Gerberto e il de Mensura Fistularum Costantino Sigismondi sigismondi@icra.it 16 maggio 2006 Giornata Gerbertiana Istituto Nazareth

Musica e Quadrivio La musica sta all’aritmetica come l’astronomia sta alla geometria

Teoria musicale nei secoli Tradizione pitagorica ripresa nel periodo ellenistico: su incarico di Aristotele (384-322 a. C.) Aristosseno scrisse la storia della musica andata perduta Cicerone (100-43 a.C.) tratta alcuni argomenti nel Somnium Scipionis, ripresi da Posidonio (135-51 a.C.). Macrobio lo commenta nel IV sec. d. C. Calcidio enciclopedista del IV sec. d. C. nel commento al Timeo ne tramanda i temi al medioevo Boezio (480-525 d. C.) lascia il De Institutione Musica

L’organo idraulico Inventato ad Alessandria da Ctesibio (II sec. a. C.) Trovato un esemplare in uno scavo in Ungheria Il peso dell’acqua serviva a mantenere in pressione l’aria che poi fluiva attraverso le canne

La scala Pitagorica Sul monocordo Armonica fondamentale lunga L (es. do, ut) Quinta 2/3 L (es. do – sol) Quarta 3/4 L (es. do – fa) Tono (da fa a sol) 8/9 L Semitono (diatonico es. mi - fa) 243/256 L fattore per passare da 64/81=(8/9)² (do – re e re- mi, una terza maggiore) a 3/4 (do – fa)

Suoni Armonici Sul monocordo sono tutti i sottomultipli secondo numeri interi della corda vibrante Nel flauto si ottengono soffiando con forza crescente, in modo che nel tubo si instaurino 1, 2 e 3… oscillazioni complete a frequenze 1, doppia, tripla… della fondamentale

Scala di Calcidio La x 256/243 1.1852 384 Si b x 9/8 1.125 364 ½ 1.1852 384 Si b x 9/8 1.125 364 ½ Do x 1 324 Re x 8/9 0.8888 288 Mi x 8/9 0.7901 256 Fa x 243/256 0.75 243 Sol x 8/9 0.6666 216 La x 8/9 0.5926 192 Si b x 243/256 0.5625 Do x 8/9 0.5

Tabella di Michel Huglo sulla derivazione dei numeri musicali di Calcidio e Boezio dalle serie di 2^n e 3^n

Scala di Gerberto (minore naturale) La x 9/8 1.1852 384 Si x 256/243 1.0535 341 1/3 Do x 1 324 Re x 8/9 0.8888 288 Mi x 8/9 0.7901 256 Fa x 243/256 0.75 243 Sol x 8/9 0.6666 216 La x 8/9 0.5926 192 Si x 8/9 0.5267 Do x 243/256 0.5

Equazione dell’Arpa a corde di uguale densità lineare e uguale tensione

Correzione di Bocca End Correction per le canne d’organo In una canna cilindrica di diametro d e lunga L risuona in modo stazionario un’onda sonora di lunghezza λ=L+0.6·d Se la canna ha una apertura a tromba λ=L+0.85·d

Dalle corde pitagoriche alle canne d’organo Per canne con lo stesso diametro si applica la correzione di bocca che è indipendente dalla frequenza del suono (nota suonata) Queste correzioni sono necessarie per mantenere l’intonazione Se la canna di 384 unità suona il La1, λLa1 =384+0.6·d Per L=192 unità non suona il La2, ma una nota leggermente più bassa, poiché λLa2= λLa1/2= 384/2 - 0.3·d + 0.6·d Lunghezza effettiva della canna per il La2 0.6·d/2

Diametro 27.85 e stessa intonazione del Monocordo col La1 = 384 Le canne sono in colore rosso, sempre più corte delle corde

Rapporti tra le ottave (per il monocordo sempre=2) La1/La2 2.095326 Si1/Si2 2.108759 Do1/Do2 2.115011 Re2/Re3 2.13129 Mi2/Mi3 2.150153 Fa2/Fa3 2.159462 Sol2/Sol3 2.183065 La2/La3 2.210742 Si2/Si3 2.243531 Do2/Do3 2.259916

Da un’ottava all’altra il rapporto aumenta in media del ~ 6.25% Gerberto considera il passaggio da un fattore 13 + ½ ad uno di 14 + 1/3 +3/288 dall’ottava inferiore alla superiore, entrambi fissati per tutte le note Ciò corrisponde ad un aumento fisso del 6.25%.

L’accordo tra il moltiplicatore di Gerberto e la correzione di bocca moderna si trova con canne La1 di rapporto Ø/L = 1:13.79

La nomenclatura musicale usata è di poco posteriore a Gerberto È di Guido d’Arezzo (1032), dall’inno a San Giovanni Soprano: Erminia Santi

Bibliografia Gerbertus de Mensura Fistularum, Madrid Biblioteca Nacional, ms 9088 K. J. Sachs, Mensura Fistularum, Stuttgart-Murrhardt, 1970-1980 C. Meyer, Gerbertus Musicus, in Gerbert l’Européen, Actes du Colloque d’Aurillac Mem. Soc. La Haute-Auvergne 3 (1997) pp. 183-192

R. A. Serway, Physics for Scientists and Engineers, Saunders College Pub. Philadelphia,1992 p. 489-490 L. E. Kinsler et al., Fundamental of Acoustics, John Wiley & Sons, NY, 2000 p. 274 D. E. Hall, Musical Acoustics, Brooks Cole, CA USA, 2002, p. 234 F. G. Nuvolone, Gerberto Musico, Archivum Bobiense Studia V (2005) In italiano: A. Frova, La Fisica della Musica, Zanichelli BO (1999)