MATEMATICA PER L’ECONOMIA CORSO SERALE I° MODULO Prof.ssa Angela Ghiraldini

ARGOMENTI del MODULO EQUAZIONI di I° e II° GRADO DISEQUAZIONI di I° e II° GRADO MATRICI e DETERMINANTI SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI FUNZIONI REALI ad UNA VARIABILE REALE RICERCA OPERATIVA concetti genrali programmazione lineare metodo grafico metodo del simplesso A. Ghiraldini

MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sulle MATRICI Si definisce matrice di ordine mxn e si indica con una lettera maiuscola, l’insieme di m∙n numeri reali disposti in m righe e n colonne ordinate Con il termine ordine si indica la dimensione della matrice Con la scrittura aij si indica quel numero reale, elemento della matrice, che è posizionato nella i-esima riga e nella j-esima colonna della matrice stessa Una matrice di ordine mxn si dice rettangolare se m≠n Una matrice di ordine mxn si dice quadrata se m=n Gli elementi aij , per cui vale i = j , formano la diagonale principale A. Ghiraldini

MATRICI e DETERMINANTI esempi matrice rettangolare matrice quadrata 5x8 5x5 3 56 11 12 97 -9 32 85 22 -3 45 48 76 8 5 2 42 31 75 89 74 -5 67 55 -1 53 70 33 34 -8 6 7 2 56 66 38 -32 3 9/2 -1 89 54 75 48 45 -9 4 -57 4/5 68 -34 31 43

MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sulle MATRICI Una matrice quadrata si dice diagonale se: aij = 0 per ogni i ≠ j aij ≠ 0 per ogni i = j Una matrice quadrata si dice triangolare superiore se sono nulli tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale Una matrice quadrata si dice triangolare inferiore se sono nulli tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale Una matrice diagonale è triangolare superiore e inferiore A. Ghiraldini

MATRICI e DETERMINANTI esempi rettangolare superiore diagonale inferiore 1/2 -3 49 9 52 -87 4 -6 9/4 4/2 46 78 5 -6 2/9 -5

MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sulle MATRICI Data una matrice A di ordine mxn, si dice trasposta di A, e si indica con AT la matrice di ordine nxm ottenuta da A scambiando le righe con le colonne Una matrice si dice simmetrica se A = AT Una matrice quadrata si dice identica o unitaria se: aij = 1 per i = j aij = 0 per i ≠ j A. Ghiraldini

MATRICI e DETERMINANTI esempi trasposta simmetrica = A = AT 43 -5 11 7 -2 4 64 45 -3 11 2/7 9 6 45 2/7 -3 9 11 6

MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sui DETERMINANTI Si chiama determinante di una matrice quadrata A, e si indica con la scrittura detA , oppure |A|, un numero ad essa associato Se n = 1 , cioè A = (a11), allora detA =|a11 |= a11 Se n = 2 , cioè A = allora detA = = a11a22 – a12a21 A. Ghiraldini a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22

MATRICI e DETERMINANTI esempi: determinanti 2x2 = A = detA =(2/3)11-(-3)20= 202/3 = B = detB = 6(-5)-11(-3/2) = -93/2 2/3 20 -3 11 2/3 20 -3 11 6 3/2 11 -5 6 3/2 11 -5

MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sui DETERMINANTI Se n = 3 , cioè A = allora detA = = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 - a11a32a23 - a21a12a33 oppure REGOLA DI SARRUS Se n = 3, detA si può ottenere sommando i prodotti delle diagonali principali e sottraendo i prodotti delle altre diagonali della tabella ottenuta aggiungendo, alla destra di A, le sue prime due colonne A. Ghiraldini a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

MATRICI e DETERMINANTI esempio determinante 3x3 = A = detA = 6∙1∙10 + (-2)(-2)2 + 5(-3)1/2 + - [2∙1∙5 + (-3)(-2)10 + 6(1/2)(-2)]= -7/2 6 -2 5 -3 1 2 ½ 10 6 -2 5 -3 1 2 ½ 10

MATRICI e DETERMINANTI esempio regola di Sarrus = A detA = 6∙1∙10 + (-2)(-2)2 + 5(-3)(1/2) + -[2∙1∙5 + (1/2)(-2)6 + 10(-3)(-2)] = = 60 + 8 – 15/2 – 10 + 6 – 60 = -7/2 6 -2 5 -3 1 2 ½ 10 6 -2 5 -3 1 2 1/2 10 6 -2 -3 1 2 1/2

MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sui DETERMINANTI Vediamo ora un criterio generale che consente di calcolare il determinante di una matrice quadrata, qualsiasi sia il suo ordine : Sia A una matrice quadrata di ordine n ≥ 2, definiamo minore complementare di un elemento aij , e lo indichiamo con Aij , il determinante della matrice (n-1)x(n-1), ottenuta da A , eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna Sia A una matrice quadrata di ordine n ≥ 2 e sia aij un elemento qualsiasi, si chiama complemento algebrico di aij il minore complementare di aij , preso con il segno positivo se i+j è pari, negativo se i+j è dispari Data una matrice quadrata A di ordine n ≥ 2, il suo determinante si ottiene sommando i prodotti di tutti gli elementi di una qualsiasi riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici A. Ghiraldini

