x2 – 4x + 1 x – 3 6x 5y2 ; x2 – 4x + 1 x – 3 x – 3 ≠ 0 x ≠ 3 Definizione e caratteristiche Frazione algebrica: espressione letterale del tipo , con A e B monomi o polinomi e B ≠ 0 A B ESEMPIO x2 – 4x + 1 x – 3 6x 5y2 ; Insieme di definizione o dominio della frazione: insieme dei valori che è possibile attribuire alle lettere. condizione di esistenza: condizioni che indicano quali valori delle lettere devono essere esclusi. ESEMPIO x2 – 4x + 1 x – 3 C. E. x – 3 ≠ 0 x ≠ 3

[2a (a – 1) (a + 1) = 2(a + 1)  a (a – 1)] Frazioni equivalenti Due frazioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, sono equivalenti se diventano numeri uguali in corrispondenza di ogni valore che è possibile attribuire alle variabili. Le frazioni algebriche e sono equivalenti se A  D = B  C. A B C D ESEMPIO 2a a2 – a è equivalente a 2a + 2 a2 – 1 Infatti: 2a (a2 – 1) = (2a + 2) (a2 – a) [2a (a – 1) (a + 1) = 2(a + 1)  a (a – 1)] Per ottenere frazioni algebriche equivalenti basta applicare la proprietà invariantiva della divisione, cioè possiamo: dividere numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo) e questo permette di semplificare una frazione moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo) e questo serve per ridurre due o più frazioni allo stesso denominatore in modo da poterle sommare o sottrarre.

3a2x2 – 9a3x ax3 – 3a2x2 = 3a2x (x – 3a) ax2 (x – 3a) 3a x a + 2b Semplificazione L’algoritmo per semplificare una frazione è il seguente: si scompongono numeratore e denominatore si individuano i divisori comuni, cioè il M.C.D. si dividono il numeratore e il denominatore per il loro M.C.D. Se il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni si dice che la frazione è irriducibile. ESEMPI 3a2x2 – 9a3x ax3 – 3a2x2 = 3a2x (x – 3a) ax2 (x – 3a) 3a x a + 2b a2 – b2 = (a – b) (a + b) Il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni al di fuori dell’unità e quindi la frazione è irriducibile.

3b 2x + y b 2x − y + = 3b (2x – y) + b (2x + y) (2x + y) (2x – y) = Operazioni Addizione e sottrazione Per sommare o sottrarre due o più frazioni algebriche, si deve seguire questa procedura: scomporre i denominatori delle frazioni e porre le condizioni di esistenza semplificare le frazioni che non sono irriducibili trovare il m.c.m. fra i denominatori ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore eseguire le addizioni e le sottrazioni e semplificare la frazione ottenuta se necessario ESEMPIO 3b 2x + y + b 2x − y = c. d. e. 2x + y ≠ 0 2x – y ≠ 0 Riduzione allo stesso denominatore 3b (2x – y) + b (2x + y) (2x + y) (2x – y) = 6bx – 3by + 2bx + by 8bx – 2by

Operazioni Moltiplicazione La moltiplicazione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando tra loro i numeratori e i denominatori e semplificando poi la frazione ottenuta. In pratica, come nel caso di frazioni numeriche, prima si scompone, si semplifica se possibile e poi si moltiplica. ESEMPIO 3 4 8 9  = 2 1 con le frazioni numeriche con le frazioni algebriche 4x2 – y2 x2 + 2xy + y2  = 3x + 3y 2x − y (2x – y) (2x + y) (x + y)2  3 (x + y) 2x − y = 3 (2x + y) x + y

x – y x 2 x + 3y (x – y) (x + 3y) 2x 2a a – 3b (2a)2 (a – 3b)2 4a2 : = Operazioni Divisione La divisione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda. ESEMPIO x – y x : = 2 x + 3y  (x – y) (x + 3y) 2x Elevamento a potenza L’elevamento a potenza di una frazione algebrica si ottiene elevando a quella potenza il numeratore e il denominatore. ESEMPIO 2a a – 3b (2a)2 (a – 3b)2 2 = 4a2