La matematica e l’economia

Sommario Costo totale, medio,marginale Curva della domanda Elasticità della domanda Sommario Curva dell’offerta Configurazioni economiche di mercato Equilibrio di mercato Chiudi

Costo Totale Il costo totale C(x) è la somma dei costi fissi e dei costi variabili che si sostengono per la produzione di una quantità x di un prodotto. E’ una funzione sempre crescente.Cioè al crescere della quantità prodotta cresce anche il costo totale. Noi tra tutte le possibili funzioni di costo totale ne prenderemo in considerazione solo due : C(x)= ax +b dove i costi variabili sono direttamente proporzionali alla quantità prodotta e che vengono rappresentati da una retta .(C(x)= ax2 + bx +c dove i costi variabili sono in parte più che proporzionali alla quantità prodotta ed in parte proporzionali alla quantità prodotta. La rappresentazione grafica è una parabola con l’ascissa del vertice negativa in quanto i parametri a,b sono positivi. Continua Sommario

Costo Medio Dato il costo totale C(x) il costo medio si ottiene con il rapporto E’ il valore che dovrebbe avere ciascuna unità affinché il costo totale sia costante. Prendiamo ora in considerazione le due ipotesi : C(x)=ax+b Il costo medio è un’iperbole equilatera, è sempre decrescente, non ha minimo. L’unico limite viene dalla capacità produttiva. 2. C(x)=ax2+bx+c Il costo medio è un’iperbole non equilatera, è prima decrescente poi crescente ,ha un minimo. Continua Sommario

È la derivata prima del costo totale Costo marginale Il costo marginale è sicuramente stato definito come il costo che si sostiene per produrre una unità aggiuntiva di prodotto e per calcolarlo supposto che C(x) sia la funzione costo totale si opera in questo modo : C(x0+1)-C(x0) (x0+1)-x0 Supponiamo che invece di produrre una unità in più volessimo vedere la tendenza del costo totale per produrre qualcosa ( h ) in più, il costo sarebbe : C(x0+h) – C(x0) C(x0+h) – C(x0) (x0+h) - x0 h Che è il rapporto incrementale del costo totale.Si sa che il C(x0+h) – C(x0) È la derivata prima del costo totale Lim Continua h h ->0 Sommario

Esempio Esempio Sommario Possiamo quindi distinguere tra costo marginale unitario e costo marginale vero e proprio. Li calcoliamo ambedue per le due ipotesi di costo totale che abbiamo preso in considerazione: C(x)= ax +b 2. C(x)=ax2+bx+c Costo marginale unitario: a(x+1)+b-(ax+b)=a Costo marginale : C’(x)=a In questo caso i due costi coincidono. Esempio Costo marginale unitario: a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b Costo marginale : C’(x)=2ax+b In questo caso i due costi non coincidono. Esempio Sommario

Curva della domanda La domanda di un determinato bene è una funzione decrescente del prezzo. Q=f(p) Si sa infatti dall’economia che, al crescere del prezzo, la quantità domandata di un determinato bene diminuisce. I tipi di relazione che legano la quantità domandata al prezzo possono essere le più svariate. Noi prenderemo in considerazione solo queste due : Q=a+bp con a>0 e b<0 relazione lineare(Retta con il coefficiente angolare negativo) Q=a/p con a>0 iperbole equilatera. Continua Sommario

Determinazione della funzione di domanda Per determinare la funzione di domanda di un determinato bene per prima cosa dobbiamo attraverso una ricerca di mercato rilevare nell’ambito in cui ci interessa(clientela,città, regione,nazione,mondo intero) le quantità vendute ed i prezzi a cui sono state vendute. Successivamente si cerca una funzione interpolante col metodo di minimi quadrati. Di solito per comodità e per facilità si adopera la retta. FUNZIONE DI DOMANDA Sommario

