EQUAZIONI, MODELLO MATEMATICO DELLA REALTÀ. La matematica è un linguaggio, un linguaggio molto conciso. Come tutti i linguaggi richiede l’applicazione di una pratica ( Sheila Tobias in “ Come vincere la paura della matematica”) intelligente per essere appreso.. EQUAZIONI, MODELLO MATEMATICO DELLA REALTÀ.

La comunicazione essenziale ed efficace A cura del docente: ERNESTINA MAZZEI Liceo Socio-Psico-Pedagogico “V. Gambara” www.liceogambara.it Destinatari: Alunni della classe seconda B S.p.p. La comunicazione essenziale ed efficace Progetto Lauree Scientifiche a.s. 2008 -2009

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Introduzione alla geometria analitica Bene ragazzi , siamo pronti , a questo punto , a comprendere il legame tra algebra e geometria , tra equazioni e rappresentazioni grafiche , tra funzione e ricerca dei suoi zeri. Sapete già che un sistema di assi cartesiani ortogonali permette di rappresentare nel piano i punti,se sono noti due numeri reali che rappresentano ,nell’ ordine,l’ascissa e l’ordinata

Prendete, quindi, carta e penna e completate le seguenti tabelle sostituendo alla variabile x i valori indicati

Per ciascuna delle seguenti funzioni , trova il valore di y e completa la tabella: y=3-x y=4+2x x y -1 -2 2 1 x y -4 -3 3 4

Controlla i risultati ottenuti: y=4+2x y=3-x x Y -1 2 -2 4 8 1 6 x y -4 7 -3 6 3 4 -1

Rappresenta graficamente i punti (x;y) cosi’ ottenuti. Determina la soluzione dell’ equazione: 0=4+2x. E’ un elemento della tabella relativo alla funzione: y=4+2x ? In caso affermativo, cosa rappresenta nel grafico ? Determina, ora, la soluzione dell’equazione:0=3-x E ripeti il ragionamento precedente per la formula y=3-x

della retta con l’asse x, è la soluzione della equazione: -2 y=4+2x y Questo è il grafico della prima retta Il valore-2,ascissa del punto di intersezione della retta con l’asse x, è la soluzione della equazione: -2 O x 0=4+2x

della retta con l’asse x, è la soluzione della equazione: y=3-x y Questo è il grafico della seconda retta Il valore 3, ascissa del punto di intersezione della retta con l’asse x, è la soluzione della equazione: x O 3 0=3-x

A questo punto hai compreso che: una equazione di primo grado in due incognite rappresenta una retta la soluzione di una equazione lineare è l’ascissa del punto di intersezione della retta con l’ asse delle ascisse. risolvere un’ equazione significa determinare gli zeri di una funzione. Ma se hai ancora qualche dubbio , non preoccuparti, il lavoro in laboratorio con Derive e Excel ti permetterà di comprendere, pienamente, il legame tra algebra e geometria.

Presentare le equazioni non come un concetto astratto , MATEMATICA E REALTA’ Presentare le equazioni non come un concetto astratto , ma collegate alla risoluzione di problemi. 2. Spiegare come la traduzione di un problema in equazioni matematiche è un’operazione fondamentale in tutte le discipline scientifiche. 3. Riuscire a scrivere un’ equazione vuol dire , infatti , trovare le relazioni tra le grandezze significative di un problema e, quindi, pervenire a una comprensione più significativa della realtà.

Perchè le equazioni? a… Da… abaco Le conoscenze matematiche si sono sviluppate nel tempo sotto la spinta di necessità pratiche: prima il bisogno dei commercianti di eseguire i calcoli, poi la necessità di strumenti matematici adeguati a risolvere problemi più complessi, come quelli creati dallo sviluppo tecnologico. a…

Da…  Pitagora Nel corso della storia della matematica, si è passati da semplici problemi di numerazione ad altri più completi ed efficaci, dalla risoluzione di problemi esclusivamente per via geometrica, praticata dai Greci, allo sviluppo del problema algebrico, che ha permesso di risolvere intere classi di problemi e di semplificare i relativi procedimenti. a…

Il primo passo da compiere per risolvere un problema, di qualsiasi natura , è costruire un modello che ci possa aiutare a trovare la sua soluzione. Spesso, in questo caso, è di aiuto il linguaggio dell’algebra. Consideriamo i seguenti problemi :

Un treno, dopo aver percorso un quarto del suo tragitto deve coprire ancora una distanza di 270 Km per giungere a destinazione. Quanto è lungo tutto il percorso? Un piccolo computer viene venduto, con lo sconto del 25% sul prezzo di listino, per 270 €. Qual è il prezzo di listino? Il compenso per una conferenza, al netto delle trattenute del 25% è di 270€. Qual è il compenso lordo?

