MAT/05 Analisi Matematica TEORIA DEL CONTROLLO Anno Accademico 2010/2011 Secondo Semestre MAT/05 Analisi Matematica Fabio Bagagiolo

Cos’è un Problema di Controllo Un problema di controllo, in generale, consiste in una relazione “input-output” che ad ogni ingresso (input) fornisce un’unica uscita (output). Gli ingressi ammissibili sono detti “controlli” e la loro scelta è a disposizione di un “controllore esterno” che, esercitando tale scelta, cerca di ottenere una risposta desiderata. Problemi di questo tipo sorgono in modo naturale nelle scienze applicate, dall’ingegneria alla finanza, dalla biologia all’economia. Tipicamente i sistemi di cui ci si occupa sono “evolutivi”, cioè il loro stato dipende dal tempo. Quindi anche i controlli dipendono dal tempo e possono essere pensati come “strategie” a disposizione del controllore per guidare in maniera opportuna l’evoluzione del sistema. Principalmente ci occuperemo di sistemi la cui evoluzione è descritta da un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Il controllo consiste allora nella scelta di eventuali parametri che entrano nelle equazioni.

Un esempio: Atterraggio Soffice sulla Luna Supponiamo di essere ai comandi di una navicella spaziale che deve atterrare sulla luna. L’atterraggio deve essere soffice (“soft” in inglese), cioè dobbiamo arrivare al suolo lunare con velocità nulla, altrimenti ci schiantiamo al suolo. Supponiamo di avere a disposizione (il controllo) la forza propulsiva della navicella verso l’alto.

Modello analitico h altezza dal suolo lunare v velocità scalare verticale m massa della navicella g modulo accelerazione gravità lunare a forza propulsiva rivolta verso l’alto (a nostra disposizione). Lo stato del sistema (h,v) è descritto dalle equazioni h’(t) = v(t), v’(t)=-g+a(t)/m

Scopo Partendo da un dato iniziale (h(0),v(0)), lo scopo è quello di determinare una strategia propulsiva a(t) (il controllo) in modo tale che, ad un certo istante T, si abbia (h(T),v(T))=(0,0), ovvero che l’atterraggio soffice sia avvenuto.

Domande (controllabilità) Esistono controlli a che mi permettono di atterrare in modo soffice? (controllo ottimo) Esiste un controllo che mi fa atterrare in modo soffice nel minor tempo possibile? Oppure consumando minor carburante possibile? (il consumo di carburante può essere proporzionale alla forza esercitata, e quindi ci vuole una terza equazione nel sistema). (controllo feedback) E’ possibile fare in modo che la navicella si controlli automaticamente? Questo significherebbe determinare un controllo a(t,h,v) che ad ogni istante “legge” lo stato (h,v) e si corregge opportunamente per raggiungere lo scopo.

Scopo del corso Il nostro scopo principale sarà quello di studiare da un punto di vista analitico (matematico) problemi di controllo e di fornire risultati alquanto generali da poter essere applicati poi a svariati casi concreti.

Prerequisiti E’ consigliato avere seguito il corso Equazioni Differenziali Ordinarie. Il corso Analisi Matematica VI può essere d’aiuto, ma non è indispensabile. Ad ogni modo molti concetti necessari saranno introdotti durante il corso stesso.

Sito web Ulteriori informazioni si possono trovare alla pagina http://www.science.unitn.it/~bagagiol/infocorsocontrollo.html

Post Scriptum Le lezioni si svolgeranno in modo tradizionale: gesso bianco e lavagna nera.