Meccanica 7 28 marzo 2011 Corpi estesi. Forze interne al sistema Centro di massa e suo significato dinamico 1° eq. cardinale. Conservazione della quantita` di moto Sistemi continui. Densita` di materia Massa inerziale definita indipendentemente dal peso Momento angolare e di forza. Cambio di polo Coppia di forze Momento delle forze interne Sistema di forze parallele. Centro di forza

Sistemi di punti Finora abbiamo considerato sistemi formati da un solo punto materiale Ora considereremo sistemi formati da più punti materiali Accanto alle forze che si esercitano tra il sistema e l’ambiente, dette forze esterne (rispetto al sistema) abbiamo ora forze che si esercitano tra punti appartenenti al sistema, dette pertanto forze interne

Forze interne ed esterne Per ogni punto i del sistema diciamo Fi la forza totale agente sul punto Questa puo` essere pensata come somma di due termini, uno dovuto alle forze interne al sistema e uno dovuto a quelle esterne Sia le forze interne che esterne possono essere conservative o dissipative

Risultante delle forze interne Abbiamo un primo importante teorema: la risultante di tutte le forze interne di un sistema e` nulla Questo e` conseguenza del 3o principio della dinamica: ad una forza agente sul punto i e dovuta al punto j, corrisponde la forza coniugata uguale e opposta alla precedente La risultante della coppia e` zero e quindi la somma delle risultanti e` pure zero

Grandezze meccaniche del sistema Per ogni punto Pi del sistema possiamo definire le grandezze meccaniche QM, momento angolare, energia cinetica Possiamo ora definire le corrispondenti grandezza meccaniche del sistema come somma delle grandezze dei punti componenti Massa: QM: Momento angolare: Energia cinetica:

Centro di massa Media dei raggi vettori pesata sulle masse dei punti E` un punto ideale dello spazio la cui posizione e` definita da Attenzione che questa e` un’uguaglianza vettoriale Cio` significa che le coordinate del CM (p.e. in un sistema cartesiano) sono

Velocita` del CM Calcoliamo la velocita` del CM Ne deriva l’importante teorema: la QM di un sistema e` uguale alla QM del CM, considerato come un punto materiale di massa M e velocita` vCM Media delle velocita` pesata sulle masse dei punti

Accelerazione del CM Calcoliamo l’accelerazione del CM Ricordiamo la 2a legge della dinamica per il punto generico i e introduciamola nell’equazione precedente Media delle accelerazioni pesata sulle masse dei punti

Moto del CM Troviamo L’ultima uguaglianza deriva dal fatto che la risultante delle forze interne e` nulla D’altra parte

Prima equazione della dinamica dei sistemi Abbiamo ottenuto l’importante teorema: Il CM si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne Prima equazione della dinamica dei sistemi O prima equazione cardinale della dinamica

Proprieta` del CM Come risulta dalle definizioni di posizione, velocita` e accelerazione del CM, questo punto ci da` informazioni sulle proprieta` medie del sistema ma nulla ci dice sul moto dei singoli punti

Distribuzione continua di massa Come sappiamo la materia è suddivisibile in unità discrete, gli atomi e le molecole Nel volume occupato da un corpo macroscopico, c’è un numero estremamente grande di tali costituenti elementari Si può allora ritenere con buona approssimazione che entro questi corpi la massa sia distribuita con continuità Questa assunzione permette di applicare i metodi del calcolo differenziale e integrale Introduciamo a tale scopo una nuova grandezza

Densità di massa Massa distribuita in un volume omogenea generale Massa distribuita in un volume Densità spaziale Massa distribuita su di una superficie Densità superficiale Massa distribuita lungo una linea Densità lineare Dimensioni della densità

Distribuzione continua di massa Viceversa si può trovare la massa: in un volume V su di una superficie S lungo una linea L

Centro di massa in un corpo continuo Riprendiamo la definizione di CM Per un corpo con distribuzione continua di materia bastera` sostituire le sommatorie con integrali e le masse elementari con masse infinitesime