MATRICI e DETERMINANTI esempio minore complementare =A 5 -4 9 2 6 7 -7 8 2 -3 = A22 = 6∙2∙2 + 7(-3)5 + 8∙9(-7) - 5∙2(-7) - 8∙7∙2 - 6∙9(-3) = 5 9 2 = 24 - 105 - 504 + 70 - 112 - 162 = -789 6 3 7 -7 -3 8 2 -4

MATRICI e DETERMINANTI 3 2 1 -5 -1 -3 5 4 esempio = detA = 2 1 -3 -1 1 -3 -1 2 -3 -1 2 1 = 3 -1 2 4 - 2 5 2 4 + 1 5 -1 4 + 5 5 -1 2 dove 1 -1 5 3 -1 5 3 1 5 3 1 -1 2 1 -3 2 4 -1 4 -1 2 -1 2 4 = 2 -1 5 - 1 1 5 - 3 1 -1 = 28 + 9 + 3 = 40 1 -1 5 -1 1 -3 2 4 5 4 5 2 5 2 4 = - 1 -1 5 - 1 3 5 - 3 3 -1 = -14 -13 + 33 = 6 3 -1 5 detA = 3∙40 - 2∙6 + 1∙(-41) + 5∙31 = -1 2 -3 -1 4 5 4 5 -1 detA = 222 5 -1 4 = -1 1 5 - 2 3 5 - 3 3 1 = 9 – 26 – 24 = -41 3 1 5 -1 2 1 -1 2 5 2 5 -1 5 -1 2 = - 1 1 -1 - 2 3 -1 + 1 3 1 = 1 + 22 + 8 = 31 3 1 -1

MATRICI e DETERMINANTI PROPRIETA’ dei DETERMINANTI Se tutti gli elementi di una riga o di una colonna di A sono nulli => detA = 0 Se due righe (o colonne) vengono scambiate => detA cambia segno Se gli elementi di due righe (o col.) sono uguali o proporzionali => detA = 0 A. Ghiraldini

MATRICI e DETERMINANTI esempi 6 -2 0 -3 1 0 = 6∙1∙0+(-2)∙0∙2+(-3)∙(1/2)∙0-2∙1∙0-(1/2)∙0∙6-(-3)(-2)∙0=0 2 ½ 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6 -2 5 -3 1 2 = 6∙1∙10+(-2)∙2∙2+(-3)∙ ½ ∙5-2∙1∙5- ½ ∙2∙6-(-3)(-2)∙10= 2 ½ 10 = 60 - 8 - 15/2 - 10 - 6 - 60 = -63/2 6 5 -2 -3 2 1 = 6∙2∙ ½ +5∙1∙2+(-2)∙(-3)∙10-2∙2(-2)-10∙1∙6-(-3)5∙ ½ = 2 10 ½ = 6 + 10 + 60 + 8 - 60 + 15/2 = +63/2 6 -2 5 6 -2 5 = 6(-2)∙10+(-2)5∙2+5∙6∙½ -2(-2)5-6(-2)∙10-½∙5∙6 = 2 ½ 10 = -120 - 20 + 15 + 20 + 120 - 15 = 0

MATRICI e DETERMINANTI PROPRIETA’ dei DETERMINANTI Se si moltiplicano tutti gli elementi di una riga (o col.) per k reale => kdetA detA = detAT Se una riga (o col.) di A di ordine n , è somma di due n-ple (bi) e (ci) => detA = detB + detC , dove B e C sono le matrici ottenute da A sostituendo la riga ( o col.) in questione rispettivamente con (bi) e con (ci) A. Ghiraldini

MATRICI e DETERMINANTI esempi 6 -2 5 = detA = -3 1 2 = 6∙1∙10 +(-2)∙2∙2 + (-3)∙½∙5 -2∙1∙5 - ½ ∙2∙6 - (-3)(-2)∙10 = 2 ½ 10 = 60 - 8 - 15/2 - 10 - 6 - 60 = -63/2 12 -4 10 -3 1 2 = 12∙1∙10+(-4)∙2∙2+(-3)∙½∙10 -2∙1∙10 - ½∙2∙12 - (-3)(-4)∙10= 2 ½ 10 = 120 - 16 - 15 - 20 - 12 - 120 = -63 = 2detA 6 -3 2 = detAT = -2 1 ½ = 6∙1∙10 + 5(-3)½+ 2∙2(-2) - 5∙1∙2 – (-2)(-3)∙10 - 6∙2∙ ½ = 5 2 10 = 60 - 15/2 - 8 - 10 - 60 - 6 = -63/2

