Campi magnetici nella materia 30 ottobre 2012 Campo B nella materia Correnti di magnetizzazione, modello di Ampère Momenti angolari e magnetici dell’elettrone Teorema di Larmor Momento magnetico atomico indotto e permanente Diamagnetismo, paramagnetismo, ferromagnetismo Intensità di magnetizzazione M, campo H Eqq. di Maxwell nella materia Campi sulla superficie di separazione tra due materiali Campi B e H in un magnete permanente e in un elettromagnete

Campo B nella materia Consideriamo un circuito percorso da corrente nel vuoto, che generi un campo induzione magnetica B0(r) Il circuito venga poi “immerso” in una sostanza, che supporremo per semplicità omogenea e isotropa, il campo induzione magnetica generato sia ora B(r) Il rapporto è una grandezza adimensionale detta permeabilità magnetica relativa (al vuoto) della sostanza considerata Se la sostanza è omogenea mr è uno scalare uniforme nello spazio, altrimenti dipende dalla posizione spaziale mr(r) Se la sostanza non è isotropa mr non è uno scalare ma un tensore

Permeabilità magnetica Si introduce anche la grandezza detta permeabilità magnetica della sostanza considerata, avente le stesse dimensioni fisiche della permeabilità del vuoto m0

Campo B nella materia A parità di circuiti elettrici e correnti che li percorrono, la presenza di un mezzo altera il valore del campo da essi generato Se il mezzo è omogeneo, isotropo e riempie tutto lo spazio, tale variazione è assai semplice Il campo B si può infatti calcolare per mezzo della prima formula di Laplace, sostituendo m0 con m Inoltre la forza che tale campo esercita su un circuito immerso in esso si trova introducendo tale campo nella seconda formula di Laplace

Magnetizzazione La presenza del mezzo provoca una variazione del modulo di B pari a Ove si è introdotta la suscettibilità magnetica c In un mezzo è come se oltre alle correnti presenti nei circuiti che generano il campo B0 ci fosse una corrente aggiuntiva che genera un campo Bmag = cB0 : Questa corrente non è fittizia, ma dovuta alla comparsa nel mezzo di correnti di origine atomica, generate a loro volta dalle correnti che producono il campo B0 Tali correnti si chiamano correnti di magnetizzazione Nonostante la grande complessità della struttura della materia, è possibile sviluppare il magnetismo nella materia in modo coerente e semplice

Magnetizzazione, modello di Ampère La magnetizzazione della materia è dovuta a correnti microscopiche all’interno della materia stessa Queste correnti sono dovute al moto orbitale degli elettroni all’interno dell’atomo e al loro spin Il modello suppone che questi moti siano equivalenti a microscopiche spire percorse da corrente (vedi il teorema di equivalenza di Ampère)

Momento magnetico orbitale dell’elettrone Per semplicità usiamo un modello classico per rappresentare il moto di un elettrone in un atomo L’elettrone percorrerà un’orbita circolare di raggio R e area A in un tempo T, moto che produce una corrente e un momento magnetico orbitale Tale momento è dell’ordine di grandezza di un magnetone di Bohr

Momento magnetico orbitale dell’elettrone Introducendo il momento angolare orbitale l il momento magnetico è morb risulta opposto in verso a l, a causa della carica negativa dell’elettrone Tale calcolo non è quantisticamente corretto, ma il risultato è corretto

Momento magnetico intrinseco dell’elettrone Oltre al momento angolare orbitale l, l’elettrone possiede un MA intrinseco s (o spin) indipendente dal moto orbitale Tale momento non è descrivibile classicamente, ma solo quantisticamente Per visualizzare il fenomeno si immagina l’elettrone come una sfera che ruota su se stessa Essendo l’elettrone carico in tal modo si “giustifica” la comparsa del momento magnetico intrinseco