Centro di massa in un corpo continuo Ove abbiamo indicato con M la massa totale del corpo Le masse infinitesime sono contenute in volumi infinitesimi Se la densita` e` uniforme, gli integrali si riducono a integrali puramente geometrici

CM di sottoinsiemi e CM globale 1 2 Cerchiamo il CM di un corpo non connesso La prima sommatoria si riferisce al corpo 1 (di massa M1), la seconda al corpo 2 (di massa M2)

CM di sottoinsiemi e CM globale La prima parentesi contiene il CM del corpo 1 e la seconda quella del corpo 2 Quindi il CM globale e` il CM dei due sottoinsiemi

CM di due corpi puntiformi 1 r2 Siano M e m le masse Prendiamo come origine la posizione di uno dei due corpi (l’1 p.e.) allora r1=0 Quindi il CM giace sulla congiungente dei due punti e la sua distanza da essi e` inversamente proporzionale alle loro masse 2

CM di due corpi puntiformi Detto i vettori posizione dei due corpi rispetto al CM si possono scrivere 1 2 r2 CM r1

Corpi con alta simmetria Se un corpo e` simmetrico rispetto ad un punto, un asse o un piano, il CM giace nel punto, sull’asse o sul piano, rispettivamente Se esistono piu` assi o piani di simmetria, il CM si trova nella loro intersezione

Conservazione della QM Se il sistema e` isolato, o le forze esterne hanno risultante nulla, e quindi , la QM si conserva In tal caso il CM si muove di moto rettilineo uniforme Attenzione: la QM dei singoli punti puo` cambiare nel tempo, e` la loro somma che rimane costante

Conservazione solo in alcune direzioni La legge E` una legge vettoriale, per cui puo` accadere che la risultante delle forze esterne, pur non essendo nulla, abbia una o due componenti nulle In tal caso la QM si conserva nelle direzioni corrispondenti

Massa inerziale La conservazione della QM permette di definire la massa dinamicamente, senza riferimento al peso Consideriamo un sistema costituito da due corpi fermi e da una molla compressa di massa trascurabile che li collega Lasciando espandere la molla, la QM del sistema non varia, poiche’ l’unica forza in gioco, quella della molla, e` interna al sistema

Massa inerziale Quando la molla ha finito di espandersi Passando ai moduli Cioe` e` possibile misurare la massa di un corpo qualunque, rispetto ad un corpo campione, attraverso misure di velocita`

Massa inerziale Analizzando l’urto tra due corpi, Newton arrivo` alla conclusione che nell’urto tra due corpi isolati, la variazione di velocita` di uno e` in rapporto costante con la variazione dell’altro Velocita` iniziali Velocita` finali

Massa inerziale Newton estese poi la conclusione ad altri tipi di interazione, ad esempio quella elastica (dovuta ad una molla di massa trascurabile)

Massa inerziale In ogni interazione tra due punti materiali isolati, il rapporto delle rispettive variazioni di velocita` ha sempre lo stesso valore e non dipende dal tipo di interazione k12 dipende solo dalla coppia di punti (Poiche’ le variazioni di velocita` hanno segno opposto, il segno negativo serve per rendere k12 positiva)

Massa inerziale Se si assegna arbitrariamente una massa m1 ad uno dei due punti, la massa m2 dell’altro puo` quindi essere definita con riferimento al primo Sostituendo nella relazione precedente abbiamo un modo operativo di misura della massa inerziale

Momento angolare Supponiamo di essere in un sistema inerziale Il momento angolare totale di un sistema di punti {Ai} rispetto al polo fisso O e` Vogliamo trovare come cambia il momento angolare se lo calcoliamo rispetto ad un altro polo Q pi O ri Ai

Notare che la QM e` sempre quella relativa al sistema inerziale Momento angolare In generale non e` necessario che il polo Q sia fisso, potendo questo muoversi di moto arbitrario ri’ pi Q O rQ ri Ai L’espressione del momento angolare rispetto a Q e` La relazione tra le distanze di Ai dai due poli e` Ove rQ(t) e` la distanza (orientata e dipendente dal tempo) tra i poli Notare che la QM e` sempre quella relativa al sistema inerziale

