Laboratorio di Informatica per Fisici Introduzione al corso S. Berardi Settembre 2000 E-mail: stefano@di.unito.it http://www.di.unito.it/~stefano

Obbiettivi della presentazione 1. Dare una panoramica sugli strumenti informatici oggi disponibili per la matematica applicata in generale: Mathematica (scelto come argomento del corso), Excel, Mathlab, Maple, ...

Obbiettivi della presentazione 2. Descrivere l’effetto di tali strumenti sulla matematica applicata, ed in particolare sul lavoro del fisico. 3. Descrivere l’effetto di tali strumenti sull’insegnamento della matematica.

Indice della presentazione 1. Strumenti informatici per la matematica applicata: cosa possono fare. 2. Loro effetto sullo studio della matematica. c’é meno necessità di imparare calcoli algebrici e integrali, mentre c’é sempre la stessa necessità di imparare concetti e di dimostrazioni, e c’é più necessità di imparare l’uso di strumenti informatici.

Sez. 1: Strumenti Informatici per la matematica applicata in generale Gli strumenti informatici possono servire al: calcolo numerico (senza i limiti alle dimensioni dei numeri) calcolo algebrico (prodotti, scomposizioni in fattori e semplificazioni di formule, risoluzioni letterali di equazioni e sistemi ...) calcolo integrale: limiti, derivate, integrali, equazioni differenziali; disegno matematico, e, in misura minore, animazione e suoni.

Strumenti Informatici (elenco parziale) Mathematica (forse il più completo, scelto come argomento del corso); Maple (simile a Mathematica, ma più semplice) MathLab (per la didattica all’Università, ma usato anche dagli ingegneri, e superiore a Mathematica nel calcolo con le matrici). MathCad (per il solo disegno matematico). Derive, Cabrì (per l’insegnamento della geometria analitica e euclidea nelle scuole secondarie). A questi strumenti, generici, vanno aggiunti quelli specifici alle particolari discipline scientifiche.

Esempi di calcolo numerico (uso di Mathematica) 2 alla trecentesima: In[1]:= 2300 Out[1]=2037035976334486086268445688409378161051468393665936250636140449354381299763336706183397376

Esempi di calcolo numerico (uso di Mathematica) Prime 100 cifre di p : In[2]:=N[Pi,100] Out[2]=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

Esempi di calcolo numerico (continua) Fattori primi del numero con 36 “uno”: In[3]:=FactorsInteger[111111111111111111111111111111111111] Out[3]= 32, 7, 11, 13, 19, 37, 101, 9901, 52579, 333667, 999999000001.

Esempi di calcolo numerico (continua) Centomilionesimo numero primo: In[4]:= Prime[100 000 000] Out[4] = 2 038 074 743

Esempi di calcolo algebrico (uso di Mathematica) Calcolo di un prodotto: In[5]:= Expand[(3 + x2 + 2y)(3 + x2 + 2y)] Out[5]= 9 + 6 x2 + x4+ 12y + 4 x2y + 4 y2 Scomposizione di un polinomio: In[6]:=Factors[9+6x2+x4+12y+4x2y+4y2] Out[6] = (3 + x2 + 2y) 2

Esempi di calcolo algebrico (continua) Semplificazione: In[7]:=Simplify[-ex2(2x3/(1-x2)2+2x/(1-x2))] Out[7]= -2ex2(x/(1-x2)2 )

Esempi di calcolo algebrico (continua) Risoluzione di un’equazione in x: In[8]:= Solve[ax2+bx+c == mx+n, x] Out[8] = x  (-b+m+((b-m)2-4a(c-n)))/2a x  (-b+m- ((b-m)2-4a(c-n)))/2a

Esempi di calcolo integrale (uso di Mathematica) In[9]:= i=0,..,n (i+2)3 (somma serie) Out[9]= (1/4)(1+n)(4+n)(8+5n+n2) In[10]:= Limit[x3e-x, x ] (limite) Out[10] = 0

Esempi di calcolo integrale (uso di Mathematica) In[11]:=(x2+2) dx (integrale) Out[11] = 1/2 x (x2+2 ) + ArcSinh(x/  2) In[12]:=DSolve[y'[x] == y[x], y[x], x] (equazione differenziale, in y[x] ed x) Out[12] = y[x]  exC