Momento magnetico Siccome ogni mezzo materiale è costituito di atomi (o molecole), per trovare il momento magnetico totale di una quantità macroscopica di materia, dobbiamo sommare (vettorialmente) tutti i momenti atomici Il momento atomico è, a sua volta, la somma (vettoriale) di tutti i momenti magnetici orbitali e intrinseci dei suoi elettroni (bisogna usare la meccanica quantistica) Basterà dire che alcuni di questi momenti si elidono tra loro a coppie, per cui in atomi con un numero pari di elettroni il momento risultante potrà, in generale, annullarsi, mentre per un numero dispari di elettroni il momento magnetico atomico sarà diverso da zero

Momento magnetico a) assenza di campo induzione magnetica esterno: Nel caso in cui i momenti atomici siano nulli, sarà nullo anche il momento totale Nel caso in cui i momenti atomici non siano nulli il momento totale è generalmente ancora nullo in quanto i momenti elementari sono orientati a caso e in media la loro somma è zero

Momento magnetico b) presenza di campo induzione magnetica esterno Indichiamo con B* la somma del campo induzione magnetica B0 dovuto ai circuiti elettrici percorsi da corrente e del campo dovuto alle molecole del mezzo, con l’esclusione di quello della molecola stessa: B* è quindi il campo in cui la molecola che stiamo indagando è immersa L’azione di B* produce un momento magnetico dovuto al primo o a entrambi dei seguenti fenomeni: 1) comparsa di un momento magnetico indotto, dovuto alla precessione di Larmor, che riguarda tutte le molecole 2) orientazione delle molecole che posseggono un momento magnetico permanente, nella direzione del campo esterno

1) Teorema di Larmor Non lo dimostreremo rigorosamente (bisognerebbe usare la meccanica quantistica) Se si immerge il materiale in un campo induzione magnetica, la velocità angolare orbitale degli elettroni (w0 in assenza di campo) cambia per una quantità (precessione di Larmor)

Dimostrazione classica Consideriamo un modello classico molto semplice: un elettrone che percorre un’orbita circolare nel campo coulombiano del nucleo in assenza di campo magnetico L’eq. del moto e` Da cui si ricava la velocita` angolare Il segno indica i due possibili versi di rivoluzione Se ora accendiamo il campo, dobbiamo aggiungere la forza di Lorentz e l’eq. del moto diventa

Dimostrazione classica Affinche’ l’eq. sia soddisfatta occorre che la velocita` angolare soddisfi l’equazione di 2o grado ove si e` definita la frequenza di Larmor L’eq. ha le soluzioni B r v FL w0 wL B r v FL w0 wL

Dimostrazione classica B r v FL w0 wL La soluzione corrisponde ad un aumento del modulo della velocita` angolare La soluzione corrisponde ad una diminuzione del modulo della velocita` angolare In entrambi i casi compare una velocita` angolare aggiuntiva, equiversa al campo B r v FL w0 wL

1) Momento indotto Per un elettrone immerso in un campo B, la precessione di Larmor è associabile ad una corrente elettronica aggiuntiva (positiva o negativa) rispetto a quella dovuta al moto in assenza di campo ed a un momento magnetico, il cui modulo e` e il cui verso e` opposto a e quindi e` sempre opposto al campo

1) Diamagnetismo Queste correnti elettroniche orbitali aggiuntive, sono dette correnti di magnetizzazione o amperiane N.B. Le correnti elettroniche non comportano alcun effetto Joule Queste correnti sono distribuite nel volume e sulla supeficie del materiale Questo fenomeno è detto diamagnetismo ed è comune a tutti i materiali Non dipende da T È evidente nelle sostanze prive di momenti magnetici atomici permanenti

1) Momento indotto Una quantità macroscopica di materiale contiene un gran numero N di molecole orientate diversamente Possiamo allora definire il momento magnetico indotto totale del materiale e medio delle molecole come

1) Campo magnetico totale I momenti indotti generano un campo induzione magnetica che va a diminuire il campo esterno B0, poiché essi sono sempre opposti a quest’ultimo Questo fatto si puo` esprimere dicendo che la suscettivita` magnetica di una sostanza diamagnetica e` negativa (ovvero mr <1) E quindi il campo risultante e` minore del campo in assenza di materia

