ISTITUTO D’ ISTRUZIONE SUPERIORE “ADRIANO TILGHER” via Casacampora, 3 – 80056 ERCOLANO (NA) e-mail: nais01100g@istruzione.it web:istitutotilgher.it

Giocare o non giocare? (questo è il problema!) Gioco Aristotele accostò il gioco alla gioia e alla virtù, F.Schiller affidò al gioco la funzione di tramite per raggiungere la libertà e l’espressione della fantasia, S.Freud segnalò ,durante il gioco, il processo di identificazione del bambino Ciò è vero quando si tratta di gioco senza premi in denaro!!!!

IL GIOCO Le componenti dei giochi sono: - I giocatori. - L’insieme delle azioni possibili. - L’informazione a disposizione per prendere una decisione. - Una descrizione di tutte le preferenze dei giocatori sugli esiti. Si classificano in base: alla cooperazione, la somma, alle loro informazioni

Cooperazione Un gioco si dice cooperativo se c’è la possibilità per i giocatori di sottoscrivere accordi vincolanti, che possono essere di vantaggio per i singoli giocatori (Neumann). Un gioco si dice non cooperativo quando il meccanismo delle decisioni riguarda i singoli giocatori sulla base di ragionamenti individuali (Nash).

SOMMA Si definisce “a somma zero” un gioco nel quale ciò che un partecipante vince viene perso dall’altro.(es. poker) Nei giochi “a somma diversa da zero”, non esiste un rapporto diretto tra vincite e perdite, o meglio non esistono sconfitti in senso stretto (es. Bingo)

GIOCHI SIMULTANEI E SEQUENZIALI I giochi sono simultanei se i giocatori scelgono le azioni contemporaneamente. Es.: vendite all’asta I giochi sono sequenziali se i giocatori scelgono le azioni secondo una successione particolare. Es.: scacchi

TIPI DI INFORMAZIONE In un gioco ad informazione completa le regole del gioco e la funzione di utilità di tutti i giocatori sono conoscenza comune dei giocatori. Un gioco si dice ad informazione perfetta se i giocatori conoscono con certezza la storia delle giocate precedenti.

GIOCHI CONTRO IL CASO Giochi senza interazione strategica tra i giocatori es.(solitario) Dove c’è solo un giocatore che sfida la sorte e in cui la strategia non conta. es. (lotterie, slot machines..)

Gioco d’azzardo, +30% di guadagno nel 2011 Gioco d’azzardo, +30% di guadagno nel 2011. Per lo Stato entrate da 9 miliardi di euro. Gli italiani sono sempre più un popolo di giocatori, di appassionati della scommessa o dell’azzardo puro e semplice, talvolta in forma gravemente compulsiva. Il fenomeno, come detto, va incontro da anni a una crescita vertiginosa. Più che una passione, sembrerebbe una vera e propria epidemia.

Giochi con premi in denaro (generatori di “Pathological gambling” sul giocatore) Si assiste ad un enorme proliferare di sistemi per “vincere matematicamente” offerti da ogni genere di canale di comunicazione. “La legge punisce chi esercita abusivamente la professione medica ma non prevede alcuna pena di chi fa abuso della professione di matematico” (Peres).

PROBABILITA’ E FREQUENZA La probabilità di un evento è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili. P(E)= probabilità che si verifichi l’evento E; N= numero di tutti i casi possibili; K= numero dei casi favorevoli all’evento E. Il valore della probabilità di E può essere : P(E)= La frequenza è il rapporto tra il numero di volte in cui l’evento si è verificato e il numero totale di tentativi effettuati. FT(E)= T= numero totale di tentativi effettuati; ST= numero di successi ottenuti in T tentativi; FT(E)= frequenza dell’evento E,dopo T tentativi.

LA LEGGE EMPIRICA DEL CASO Questa legge può essere applicata solo se l’ evento presenta la stessa probabilità di verificarsi. È fondamentale che l’ esito di ogni tentativo sia indipendente da quello degli altri e che tutti siano effettuati nelle stesse condizioni. Tanto più grande è il numero di tentativi effettuati (al limite, infiniti) tanto più la frequenza di un determinato evento tende alla sua probabilità.

LA COMPENSAZIONE DEGLI SCARTI Un errore nel quale è molto facile cadere, consiste nel credere che la validità della “legge dei grandi numeri“ debba basarsi sulla compensazione finale di un eventuale scarto del valore atteso, riscontrato nell’effettuazione dei tentativi. In realtà ogni risultato fa storia a sé; il calcolo delle probabilità cerca di interpretare i disegni del Caso, ma il caso non si fa certo condizionare dal calcolo delle probabilità, infatti…

Dire che la frequenza tende alla probabilità equivale a dire che diventa sempre più trascurabile l’incidenza di un eventuale scarto del valore atteso.

La “teoria” dei ritardi. Vana speranza. Sin dal 1800 Pierre Simon de Laplace disse: “Quando un numero non esce da molto tempo, i giocatori corrono a coprirlo di denaro. Essi ritengono che quel numero debba uscire al prossimo turno a preferenza degli altri.” Una tale credenza scaturisce da: un’errata convinzione che alla lunga gli scarti debbano essere compensati (legge empirica del caso). dalla considerazione che un ritardo eccessivamente elevato rispetto alle previsioni, abbia oggettivamente una probabilità estremamente bassa di verificarsi.