MATRICI e DETERMINANTI esempi =detA= 5∙8∙2 + (-3)7∙3 + (-1)10∙4 - 3∙8∙4 – (-1)(-3)2 - 10∙7∙5= = 80 - 63 - 40 - 96 - 6 - 350= = - 475 -475 = -302 -173 5 -1 4 -1 3 7 =detB= 5∙3∙2 + (-1)7∙3 + (-1)7∙4 - 3∙3∙4 – (-1)(-1)2 - 5∙7∙7 = 3 7 2 = 30 - 21 - 28 - 36 - 2 - 245 = - 302 5 -2 4 -1 5 7 =detC= 5∙5∙2 + (-2)7∙3 + (-1)3∙4 - 3∙5∙4 – (-1)(-2)2 - 3∙7∙5 = 3 3 2 = 50 - 42 - 12 - 60 - 4 - 105 = -173 5 -3 4 -1 8 7 3 10 2

MATRICI e DETERMINANTI PROPRIETA’ dei DETERMINANTI Se A è triangolare di ordine n => detA = a11∙a22∙a33∙…∙aii∙…∙ann Se a tutti gli elementi di una riga (o col.) di A vengono sommati i corrispondenti elementi di un’altra riga (o col.) di A moltiplicati per una costante k => il valore di detA non cambia La somma dei prodotti degli elementi di una riga (o col.) di A per i complementi algebrici dei corrispondenti elementi di un’altra riga (o col.) parallela è nulla (LAPLACE) A. Ghiraldini

MATRICI e DETERMINANTI esempi ½ -3 49 0 9 52 = ½∙9(-87) + (-3)52∙0 + 0∙0∙0 - 0∙9∙49 - 0∙52∙½ - 0(-87)(-3)= 0 0 -87 = - 783/2 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = -783/2 5 -3 4 -1 8 7 = detA = 5∙8∙2 + (-3)7∙3 + (-1)10∙4 - 3∙8∙4 – (-1)(-3)2 - 10∙7∙5= 3 10 2 = 80 - 63 - 40 - 96 - 6 - 350= = - 475 5+(4∙2) -3 4 13 -3 4 -1+(7∙2) 8 7 = 13 8 7 =13∙8∙2+(-3)7∙7+4∙13∙10-7∙8∙4-10∙7∙13-2∙13(-3)= 3+(2∙2) 10 2 7 10 2 =208 – 147 + 520 - 224 – 910 + 78 = -475

MATRICI e DETERMINANTI esempio Laplace =A 2 1 -5 3 1 -5 3 2 -5 3 2 -5 = 3 2 1 -3 - 2 -1 1 -3 + 1 -1 2 -3 + 5 -1 2 1 = 1 -1 5 3 -1 5 3 1 5 3 1 -1 = 3 [(10-3+10)-(-5+10+6)] - 2 [(15-9-5)-(-15-5+9)] + + 1 [(30-18+5)-(-30-9-10)] + 5 [(-6+6-15)-(-30+2+3)] = = 3 (-23-11) – 2 (1+11) +1 (27+49) + 5 (-15+25) = = -102 - 24 + 76 + 50 = 0 3 2 1 -5 -1 -3 5 4

MATRICI e DETERMINANTI CARATTERISTICA di una MATRICE Data una matrice A di ordine mxn, è possibile estrarre da essa delle sottomatrici quadrate, di ordine massimo r, pari al min(m , n), i cui determinanti vengono detti minori Se esiste almeno una sottomatrice di ordine r tale che il suo minore risulti non nullo allora si dice che A ha caratteristica r (dove r = m oppure r = n) Se tutti i minori di ordine r sono nulli si procede con sottomatrici di ordine via via più basso fino a quando si individua un minore non nullo , l’ordine della sottomatrice di cui risulta essere il minore è la caratteristica di A Si definisce caratteristica di una matrice A, e si indica con k(A), l’ordine massimo dei minori, relativi a sottomatrici estratte da A, non nulli A. Ghiraldini

MATRICI e DETERMINANTI esempio caratteristica di A -1 3 2 5 6 -2 4 3 =A -2 6 4 10 3 2 5 -1 2 5 -1 3 5 -1 3 2 -2 4 3 =0 6 4 3 =0 6 -2 3 =0 6 -2 4 =0 6 4 10 -2 4 10 -2 6 10 -2 6 4 Tutti i minori di ordine 3 risultano nulli perché la 1° e 3° riga sono proporzionali -1 3 esiste un minore di ordine 2 non nullo 6 -2 = 2 – 18 = -16 Quindi k(A) = 2

MATRICI e DETERMINANTI RANGO di una MATRICE Si chiama rango per riga di una matrice A, e si indica con r(A), il massimo numero di righe di A che risultano linearmente indipendenti Si chiama rango per colonna di una matrice A, e si indica con r’(A), il massimo numero di colonne di A che risultano linearmente indipendenti Se A è una matrice di ordine mxn, allora k(A) = r(A) = r’(A), cioè la caratteristica di A uguaglia sia il rango per righe che il rango per colonne A. Ghiraldini