2) Momento permanente Per molecole dotate di momento magnetico permanente, avviene il fenomeno di orientamento del momento lungo la direzione del campo esterno (magnetizzazione per orientamento) All’azione orientatrice del campo si oppone l’agitazione termica che tende a disorientare le molecole in tutte le direzioni All’equilibrio termico, le molecole disposte nel verso del campo sono un po’ più numerose delle altre Questo fenomeno è detto paramagnetismo

2) Momento permanente Una quantità macroscopica di materiale contiene un gran numero N di molecole orientate diversamente Possiamo allora definire il momento magnetico permanente totale del materiale e medio delle molecole come

2) Campo magnetico totale In questo caso il campo induzione magnetica generato dal materiale va ad aumentare il campo esterno B0 Questo si puo` esprimere dicendo che la suscettivita` magnetica di una sostanza paramagnetica e` positiva (ovvero mr >1) E quindi il campo risultante e` maggiore del campo in assenza di materia

2) Paramagnetismo Il paramagnetismo è dovuto ai dipoli magnetici atomici, prodotti dalle correnti elettroniche orbitali e di spin (correnti amperiane) Anche nelle sostanze paramagnetiche è presente il diamagnetismo Però è più che compensato dal paramagnetismo dovuto ai momenti magnetici atomici permanenti

2) Confronto fra energia magnetica e termica L’analisi statistica dell’orientamento dei momenti molecolari si basa sul confronto tra la differenza di energia tra i due stati estremi in cui i dipoli possono trovarsi e l’energia termica media A temperatura ambiente l’energia magnetica è piccola rispetto all’energia termica e per conseguenza il numero di dipoli orientati nel verso del campo sarà solo di poco superiore a quello di dipoli orientati in verso opposto Quindi la variazione di campo induzione magnetica dovuta al paramagnetismo è generalmente piccola Per aumentarla è necessario andare a basse temperature

2) Confronto fra energia magnetica e termica Energia magnetica del dipolo è dell’ordine di Il valore tipico del momento di dipolo magnetico è In un campo intenso (1 T) otteniamo

2) Confronto fra energia magnetica e termica Energia termica di un atomo è dell’ordine di A temperatura ambiente (300 K) otteniamo Cioè più di due ordini di grandezza maggiore dell’energia magnetica Forti magnetizzazioni sono possibili solo a basse temperature

Magnetizzazione M Detto M il momento magnetico totale Definiamo (l’intensità di) magnetizzazione M come il momento magnetico per unità di volume Se il momento magnetico del materiale non è uniforme, bisogna usare la definizione differenziale Dimensioni Unità

Magnetizzazione in funzione 2) Paramagnetismo In campi deboli M è proporzionale al campo e inversamente proporzionale a T (legge di Curie) In campi molto forti M tende al valore di saturazione Ms (indipendente dal campo) Magnetizzazione in funzione del campo B0 esterno M B0 Ms

Diamagnetismo Paramagnetismo

Ferromagnetismo È presente in un numero limitato di elementi (o loro leghe): ferro, cobalto, nichel, gadolinio, disprosio È dovuto all’allineamento dei momenti magnetici atomici Un debole campo B0 esterno è capace di produrre un altro grado di allineamento dei momenti magnetici atomici Il campo B indotto può essere migliaia di volte più forte di quello esterno Questo allineamento può persistere anche dopo che è stato soppresso il campo esterno: magnetizzazione residua

Ferromagnetismo Il materiale è costituito da un insieme di domini (domini di Weiss) al cui interno i dipoli si allineano parallelamente fra loro lungo una direzione preferenziale La direzione dei domini varia invece da dominio a dominio Sotto l’influenza del campo esterno alcuni dipoli al confine tra domini cambiano orientazione, aumentando l’estensione dei domini allineati al campo a spese di quelli non allineati Esiste una temperatura critica al di sopra della quale l’agitazione termica è abbastanza grande da sopprimere questo allineamento: temperatura di Curie (per il ferro vale 1043 K) Le sostanze diventano allora paramagnetiche

Ferromagnetismo M B0 A Ms O Prendiamo ferro ricotto, con M=0 e aumentiamo il campo B esterno partendo da 0 (punto O) L’appiattimento della curva vicino ad A indica che M tende ad un valore di saturazione Ms