Elasticità della domanda Spesso si ha l’esigenza di conoscere come reagisce la domanda alla variazione del prezzo. C’è inoltre l’esigenza di confrontare tale reazione tra beni diversi. A queste esigenze si risponde calcolando l’elasticità della domanda. Si definisce l’elasticità della domanda come il rapporto cambiato di segno tra la variazione relativa della domanda e la variazione relativa del prezzo. Dobbiamo prendere in considerazione la variazione relativa, perché la variazione assoluta non sarebbe confrontabile con le variazioni di altri beni. Continua Commenti Sommario

A seconda del valore del coefficiente di elasticità la domanda può essere: Elastica quando il coefficiente di elasticità è >1 In questo caso ad un piccolo aumento del prezzo si ha una caduta della domanda. Questo tipo di domanda è caratteristico dei beni voluttuari. Si può dimostrare che la spesa complessiva diminuisce al crescere del prezzo. Rigida quando il coefficiente di elasticità è <1 In questo caso ad un aumento del prezzo la domanda resta praticamente costante. Questo tipo di domanda è caratteristico dei beni di prima necessità e dei beni di lusso. Si può dimostrare che la spesa complessiva diminuisce al crescere del prezzo. Anelastica quando il coefficiente di elasticità è =1 E’ una situazione limite. Cioè quando la domanda ed il prezzo sono tra loro inversamente proporzionali. Si può dimostrare che la spesa complessiva è indipendente dal prezzo. Sommario

Determinazione della funzione di domanda Funzione di offerta Determinazione della funzione di domanda La quantità di un determinato bene offerta sul mercato è una funzione crescente del prezzo. Al crescere del prezzo cioè cresce anche la quantità offerta. Per determinare fa funzione di offerta dobbiamo attraverso una ricerca di mercato rilevare nell’ambito in cui ci interessa (clientela, città, regione,nazione,mondo intero) le quantità offerte ed i relativi prezzi. Successivamente si cerca una funzione interpolante col metodo di minimi quadrati. Di solito per comodità e per facilità si adopera la retta. Sommario

Ad esempio: data la funzione di domanda Dove il prezzo è costante Configurazioni economiche di mercato Dobbiamo osservare che in regime di monopolio il ricavo è funzione della quantità venduta e del prezzo di vendita cioè R(p,q)=pq Dove il prezzo p e la quantità q sono legati dalla funzione di domanda. Ad esempio: data la funzione di domanda q=2000-0,2p R(p)=p(2000-0,2p)= - 0,2p2+2000p Le due più note configurazioni di mercato sono: Concorrenza perfetta a) La produzione ed il consumo di un bene sono suddivisi tra un grande numero di produttori e consumatori b) Sussiste completa libertà di contrattazione c) Sussiste completa libertà di entrare e uscire dal mercato d) Tutte le unità vengono vendute ed acquistate allo stesso prezzo Commenti Monopolio dell’offerta C’è un solo produttore ed un grande numero di consumatori. Il produttore, dei due parametri prezzo e quantità da offrire sul mercato, ne può fissare solo uno, sarà il mercato successivamente a fissare l’altro. Commenti Dobbiamo osservare che in regime di concorrenza perfetta il ricavo in funzione della quantità venduta è R(x)=px Dove il prezzo è costante Sommario

Traslazione d’imposta Equilibrio di mercato In regime di libera concorrenza il prezzo a cui domanda ed offerta si eguagliano, cioè il prezzo a cui la quantità offerta viene tutta acquistata si dice prezzo d’equilibrio di mercato. Per trovare tale prezzo di equilibrio è sufficiente mettere in sistema la funzione di domanda con la funzione di offerta.La soluzione di tale sistema mi dà il prezzo di equilibrio e la quantità a cui tale prezzo viene raggiunto. Se Q=Q(p) è la funzione di domanda, e se O=O(p) è la funzione di offerta, la soluzione dell’equazione Q(p)=O(p) è il prezzo d’equilibrio di mercato. Traslazione d’imposta Sommario