Bisogna però considerare che il valore della probabilità, (calcolato prima di effettuare tentativi) è diverso da quello che si può ricavare, una volta che si è venuti a conoscenza dell’esito di alcuni tentativi. Si supponga di lanciare una moneta 4 volte di seguito, gli eventi TTTT e TTTC sono equiprobabili, dunque dopo tre TESTE consecutive nulla autorizza a credere che CROCE è più probabile di TESTA; l’evento “non esce mai C” è meno probabile di “C esce una volta”.

Rendimento di un gioco Speranza di vincita Posta = somma pagata Rendimento = probabilità di vincita X incasso R(E)= V x P(E) V = numero di poste in caso di vittoria; P(E)= probabilità di E; R(E)= ammontare delle vincite/ammontare delle giocate==> V x Ft (E) Il risultato è in proporzione al numero della posta di ogni puntata variando, quindi, da evento ad evento.

Convenienza di un gioco Un gioco con R(E)>1 è vantaggioso. Un gioco con R(E)=1 è equo. Un gioco con R(E)<1 è svantaggioso. Sono svantaggiosi, in genere, tutti gli eventi gestiti da un “banco”,ovvero colui che incamera tutte le vincite e che fissa i parametri (a suo piacimento) relativi alle somme da elargire, in caso di vincita. Sono equi, in genere, tutti i giochi che non prevedono un “banco” o che, pur prevedendolo, assegnano il ruolo a turno ai vari partecipanti. Non esistono giochi vantaggiosi!!! N.B. Non esistono giochi con R(E)>1 a meno che non ci siano errori di calcolo o chi gestisce l’evento non sia un benefattore.

Il “Metodo di D’ Alembert” Ti piace vincere facile? Il matematico francese Jean Baptiste d’Alembert, convinto sostenitore della teoria dei ritardi (anche i matematici possono sbagliare!) ideò un sistema per “vincere con certezza”, noto anche come “metodo della martingala”. Nonostante sia stata dimostrata da secoli l’inconsistenza della convinzione che puntando su un particolare evento ritardato si potesse riuscire a ridurre il tempo medio di attesa della sua uscita, il metodo della martingala è ancora usato per la roulette, per il gioco del Lotto e per altri giochi simili.

RAGIONIAMO: Se si pone: N= numero d’ ordine delle estrazioni I= posta iniziale P(N)= posta da giocare all’ estrazione N T(N)=totale delle somme giocate fino all’ estrazione N M= coefficiente di vincita K= coefficiente di incremento delle poste G= guadagno previsto per la puntata iniziale V(N)= vincita all’estrazione N

Si ha: G = M x I - I V(N) = M x P(N) Dato che la somma incassata deve essere uguale alla spesa: M x P(N) = T(N) + M x I - I Valido per tutte i valori di N. Ponendo N=2 P(2) = K x I T(2) = P(2) + I = K x I + I M x K x I = K x I + I + M x I - I M x K x I = K x I + M x I M x K = K + M; M x K – K = M; K( M - 1)= M da cui si ricava (K=M/ M-1)

L’applicazione di un metodo del genere, rischia di portare velocemente alla rovina. Si può calcolare che,già dopo cinque estrazioni,il totale delle somme da investire è uguale a 31xG, dove G è il guadagno previsto, dopo dieci estrazioni arriva a 1.023xG e,dopo venti estrazioni raggiunge il vertiginoso valore di 1.048.575xG. In ogni caso, questo metodo risulta di difficile applicazione anche perché i regolamenti di tutte le case da gioco prevedono un tetto massimo per l’entità delle puntate. K= M/ (M-1)

Diversa è la situazione del Lotto, dove: K= In questa situazione, il capitale da investire cresce in maniera sensibilmente più lenta, ma a causa dei tempi lunghi richiesti dal meccanismo del gioco può, comunque, arrivare a livelli preoccupanti. Da tali considerazioni si spiega perché tanti gente va in rovina con il gioco del Lotto inseguendo i “ritardi”.

CONCLUSIONI NON GIOCARE! Nel caso di giochi di puro azzardo gestiti da un BANCO (ovvero da una figura che raccoglie le somme giocate e stabilisce le quote da ripartire tra i vincitori) la MATEMATICA può fornire solo suggerimenti per minimizzare le perdite e tra questi il più semplice ed efficace è: NON GIOCARE!

BIBLIOGRAFIA Rivista Archimede”l’inconsistenza dei sistemi per vincere al gioco” di ENNIO PERES Teoria dei Giochi di M.S. Bernabei • 1944 “Theory of Games and Economic Behavior” di John von Neumann e Oskar Morgenstern • 1953 John Forbes Nash jr., Premio Nobel per l’Economia nel 1994 http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_giochi http://it.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_di_Nash.

Grazie ai docenti dei corsi PLS 2012 ed in particolare al prof Aniello Buonocore, Da: Ausiello Gabriele Finamore Ciro Giampaglia Girolamo Pane Salvatore Resto Giuseppe Scognamiglio Francesco Veneruso Anna Veneruso Fabio Vitiello Benedetta Casapullo Roberta Cozzolino Libero De luca Carla Oliviero Lucia Punzo Raffaella Morelli Roberta Sorrentino Rossana

Questo lavoro è stato svolto da: 4B liceo 4D liceo Ausiello Gabriele Finamore Ciro Giampaglia Girolamo Resto Giuseppe Scognamiglio Francesco Veneruso Anna Veneruso Fabio Vitiello Benedetta con la collaborazione della Prof.ssa Rita Punzo. Cozzolino Libero Punzo Raffaella Morelli Roberta