Ferromagnetismo Se ora diminuiamo B0 e lo portiamo a 0, M non ritorna a 0 La variazione dei domini di Weiss non è completamente reversibile Il valore di M quando B0 è 0 è detto magnetizzazione residua Mr ed è il principio fisico del magnete permanente Se si diminuisce ancora B0 (valori negativi), M diminuisce e si annulla nel punto C per un valore del campo Bc detto campo di coercizione C M B0 A Ms O Bc Mr

Ferromagnetismo Diminuendo B0 ulteriormente si arriva alla saturazione nel verso opposto (punto D) Se ora aumentiamo il campo, M non seguirà la curva già percorsa ACD, ma ne percorrerà un’altra DC’A formando complessivamente un ciclo chiuso, il ciclo di isteresi M dipende quindi dalla storia precedente della sostanza: non è legata a B0 da una relazione semplice C D M B0 A -Ms O C’

Ferromagnetismo L’area racchiusa dal ciclo di isteresi è proporzionale all’energia dissipata nella trasformazione irreversibile magnetizzazione/smagnetizzazione Materiali dolci l’area del ciclo (e la perdita di energia) è piccola, M residua è piccola Questi materiali sono usati per i nuclei dei trasformatori per evitare di avere grandi perdite di energia quando B varia alternativamente Materiali duri la perdita del ciclo è grande, M residua è grande Questi materiali sono usati per costruire magneti permanenti

Relazione tra M e correnti amperiane B0 m Consideriamo un caso semplice: supponiamo che la sostanza in esame abbia forma di cilindro, inserito in un solenoide percorso da corrente La sostanza si magnetizza con i momenti magnetici microscopici allineati col campo B0 Se la magetizzazioine è omogenea, i momenti atomici e quindi le correnti amperiane sono ovunque uguali Correnti contigue si elidono a vicenda: all’interno del cilindro l’intensità totale di corrente è zero Sulla superficie questa elisione non avviene: ne risulta una corrente macroscopica sulla superficie della sostanza (corrente di magnetizzazione o amperiana)

Relazione tra M e correnti amperiane Una fetta del cilindro, con sezione perpendicolare all’asse, può essere assimilata ad una spira di area A, altezza dz e corrente di il cui momento magnetico è La magnetizzazione è il momento magnetico per unità di volume e risulta uguale all’intensità di corrente amperiana per unità di lunghezza dimag dz A

Relazione tra M e correnti amperiane All’esterno del cilindro M è nulla, in quanto, ovviamente, non c’è materia che possa magnetizzarsi Inoltre M è diretta lungo l’asse, in quanto deriva da vettori m tutti orientati allo stesso modo

Circuitazione di M M A B C D Calcoliamo la circuitazione di M lungo il rettangolo ABCD I tratti AB, BC, CD danno contributo nullo poiché M è parallelo all’asse ed è nullo fuori dal cilindro Ne segue La circuitazione di M è dunque uguale alle correnti di magnetizzazione del materiale Si puo` dimostrare che questo e` un risultato generale

Circuitazione di M La relazione tra M e le correnti di magnetizzazione ci permette di estendere la legge di Ampère in presenza di materia A tal fine riscriviamo tale legge inserendo oltre alle correnti circolanti nei conduttori elettrici, che generano il campo B0, anche le correnti di magnetizzazione che generano il campo Bmag : in totale otterremo il campo B ovvero:

Circuitazione di M Data l’arbitrarieta` della linea di circuitazione ne segue E poiche’ Abbiamo e anche Dall’eq. delle circuitazioni si deduce la forma differenziale:

Campo H Dall’equazione: dividendo entrambi i membri per m0 e sostituendo la relazione tra M e Jmag : Otteniamo Introducendo il vettore campo magnetico si ottiene l’eq. Cioè il rotore di H dipende solo dalle correnti di conduzione e non da quelle di magnetizzazione

