero se l'energia cinetica è minore dell'energia potenziale). Sono ellittiche le orbite dei pianeti del sistema solare e di tutti i loro satelliti. Traiettoria iperbolica: l'orbita è aperta ed è un iperbole se l'energia totale E del corpo è maggiore di zero (ovvero se l'energia cinetica è maggiore dell'energia potenziale). Sono iperboliche le orbite delle sonde spaziali inviate al di fuori del sistema solare e le porzioni di orbite di sonde inviate verso i pianeti esterni (come la sonda Galileo e la sonda Cassini nelle fasi di avvicinamento e allontanamento dai pianeti interni usati per l'effetto fionda). Traiettoria parabolica: da un punto di vista teorico occorre inoltre aggiungere che se E=0, l'orbita risulterà una parabola; tale orbita rappresenta l'elemento di separazione tra la famiglia di orbite chiuse e di orbite aperte.

Orbita polare: se l'inclinazione è quasi uguale a 90° Classificazione in base all'inclinazione Orbita equatoriale: se l'inclinazione è circa zero (ad esempio tutte le orbite geostazionarie) Orbita polare: se l'inclinazione è quasi uguale a 90° Orbita eclittica: se l'inclinazione dell'orbita coicide con l'eclittica del pianeta

Classificazione in base all'altezza Low Earth Orbit: orbita terrestre bassa Medium Earth Orbit: orbita terrestre media High Earth Orbit: orbita terrestre alta

Velocità orbitale in un'orbita circolare terrestre L’orbita circolare Velocità orbitale in un'orbita circolare terrestre In astrodinamica o in meccanica celeste un'orbita circolare è un'orbita ellittica con eccentricità uguale a zero. Consideriamo un corpo di massa m che si muove su un'orbita circolare ad una distanza r dal centro della terra (ovvero ad una quota h = r - RT, dove RT è il raggio della terra). Tale corpo è soggetto alla forza di gravità essendo G = 6.672 × 1011 N (m/kg)² è la costante di gravitazione universale e M = 5.9 × 1024 kg la massa della terra. Per poter rimanere su una traiettoria circolare di raggio r, il corpo deve peraltro essere soggetto ad una forza centripeta essendo v la velocità tangenziale.

Perché il corpo continui a percorrere l'orbita circolare, la forza di gravità deve quindi uguagliare la forza centripeta, Fg = Fc: Semplificando m ed r e risolvendo rispetto a v si ottiene: La figura a fianco rappresenta il grafico della velocità tangenziale in funzione del raggio dell'orbita per orbite intorno alla terra. Da questa espressione sono ricavati i valori calcolati nella pagina sul calcolo dell'orbita (in inglese). Tenendo conto che la velocità tangenziale è legata al periodo orbitale dalla relazione è possibile esprimere T in funzione di r, ottenendo Questa non è altro che la terza legge di Keplero. La costante K che compare nella terza legge è quindi definita da

Delta-v necessaria per un'orbita circolare Sotto le ipotesi standard il periodo orbitale ( ) di un corpo che si muove in orbita circolare, può essere calcolata come Conclusioni: il periodo orbitale è lo stesso che avrebbe se l'orbita fosse ellittica con il semiasse maggiore ( ) uguale al raggio orbitale Delta-v necessaria per un'orbita circolare Le manovre in un orbita circola larga, come ad esempio un'orbita geostazionaria, richiede un delta-v maggiore di un'orbita di fuga, benché la seconda permetta di raggiungere qualunque distanza e richieda molta più energia di quella necessaria a raggiungere la velocità orbitale di un'orbita circolare. Periodo orbitale

Traiettoria parabolica In meccanica celeste e in astrodinamica, una traiettoria parabolica è un'orbita con eccentricità uguale a 1. Se l'oggetto in traiettoria parabolica si allontana dall'origine, l'orbita è detta di fuga, al contrario se l'oggetto si avvicina viene detta orbita di cattura. Sotto le ipotesi standard, un oggetto che viaggia in un'orbita di fuga arriverà all'infinito con velocità relativa al corpo centrale uguale a zero, di conseguenza non ritornerà più al punto iniziale. La traiettoria parabolica è la traiettoria di fuga che richiede minor energia.

Sotto le ipotesi standard la velocità orbitale (v) di un corpo che si muove lungo una traiettoria parabolica può essere calcolata come: In ogni posizione il corpo orbitante avrà la velocità di fuga relativa alla sua posizione Velocità Se il corpo ha la velocità di fuga rispetto la Terra, non avrà quella necessaria per uscire dal sistema solare, così la traiettoria vicino alla Terra sarà approsimativamente una parabola, mentre più distante essa si incurverà fino ad essere un orbita ellittica attorno al Sole. Questa velocità (v) è molto simile alla velocità orbitale di un corpo in orbita circolare di raggio uguale alla posizione radiale del corpo stesso sulla traiettoria parabolica:

Sotto le ipotesi standard, l'energia orbitale specifica ( ) di una traiettoria parabolica è zero, coì l'equazione della conservazione dell'energia specifica in questo caso prende la forma:

Traiettoria iperbolica In astrodinamica e in meccanica celeste una traiettoria iperbolica è un'orbita con eccentricità maggiore di 1. Sotto le ipotesi standard, un corpo che viaggia lungo una traiettoria iperbolica arriverà all'infinito con una velocità relativa al corpo centrale non nulla. Analogamente alle traiettorie paraboliche, quelle iperboliche sono orbite di fuga. L'energia specifica di una traiettoria iperbolica è positiva.

Velocità Sotto le ipotesi standard la velocità orbitale ( ) di un corpo che si muove lungo una traiettoria iperbolica si ottiene come: Sotto le ipotesi standard, in ogni posizione dell'orbita, tra velocità orbitale ( ), velocità di fuga locale ( ) e eccesso iperbolico ( ) vale la seguente relazione: Questo significa che una delta-v poco al di sopra di quella necessaria ad accelerare alla velocità di fuga, provoca una velocità all'infinito relativamente grande. Energia Sotto le ipotesi standard, l'energia orbitale specifica ( ) di una traiettoria iperbolica è maggiore di zero

L'energia specifica di un'orbita ellittica è negativa. In astrodinamica e in meccanica celeste un'orbita ellittica è un'orbita con eccentricità maggiore di 0 e minore di 1. L'energia specifica di un'orbita ellittica è negativa.

differenza che in quest'ultima è positivo. Velocità Sotto le ipotesi standard la velocità orbitale di un corpo che si muove su un'orbita ellittica può essere calcolata come: Conclusioni: la velocità non dipende dall'eccentricità ma è determinata dalla lunghezza del semiasse maggiore ( ) l'equazione della velocità è simile a quella valida per una traiettoria iperbolica con la differenza che in quest'ultima è positivo.

il periodo orbitale non dipende dall'eccentricità. Sotto le ipotesi standard il periodo orbitale di un corpo che si muove su un'orbita ellittica può essere calcolata come: Conclusioni: il periodo orbitale è lo stesso che avrebbe se l'orbita fosse circolare con un raggio pari al semiasse maggiore ( ) il periodo orbitale non dipende dall'eccentricità.

Energia Sotto le ipotesi standard, l'energia orbitale specifica ( ) di un'orbita ellittica è negativa e l'equazione della conservazione dell'energia per quest'orbita prende la forma: Conclusioni: L'energia specifica per le orbite ellittice è indipendente dall'eccentricità ed è in funzione del solo semiasse maggiore dell'ellisse.

Fine!