Osservazione L’equazione 1 x + 270 = x 4 Rappresenta tutti e tre i problemi, di origine assai diversa l’uno dall’altro. o più precisamente il modello matematico . Osservazione Dopo aver scritto l’equazione, la fase risolutiva dell’equazione stessa si svolge ignorando l’origine del problema e applicando soltanto le regole del calcolo.

Formalizzazione di un problema La formalizzazione di un problema presenta notevoli analogie con il processo di traduzione da una lingua ad un’ altra. In particolare, scrivere un’equazione relativa ad un certo problema vuol dire esprimere in termini algebrici una condizione espressa a parole, cioè sostituire le parole con simboli, numeri, segni di operazioni, ecc. ecc.

L’ incognita del problema viene indicata con la lettera x, lettera per noi italiani inconsueta, che sta ad indicare un numero incognito che si determina applicando le regole di calcolo. Il procedimento di traduzione in forma matematica viene detto formalizzazione del problema e può essere così schematizzato: Traduzione in simboli Relazioni tra dati e incognita Equazione

Un esempio Trova il numero che aggiunto a due sia uguale al + 2 X = doppio del numero stesso sommato a cinque 2 X + 5 La scrittura: x+2=2x+5 è la formalizzazione in linguaggio algebrico, cioè il modello matematico, del problema dato. Clicca qui per trovare i metodi per risolverla.

Le equazioni Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni letterali che risulta verificata per particolari valori attribuiti alle lettere. Esempio: 2x+1=7 è un’equazione e risulta verificata solo per il valore di x=3 Le due espressioni a sinistra e a destra del segno di uguaglianza si chiamano membri dell’equazione.

Le soluzioni di un'equazione I valori che rendono vera l’uguaglianza si chiamano soluzioni o radici dell’equazione. Si può anche dire che tali valori “verificano” l’equazione. Esempio: y-9=1 Ha come soluzione il valore 10, perché 10-9=1. Diciamo che la soluzione è y=10. Risolvere un’equazione significa determinare tutte le sue soluzioni, cioè tutti i valori che verificano l’uguaglianza.

Le equazioni equivalenti Due equazioni contenenti la stessa incognita si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. 2 x 3· -6=0 x -2=0 L’equivalenza tra equazioni è una relazione di equivalenza nell’insieme delle equazioni, perché gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

Principi di equivalenza Si utilizzano per trasformare un’equazione in una equivalente, di solito più semplice Il primo principio di equivalenza afferma che aggiungendo o sottraendo una stessa espressione ai due membri dell’equazione, si ottiene un’equazione equivalente,cioè con lo stesso insieme di soluzioni. Il secondo principio di equivalenza afferma che moltiplicando o dividendo per una stessa espressione, diversa da zero, i due membri dell’equazione, si ottiene un’equazione equivalente.

I diversi tipi d'equazione Le equazioni si classificano in base: intere alla posizione dell’incognita fratte numeriche ai coefficienti letterali determinate all’ esistenza di soluzioni indeterminate impossibili

Intere Si dice che un’equazione è intera se l’incognita è presente soltanto nei numeratori. ? 2 = 1-7· L’incognita è solo al numeratore.

Fratte Un’equazione fratta si ha quando un’incognita è presente anche al denominatore. 1 ? - 3 4 - 1 = L’incognita è presente anche al denominatore.

Numeriche Abbiamo delle equazioni numeriche quando tutti i coefficienti sono numeri. 2x-5=0 Sono tutti numeri

Letterali In un’equazione letterale nei coefficienti sono presenti anche le lettere (1-2a)x=3ax+1/4 Contiene delle lettere

Determinate Un’equazione è determinata se ha un numero finito di soluzioni 1/2x+3=5/2 È determinata in quanto ha una sola soluzione: x= -1

Indeterminate Se un’equazione ha infinite soluzioni è detta indeterminata x+y=1 È indeterminata perché possiede infiniti valori di x, al variare di y e viceversa: Se y=0 allora x=1; Se y =1 allora x=0; Se x=3 allora y=-2 ..ecc. Esempi:

.. un altro caso (x+1)²-1 = x²+2x 1-1 = 0 Questo è un altro caso di equazione indeterminata in quanto NB: la soluzione di questa equazione è data da qualsiasi numero reale, quindi tale equazione ha infinite soluzioni: tutti i numeri reali. 1-1 = 0

Impossibili Un’equazione che non ha soluzioni si chiama impossibile. x+1=x Non esiste alcun valore di x che renda vera l’uguaglianza, per questo si dice che è una equazione impossibile.

