Il Fiocco di neve di Koch

Helge Von Koch Helge von Koch (Stoccolma, 25 gennaio 1870 – 11 marzo 1924) è stato un matematico svedese, che ha dato il nome al famoso frattale noto come curva di Koch. Figlio di Richert Vogt von Koch, militare di carriera, e Agathe Henriette Wrede, frequenta una buona scuola superiore e finisce i suoi studi nel 1887, quindi si iscrive all'Università di Stoccolma.

Il fiocco di neve di Koch è una particolare curva frattale costruita dal matematico Koch a partire dal merletto di Koch. Si tratta di una curva costruita sui lati di un triangolo equilatero. Su ciascuno dei lati del triangolo viene costruito il merletto di Koch.

Generazione della curva di Koch -Partendo da un segmento di determinata lunghezza: dividere il segmento in tre segmenti uguali; -Cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero; -Tornare al punto 1 per ognuno degli attuali segmenti. costruzione della curva di Koch: prima iterazione

Per ottenere il frattale basta incollare tre copie della curva lungo i lati del triangolo. La curva ha la stessa dimensione frattale del Merletto di Koch ovvero è pari a: D = log 4 / log 3 = 1,262 .

E' importante notare che il fiocco di neve di Koch non può essere ottenuto applicando un certo numero di trasformazioni geometriche. Basta infatti osservare che il frattale non è autosimile, ovvero non è divisibile in un numero di parti simili all'intera figura. Per ottenere la curva non si può quindi ricorrere alla tecnica degli IFS ma bisogna utilizzare un'altra tecnica, quella degli L-system. Per ottenere il Fiocco di Neve di Koch come frattale LS si utilizzano le seguenti leggi: Seme iniziale F - - F - - F Fattore di omotetia 3 Angolo 60° Legge di sostituzione F -> F + F - - F + F Il risultato finale è una curva chiusa costruita su un triangolo equilatero. Si può notare che il frattale contiene una stella a sei punte. La costruzione risulta del tutto analoga al pentagono frattale.

L'unica differenza è che il frattale finale è ruotato di 60°. Altro modo Esiste un altro modo per costruire il Fiocco di Neve. La costruzione vista sopra può essere definita come una costruzione per addizione, in quanto alla figura di partenza, il triangolo, si aggiungono altri elementi. Esiste una costruzione per sottrazione che invece alla figura di partenza (un esagono regolare) toglie degli elementi. L'unica differenza è che il frattale finale è ruotato di 60°.

Vediamo questa seconda costruzione Vediamo questa seconda costruzione. Stavolta il merletto di Koch viene costruito sui lati dell'esagono ….

………. Ecco la seconda costruzione

Per ottenere il Fiocco di Neve di Koch come frattale LS secondo la costruzione vista sopra, si utilizzano le seguenti leggi. Rispetto al caso precedente, cambia unicamente il seme iniziale. Seme iniziale F + F + F + F + F + F Fattore d’omotetia 3 Angolo 60° Legge di sostituzione F -> F + F - - F + F

Curva di Koch La generazione della curva di Koch avviene grazie all'esecuzione ripetuta di un programma d’istruzioni o procedura ricorsiva: è una procedura perché precisamente definita da un numero finito di passi, è ricorsiva perché viene ripetuta meccanicamente. L'algoritmo della curva di Koch è molto semplice, consiste in un ripetizione del ciclo seguente.

Partendo da un segmento, se ne ottengono quindi quattro (costituenti una linea spezzata) nel primo ciclo, 4x4=16 nel secondo ciclo e così via, generando al limite un elegantissimo frattale. Ingrandendo un qualunque dettaglio del frattale si ottiene ancora lo stesso frattale: in questo consiste l'autosomiglianza dei frattali a qualunque livello di scala

Proprietà curva di Koch -è continua in quanto limite uniforme di funzioni continue, cioè è una curva nel senso matematico del termine; -ha lunghezza infinita: infatti ogni tappa della sua costruzione aumenta la lunghezza totale nel rapporto di 4/3 e la lunghezza della curva limite è evidentemente superiore a tutte le lunghezze delle curve costruite ad ogni passo; -è autosimile: contiene una sua parte che è una trasformazione omotetica della curva intera. -non è derivabile in nessun punto, infatti una curva derivabile in un punto x0 vista su scale sempre più piccole intorno a x0 tende ad essere vicina ad una retta passante per quel punto, la curva di Koch invece vista su qualsiasi scala è identica a sé stessa.

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