Campo B nella materia Nelle sostanze paramagnetiche e ferromagnetiche M ha lo stesso verso di B0 In quelle diamagnetiche ha verso opposto Nelle sostanze para- e dia- M è proporzionale a B0 (se questo è abbastanza piccolo) Dove c è la suscettività magnetica

Campo B nella materia Diamagnetismo: mr < 1 c è una piccola costante negativa indipendente dalla temperatura Paramagnetismo: mr > 1 c è una piccola costante positiva che dipende dalla temperatura Ferromagnetismo: mr >> 1 c è una funzione di B0 che dipende dalla temperatura e dallo stato precedente di magnetizzazione. Assume valori molto elevati (103-104) Formalmente si può scrivere anche in questo caso

Campo B nella materia Il campo B all’interno della materia risulta proporzionale al campo nel vuoto tramite la permeabilità magnetica relativa L’equazione è simile a quella per il campo E nella materia

Relazioni tra B, M e H Eliminando M dalle relazioni otteniamo

Campi nella materia Come nel caso elettrico è stato introdotto il campo ausiliario spostamento elettrico D così nel caso magnetico abbiamo introdotto il campo ausiliario magnetico H Questi campi non servono nel vuoto, ma sono utili nello studio delle proprietà e.m. della materia

Eqq. di Maxwell nella materia Le equazioni di Maxwell si riscrivono così Ove per carica deve intendersi solo quella libera sui conduttori e non quella di polarizzazione e per corrente deve intendersi solo quella circolante nei circuiti elettrici e non quella di magnetizzazione

Superfici di separazione Come nel caso elettrico, dalle equazioni possiamo dedurre che nel passaggio da un mezzo all’altro la componente normale di B e tangenziale di H si conservano Esprimendo la seconda eq. in termini di B

Rifrazione delle linee di campo Detti 1 e 2 gli angoli che i vettori B1, B2 formano con la normale n, abbiamo Facendone il rapporto La direzione delle linee di campo, passando da un materiale all’altro, subisce una variazione discontinua Questo fenomeno prende il nome di rifrazione delle linee di campo 1 2 B2 B1 n 1 2

Rifrazione delle linee di campo Se il mezzo 1 è ferromagnetico mentre il mezzo 2 è aria, il rapporto è dell’ordine delle migliaia. Ne segue che Ovvero tg1 è molto grande e quindi 1 è prossimo a /2, anche se2 è piccolo Ciò significa che le linee del campo B internamente al ferromagnete corrono quasi parallele alla superficie, vengono cioe` praticamente ‘catturate’ nel materiale Questo fenomeno e` molto importante perche’ permette di concentrare le linee di B e quindi di aumentarne il flusso 2 1 B1 B2

Campo magnetico di un magnete permanente Consideriamo un anello magnetizzato con lunghezza l1 di aria e l2 di ferro Applichiamo la proprietà del campo H: ove C è la curva tratteggiata Per l’uniformità del campo in ciascun mezzo, avremo

Campo magnetico di un magnete permanente Ne segue che H1 e H2 hanno segno opposto cioè il campo magnetico subisce una discontinuità passando da un mezzo all’altro L’induzione magnetica B assume invece lo stesso valore nei due mezzi Ricordando che possiamo riscrivere l’eq. precedente

Campo magnetico di un magnete permanente Supposto che la curva di magnetizzazione della calamita sia la seguente H2 B L’eq. precedente rappresenta una retta di coefficiente angolare

Campo magnetico di un magnete permanente L’intersezione tra la retta e la curva ci fornisce sia il valore di B nel circuito magnetico, che il valore H2 nel ferro H2 B E il campo H in aria è dato da

Campo magnetico di un elettromagnete Consideriamo un elettromagnete ad anello con lunghezza l1 di aria e l2 di ferro Applichiamo la proprietà del campo H: ove C è la curva tratteggiata Per l’uniformità del campo in ciascun mezzo, avremo

Campo magnetico di un elettromagnete Esprimendo il campo H in termini di B: Ove si è tenuto conto che l’induzione magnetica B assume lo stesso valore nei due mezzi Poiché per il ferro  è molto più grande che per l’aria, si può scrivere ovvero