La storia delle equazioni Il termine equazione, dal latino “aequatio”, è citato per la prima volta da L. Fibonacci (1202) nell’opera “Liber abaci”. La simbologia matematica utilizzata nel corso dei secoli per esprimere un’equazione è molto cambiata, diventando sempre più sintetica ed efficace. Oggi: 2x2-5x = 27 In passato la stessa: “Trovami un numero di cui il doppio del quadrato diminuito di cinque volte lo stesso fa ventisette” (Tartaglia nel1556) “2 zz – 5 z ∞ 27” (Cartesio nel 1635)

Il procedimento per la risoluzione delle equazioni lineari è il seguente: si libera l’ equazione dagli eventuali denominatori facendo il m.c.d. si eliminano le parentesi effettuando i calcoli si spostano i termini in modo da avere al 1° membro solo quelle che contengono l’incognita si riducono i termini simili , portando l‘equazione in forma normale (ax=b) si stabilisce se l’equazione è determinata (e si trova la soluzione x=b/a) indeterminata o impossibile clicca qui per la verifica

Fare la verifica di un’equazione vuol dire Fai la verifica Definizione: chiamiamo soluzioni di un’ equazione tutti i valori che, sostituiti all’incognita, rendono il primo membro uguale al secondo. Fare la verifica di un’equazione vuol dire sostituire la soluzione trovata all’incognita controllare che i due membri dell’uguaglianza assumano lo stesso valore. Esempio: Vogliamo verificare che x=1 è soluzione dell’equazione 3x+4x2= x (2x+5) sostituiamo nel primo membro il valore 1 all’incognita; otteniamo: 3(1)+4(1)2= 3+4 = 7 sostituiamo ora nel secondo membro il valore 1 all’incognita; otteniamo: 1[2(1)+5)] = 1(7) = 7 I due membri assumono lo stesso valore; pertanto x=1 è soluzione dell'equazione

Verifiche Verifiche Problemi di primo grado 1^ 2^

Sitografia Ricerca storica Wikipedia Geogebra Excel Derive Aula Multimediale Ricerca storica Wikipedia Geogebra Excel Derive

Perché è importante la retta? Un tassista chiede ad un cliente € 2.00 per ogni kilometro percorso , più una spesa iniziale ( indipendente dal percorso ) di € 3.00. Un secondo tassista chiede al cliente € 2.50 per ogni kilometro percorso senza alcuna aggiunta iniziale. Sotto quali condizioni è più vantaggiosa per il cliente la proposta del primo tassista? Se indichiamo con x il numero dei kilometri che il cliente deve percorrere, con y e Y le cifre richieste dai due tassisti , abbiamo le due funzioni : y =2x+3 e Y=2.50x I cui grafici sono rappresentati nel piano cartesiano della figura 1.

comporta una spesa minore. Dall’esame della figura risulta evidente che per le ascisse >6 le ordinate dei punti della retta che rappresenta la spesa relativa alla richiesta del primo tassista sono inferiori alle ordinate dei punti della retta che rappresenta la seconda proposta. Per x>6 la richiesta del primo tassista è più vantaggiosa per il cliente perché comporta una spesa minore.

introdurre i concetti fondamentali relativi al piano cartesiano Utilizzo di Excel saper interpretare graficamente un'equazione lineare in due incognite comprendere l' importanza della corrispondenza esistente tra relazioni algebriche ed enti geometrici saper utilizzare excel per la rappresentazione di una retta Metodologia: introdurre i concetti fondamentali relativi al piano cartesiano spiegare, come , data una funzione in forma algebrica , si possa disegnare il suo grafico e viceversa introdurre i concetti con esempi graduati in ordine di difficoltà crescente da cui ricavare la regola generale

Prerequisiti: calcolo letterale, risoluzione di equazioni lineari,piano cartesiano Strumenti: libri di testo appunti, fotocopie mappa concettuale ricerca con internet blog didattico

Documento in Powerpoint in cui si evidenzia l’ importanza della retta Durata: 15 ore 10 ore in classe per risolvere equazioni e problemi 4 ore nel laboratorio di informatica per utilizzo di Derive e Excel 1 ora in laboratorio per la presentazione ,del lavoro prodotto dai vari gruppi Prodotto atteso Documento in Powerpoint in cui si evidenzia l’ importanza della retta per rappresentare situazioni reali , confrontarle ed operare delle scelte.

Matematica e cinema Tra i film dedicati ai Matematici abbiamo scelto: “A beautiful mind” che narra,romanzandola, la vita incredibile del geniale matematico John Nash, premio Nobel per l’ economia. Il film è stato proiettato il 22/01/2009 nell’ora di matematica e nell’ora di Elementi di Psicologia.

Liceo socio-psico-pedagogico Filo diretto con gli allievi Blog didattico Liceo socio-psico-pedagogico http://2Bmatblog.blogspot.com http://community.eun.org Dal linguaggio naturale al linguaggio dell'algebra

Si consiglia di “leggere “ il progetto iniziando da breve introduzione storica e di seguire le indicazioni dei tasti a fine pagina. Si precisa, inoltre , che , sia nella mappa iniziale che nelle slides successive , ci sono alcuni collegamenti a documenti word e a pagine web.