Circonferenza e cerchio

Definizione di circonferenza Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto centro della circonferenza

Definizione di cerchio Si definisce cerchio la porzione di piano racchiusa da una circonferenza

Raggio Si definisce raggio di una circonferenza in segmento che unisce il centro con un qualsiasi punto della circonferenza

Corda e diametro Si definisce corda qualsiasi segmento che unisce due punti della circonferenza Si definisce diametro una corda che passa per il centro della circonferenza È facile vedere che : d = 2r

Rapporto fra circonferenza e diametro Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematica Si tratta di un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla categoria dei numeri irrazionali Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2 Nel nostro caso abbiamo che: p 3,14… C d p

p 2 p Formule d r C = p x 2r C = p x d C C Ma d = 2 x r allora Formule inverse Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio Circonferenza uguale a p greco per il diametro C C d p r 2 p

problemi Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il suo diametro misura 12 cm c = p x d c = 3,14 x 12 cm = 37,68 cm Una circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggio r = c/2p r = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cm Trovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio misura 15 cm c = 2 x p x r c = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cm Una circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametro d = c/ p d = 72,22 cm / 3,14 = 23 cm

Area del cerchio Consideriamo i seguenti poligoni regolari Un poligono a 6 lati Un poligono a 10 lati Un poligono a 24 lati La formula per calcolare l’area di questi poligoni è sempre la stessa: A = (2P x a) : 2 dove a è l’apotema (celeste) 2P = n x l (n = numero dei lati l lato) Ogni poligono è inscritto in un circonferenza ed in rosso è mostrato il raggio Asserviamo cosa succede al poligono all’aumentare del numero dei lati fissando prima la nostra attenzione sulla differenza fra poligono e circonferenza circoscritta

Puoi osservare che all’aumentare del numero dei lati il poligono tende sempre di più ad assomigliare ad una circonferenza tanto che già a 24 lati si fa fatica a distinguerli Adesso fissiamo la nostra attenzione sul raggio e sull’apotema Se noi facciamo diventare infinito il numero dei lati il poligono coinciderà con la circonferenza e l’apotema con il raggio Si nota che nella prima figura la differenza e percettibile ma nell’ultima essa diventa trascurabile

A = p r2 A = (2P x a) : 2 r c = 2p r Conclusioni Nella formula A = (2P x a) : 2 diventa diventa r c = 2p r segue A = (2pr x r) : 2 Formula della lunghezza di una circonferenza infine L’area del cerchio è data dal prodotto di p greco per il raggio al quadrato A = p r2

Formula inversa Il raggio di un cerchio è uguale alla radice quadrata dell’area fratto p greco A r p

problemi Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e area del cerchio c = 2 p r A = p r2 Un cerchio ha l’area di 1256 cm2 trovare raggio, diametro e circonferenza del cerchio r = √ (A/p) r = √ (1256 cm2 /3,14) = √ 400 cm = 20 cm d = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cm c = p d = 3,14 x 40 cm = 125,6 cm La somma delle circonferenze di due cerchi è di 60 p cm, una è i 7/5 dell’altra. Trovare le aree dei due cerchi c = 2 x 3,14 x 10 cm = 62,4 cm A = 3,14 x (10 cm )2= 314 cm2 60 p cm x 5 c1 c1 +c2 = 60 p cm c2 = 7/5 c1 c1 + 7/5 c1 = 60 cm 12 12 5 5 c1 + 7 c1 = 60 p cm c1 60 p cm c1 = 25p cm 5 C2 = 35 p cm d1 = 25p cm/p r1 = 12,5 cm A1 = (12,5 cm)2 p = 152,5 p cm2

Arco di circonferenza Prendiamo una circonferenza e mettiamo su di essa due punti Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due punti I punti B e C individuano l’arco c e l’arco d

Arco e angolo al centro Se degli estremi di un arco di circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro a Tale angolo prende il nome di angolo al centro Si dice che l’arco AB sottende un angolo a e l’angolo a è sotteso da un arco AB Cosa succede se in una circonferenza aumento l’ampiezza dell’arco? Cosa succede all’angolo a? Vediamo che esso aumenta e questo aumento è proporzionale all’ampiezza dell’arco

Calcolo della lunghezza dell’arco Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente valore dell’arco sarà l’intera circonferenza Questo valore sarà uguale a rapporto di un arco e del corrispondente angolo al centro Da cui ottengo il modo di calcolarmi l Sapendo che c = p x 2r C l = 360° a C a x = l 360° p x 2r x a l = 360°

Formule Inverse l x 360° l x 360° c a = = a c x l 360° x l 360° d = a p x a p x d l x 360° l x 360° r = a = 2 p x a 2 p x r

Settore circolare Prendiamo un cerchio e un suo arco BC Tracciamo i due raggi che uniscono gli estremi dell’arco con il centro Otteniamo cosi una porzione di cerchio Si dice settore circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza. Cosa succede se aumento a?

Calcolo dell’area settore circolare L’area del settore circolare è proporzionale al valore dell’angolo al centro Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente settore circolare coinciderà con l’area del cerchio Questo rapporto e quello precedente saranno uguali Da questa constatazione posso impostare la proporzione per calcolarmi l’area de settore circolare La cui soluzione mi darà l’area del settore circolare As Ac = a 360° Ac x a As = 360° p r2 x a As = 360°

Formule Inverse As x 360° As x 360° Ac a = = a Ac As x 360° As x r p x a p x r2

Segmento circolare Consideriamo un cerchio ed una sua corda a La corda divide il cerchio in due parti Si definisce segmento circolare ciascuna delle due parti Si definisce segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda

Caso 1 il segmento non contiene il centro In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO L’area del segmento circolare sarà data dalla differenza fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo Asc = As - At

Caso 2 il segmento contiene il centro In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO L’area del segmento circolare sarà data dalla somma fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo Asc = As + At Se non diversamente specificato il segmento circolare si riferisce all’angolo convesso

Corona circolare Consideriamo due circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 > r2 fra le due circonferenze si trova una porzione di piano Chiamiamo questa porzione di piano corona circolare Si definisce corona circolare la porzione di piano racchiusa fra due circonferenze

Area della corona circolare L’area della corona circolare si ottiene sottraendo all’area del cerchio maggiore quella del cerchio minore Acc = pr22 – pr12 Acc = p(r22 – r12)