Esempi di disegno geometrico (uso di Mathematica) Grafica tridimensionale: paraboloide a sella z = (x2/4 - y2/9) In[13]:= Plot3D[(x2/4-y2/9), {x,-20,20}, {y,-20,20}]

Esempi di animazione (uso di Mathematica) Onda sull’acqua. Viene costruita una tabella di 10 “fotografie” (grafici 3D) di un’onda, prese negli istanti t = 0, 1, 2, ..., 9, e definite da un’equazione di parametro t. Le fotografie vengono poi “animate”. foto[t] = Plot3D[Sin[((x2+y2)-t(2p/10))], {x,-10,10},{y,-10,10}] ShowAnimation[Table[foto[t], {t,0,9}]]

“Foto” corrispondente a t=0

Esempi di suono (uso di Mathematica) “Harmonic Wow”. Viene costruito il grafico di un onda sonora. Nel sistema “Mathematica”, tale grafico funge anche da “bottone”: schiacciandolo, si fa iniziare l’esecuzione del suono. [equazione d’onda omessa]

Grafico dell’onda sonora

Interferenza di Onde

Frattale “ad artiglio”. (uso di Mathematica)

Bottiglia di Klein (uso di Mathematica)

Sez.2. Effetti sullo studio della matematica. Finora un fisico o ingegnere aveva soprattutto bisogno di imparare il calcolo simbolico, e cioé di saper fare: calcolo letterale, soluzione di equazioni con parametri, derivazione, integrazione, disegno con carta e matita di grafici, ... Con i nuovi sistemi informatici, presto non farà più a mano nessuna di queste cose. Cosa sta succedendo?

Cambiano le esigenze Con l’avvento delle calcolatrici nessuno calcola più a mano una radice, nè utilizza le tavole dei logaritmi. Somme e prodotti a mano sono ancora insegnati solo per far prendere confidenza con i numeri e le loro proprietà. Il calcolo numerico non è più, da molto tempo, un’attività centrale per il fisico.

Cambiano le esigenze (continua) Anche il calcolo simbolico é un calcolo, e non richiede intelligenza. Ci appare un’attività elevata perché é molto astratto, ma in realtà richiede solo l’esecuzione di regole molto semplici, ed é quindi facile da affidare ad un computer. Il calcolo simbolico non é più, di per sé, un’attività centrale per il fisico.

Un paragone: gli scacchi Gli scacchi hanno avuto una sorte simile al calcolo algebrico e integrale. Per secoli sono apparsi un’attività elevata solo perché molto astratti. In realtà, la ricerca della mossa ottimale richiede solo l’esecuzione di una regola molto semplice (una variante del minmax di Von Neumann), facile da affidare a computer. Oggi i computer giocano a scacchi molto meglio degli esseri umani (non per questo hanno imparato a pensare).

Cosa cambia per lo studente? Il calcolo algebrico ed integrale, e la soluzione di equazioni, restano importanti per per prendere confidenza con le funzioni e le loro proprietà. Non si possono però più considerare centrali nell’apprendimento, neppure negli studi applicati.

Cosa cambia per lo studente? (segue) I concetti restano importanti quanto lo erano prima: é inutile poter calcolare un integrale se non so cos’è un integrale. E’ bene invece dedicare un po’ di tempo ad prendere confidenza un sistema di calolo generico (che magari non sarà esattamente quello utilizzato nella professione). Noi abbiamo scelto di insegnare (qualcosa su) l’uso di Mathematica.

Conclusione 1 E’ inutile passare un tempo enorme a ripetendo sempre gli stessi calcoli su prodotti notevoli, frazioni algebriche, sistemi, espressioni trigonometriche, o ridisegnando sempre gli stessi grafici di geometria analitica. Dopo un periodo di transizione, questi calcoli non si faranno più a mano.

Conclusione 2 Parte del tempo in precedenza dedicato al calcolo simbolico ed al disegno manuale viene oggi utilizzato per calcolo e il disegno al computer. Questa è la motivazione del corso che ora inizieremo. Notiamo che il tempo dedicato al calcolo simbolico e al disegno non sparisce: cambia solo lo strumento usato.