MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni fpetroni@gmail.com

Principali regimi finanziari Interesse semplice (sconto razionale) Sconto commerciale (capitalizzazione iperbolica) Interesse (e sconto) composto

Interesse semplice Nel regime dell’interesse semplice l’interesse prodotto è proporzionale al capitale investito ed alla durata dell’investimento => I(t)=αCt dove α è una costante >0 Posti C=1 e t=1 => I(1)= α, quindi α è l’interesse prodotto nell’unità di tempo da un capitale unitario => è un tasso d’interesse e quindi lo indicheremo con i => I(t)=iCt Dove i è il tasso d’interesse periodale riferito all’unità di misura usata per t

M(t)=C+I(t)=C+Cit=C(1+it) Interesse semplice In funzione del tasso d’interesse periodale il tasso d’interesse corrispondente ad una operazione di durata t sarà i(t) = i t La legge di formazione del montante sarà M(t)=C+I(t)=C+Cit=C(1+it) E quindi il fattore di capitalizzazione r(t)=1+it

Interesse semplice Nel regime dell’interesse semplice interesse I e montante M hanno un andamento lineare rispetto al tempo => M=M(t)=C(1+it) I=I(t)=Cit C t

Interesse semplice L’interesse I(t) risulta non soltanto proporzionale al capitale impiegato C ma e’ anche funzione lineare di t e del tasso periodale I(i,C,t1+t2) = iC(t1+t2) = iCt1 + iCt2 = I(i,C,t1)+I(i,C,t2) In generale I(i,C,kt)= k I(i,C,t) I(i1+i2,C,t) = (i1+i2)Ct = i1Ct + i2Ct= I(i1,C,t)+I(i2,C,t) In generale I(ki,C,t)= k I(i,C,t)

Interesse semplice Tassi d’interesse equivalenti nel regime dell’interesse semplice: Se si cambia l’unità di misura del tempo cambia anche la determinazione del tasso periodale d’interesse i=it Tassi periodali relativi alla stessa legge ma con riferimento a periodi diversi vengono detti equivalenti Se tassi equivalenti vengono applicati allo stesso C per lo stesso tempo t danno luogo allo stesso interesse I Es. is=ia/2

Interesse semplice Tasso di sconto e fattore di attualizzazione Il tasso di sconto d per una operazione di durata t sarà: Possiamo scriverlo in termini del tasso periodale:

Interesse semplice Posto K il capitale disponibile al tempo t possiamo scrivere le relazioni per lo sconto D(t) ed il valore attuale P(t)

Interesse semplice Nel regime dell’interesse semplice lo sconto non ha un andamento lineare ma va come il rapporto tra due funzioni lineari => è detto sconto razionale K D=D(t) P=P(t) t

Interesse semplice Anche per il tasso di sconto d come per il tasso di interesse i, il valore dipende dall’unità di misura utilizzata per il tempo => d relativi ad unità di tempo diverse si ottengono da:

Interesse semplice Capitalizzazione degli interessi Nella pratica l’interesse semplice si applica solo per brevi periodi L’investitore ha interesse a ridurre al minimo la durata dell’investimento e reinvesti gli interessi maturati Un’operazione di questo tipo prende il nome di “capitalizzazione degli interessi” => gli interessi vengono trasformati in capitale

Interesse semplice Abbiamo visto che per una operazione di durata t il montante prodotto è dato da C(1+it) Supponiamo di interrompere l’operazione in un istante s<t, incassare il montante C(1+is) e reinvestirlo per il tempo residuo t-s =>

Interesse semplice Capitalizzazione degli interessi nel punto s<t C

Interesse semplice E quindi conviene fermare l’operazione e reinvestire il “nuovo” capitale a disposizione Possiamo verificare che conviene dividere il tempo in intervalli uguali s=t/2 trovando il massimo della funzione

Interesse semplice Se è possibile dividere l’intervallo di tempo n-1 volte il vantaggio maggiore si ha per n intervalli uguali =>

Interesse semplice Se considero n molto grande fino a prendere il limite per n che tende ad infinito ottengo: Quando n tende ad infinito il montante M(t)=eit => cresce esponenzialmente. Prende il nome di capitalizzazione continua

Sconto commerciale Consideriamo il regime finanziario in cui d(t) = d t Con d(1) tasso di sconto periodale costante D(t)=K d t v(t) = 1 – dt P(t)= K v(t) = K (1-dt) In analogia con il caso precedente questo regime finanziario è anche detto dello “sconto semplice” o “interesse anticipato semplice” o “sconto commerciale”

Sconto commerciale Notiamo che in questo caso è lo sconto ad avere un andamento lineare con il tempo D=D(t)=Kdt P=P(t)=K(1-dt) K t Avendo posto P(t)>0 esite un limite di applicabilità di questo regime => t≤1/d

Sconto commerciale Dalle definizioni appena date possiamo trovare il fattore di capitalizzazione r, il tasso d’interesse i =>

Sconto commerciale Allo stesso modo troviamo montante M(t) e interesse I(t) => Situazione simmetrica rispetto a quella dell’interesse semplice => legge di capitalizzazione iperbolica

Sconto commerciale M=M(t) I=I(t) C t 1/d

Sconto commerciale Capitalizzazione degli interessi In questo caso la capitalizzazione degli interessi maturati è svantaggiosa per l’investitore, vediamo perché: Questa volta la seconda equazione è minore della prima, infatti invertendo

Sconto commerciale I tassi equivalenti si ottengono da d(t)= d t esattamente come nel caso dell’interesse semplice