Stime per intervalli Oltre al valore puntuale di una stima, è interessante conoscere qual è il margine di errore connesso alla stima stessa. Si possono stabilire dei limiti entro i quali si ha una confidenza (1-) che vi sia compreso il vero valore del parametro nella popolazione. Questi limiti si chiamano LIMITI FIDUCIALI, e l’intervallo che definiscono si chiama INTERVALLO FIDUCIALE o INTERVALLO DI CONFIDENZA

Stime per intervalli Una stima del parametro fatta da un campione, corredata dai suoi limiti fiduciali, è detta STIMA PER INTERVALLI. I valori usuali di  sono 0,01; 0,05; 0,1, che danno luogo a intervalli fiduciali o intervalli di confidenza rispettivamente del 99; 95; 90%. Per definire un intervallo di confidenza si utilizzano le distribuzioni campionarie.

Intervallo di confidenza di una media ( noto) Si estrae un campione di numerosità n per stimare la media. Della popolazione si conosce la deviazione standard . Facciamo riferimento alla distribuzione delle medie campionarie. La media del campione appartiene alla popolazione di medie campionarie che ha: distribuzione normale stessa media della popolazione di partenza deviazione standard = /n. Si tratta, in questa distribuzione normale, di individuare l’intervallo che esclude /2 per lato. Questo intervallo avrà probabilità 1- di includere la vera media della popolazione.

Intervallo di confidenza di una media ( noto) Se  è noto si fa riferimento alla distribuzione z (= 0 e =1) Con: Definito un grado di confidenza 1-, poiché: P [ - Z/2 (/n)    + Z/2 (/n)] = (1- ) Allora: P [ - Z/2 (/n)    + Z/2 (/n)] = (1- )

Intervallo di confidenza di una media ( noto) Se ad esempio il grado di confidenza 1- = 0,95 Z/2 = 1,96 Quindi l’intervallo di confidenza della media sarà: P [ - 1,96 (/n)    + 1,96 (/n)] = 0,95 Valori critici usuali di Z/2 sono: Z0.05 = 1.64 (per confidenza del 90%) Z0.025 = 1.96 (per confidenza del 95%) Z0.005 = 2.57 (per confidenza del 99%)

Intervallo di confidenza di una media ( noto) Z/2 (/n) è la quantità che viene aggiunta e sottratta alla media campionaria per avere l’intervallo. Si chiama massimo errore di stima, ed è un indicatore della precisione della stima. A parità di  i limiti fiduciali si restringono all’aumentare di:  (e quindi al diminuire del grado di confidenza) si esclude un’area di curva maggiore ma aumenta la possibilità che i limiti non contengano il vero  n non vi sono controindicazioni, se non il costo o l’onere di un campione più grande

Intervallo di confidenza di una media ( ignoto) Dal campione si deve stimare la media e la deviazione standard. Non si può usare la distribuzione di z, poiché per usare z occorre conoscere . Si usa quindi la distribuzione di t. con: Analogamente a quanto visto, i limiti fiduciali per una confidenza 1- saranno dati da: Dove la distribuzione di t è quella per (n-1) GL Gli intervalli fiduciali saranno più “larghi” di quelli con  nota, poiché vi sono due stime ( e s) soggette a fluttuazioni campionarie.

Intervallo di confidenza di una media ( ignoto) ESEMPIO Avendo rilevato produzioni di un pascolo si sono ottenuti i seguenti valori (t ha-1 di sostanza secca): 3.6; 4.3; 4.8; 3.3; 3.2; 2.8; 4.1; 4.8; 3.3. Calcolare la produzione media ed i suoi limiti fiduciali al 90%, al 95% e al 99% Soluzione

Intervallo di confidenza di una proporzione Una distribuzione binomiale, se ci si riferisce alle proporzioni di successi, è caratterizzata da: Media (valore atteso): =p Varianza: 2= p(1-p) La proporzione di successi del campione, se n è sufficiente, è una variabile casuale con distribuzione approssimativamente normale e: Media = p Varianza = p(1-p)/n

Intervallo di confidenza di una proporzione Se n è sufficientemente grande: Ha distribuzione della normale standardizzata Dove è la proporzione campionaria di successi, trovata con un campione di numerosità n. Definita una confidenza 1-  posso quindi calcolare l’intervallo di confidenza come: (sostituendo la stima di p nella formula)

Esempio intervallo di confidenza di una proporzione In un sondaggio elettorare su 150 intervistati 84 (cioè 56%) hanno dichiarato di votare per il partito A. Si vuole costruire l’intervallo di confidenza al 99%. Il limite inferiore sarà 0,456 e quello superiore 0,664