Momento angolare Il calcolo del momento da` Il momento dipende dunque dal polo scelto, a meno che la QM non sia nulla

Momento delle forze Il momento risultante di tutte le forze agenti sul sistema di punti {Ai} rispetto al polo fisso O e` Similmente a quanto fatto per il momento angolare, vogliamo trovare come cambia il momento delle forze se lo calcoliamo rispetto al polo (che puo` essere mobile) Q

Momento delle forze L’espressione del momento delle forze rispetto a Q e` Il calcolo da` Ove F e` la risultante delle forze: a meno che questa non sia nulla, il momento dipende dal polo

Coppia di forze Un caso particolare importante e` quello di due forze uguali e opposte (non agenti sulla stessa retta) In tal caso la risultante e` nulla e il momento e` indipendente dal polo scelto O F1 F2 r1 r2 r12

Coppia di forze Il momento risultante e` un vettore perpendicolare al piano individuato dalle forze e dal vettore r12 Il modulo e` Ove b e` il braccio della coppia, ovvero la distanza tra le rette d’azione delle due forze F1 F2 r12 tO q b

Momento delle forze Approfondiamo l’argomento considerando il momento delle forze interne e il momento delle forze esterne, per un polo generico, fisso o in moto Dimostriamo ora un importante risultato valido per il momento delle forze interne

Momento delle forze interne Gli addendi della sommatoria si possono raggruppare in coppie coniugate secondo il 3o principio della dinamica Il momento relativo a una qualunque di tali coppie e` ri rj fij fji O e poiche’ le due forze sono uguali ed opposte

Momento delle forze interne La differenza dei raggi vettori ha la direzione della congiungente i due punti e poiche’ anche le forze di interazione hanno questa direzione, ne segue Il momento totale delle forze interne risulta quindi nullo perche’ e` somma di termini tutti nulli Altrimenti il momento non sarebbe nullo ri rj fij fji O ri-rj

Momento delle forze Visto in altro modo, abbiamo l’importante risultato che, per un polo arbitrario, il momento delle forze e` uguale al solo momento delle forze esterne Questo deriva da due proprieta` della 3a legge della dinamica: Le forze di interazione sono uguali ed opposte Le forze hanno la stessa retta d’azione

Sistema di forze parallele Sia u il versore che individua la direzione delle forze La risultante delle forze risulta parallela a u Il momento risultante delle forze rispetto ad un polo O

Sistema di forze parallele Introduciamo il centro delle forze parallele Si dimostra facilmente che la posizione del centro non dipende dal polo scelto Per il momento di forza otteniamo dunque Questo significa che un sistema di forze parallele e` equivalente alla forza risultante F applicata nel centro di forza

CM e peso Consideriamo un corpo (p.e. continuo) sottoposto alla forza peso: la risultante di tutte le forze peso agenti su ciascun elemento del corpo e` Il centro delle forze peso e` detto centro di gravita` e coincide con il CM La forza risultante (il peso) e` applicata a tale punto

CM e peso Rispetto ad un polo fisso, il momento risultante e` ovvero e` uguale al momento della risultante rispetto allo stesso polo

Sistema di forze qualsiasi Un sistema di forze non parallele, applicate in punti diversi, non puo` essere rappresentato, in generale, dalla sola risultante delle forze F C’e` bisogno di introdurre anche il vettore risultante dei momenti di forza t Detto in altro modo i vettori F e t sono indipendenti fra loro

Sistema di forze qualsiasi Vale il seguente risultato, che non dimostreremo Scelto un polo, un sistema di forze (applicate in punti diversi) e` equivalente ad una forza (uguale alla risultante delle forze) la cui retta d’azione passi per il polo e ad una coppia di momento uguale al risultante dei momenti rispetto al polo