Proposte didattiche di Gianfranco Arrigo Dipartimento dell’istruzione e della cultura Bellinzona

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Educazione al pensiero probabilistico nella scuola media

Problema 1: Lancio di un dado classico ideale Risultati possibili: 1 2 3 4 5 6 Probabilità associate: 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Somma delle probabilità: Probabilità di ottenere un numero pari con un lancio: Primo modo di ragionare Ci sono 3 possibilità su 6, perciò: Secondo modo di ragionare deve uscire o il 2 o il 4 o il 6, perciò:

Problema 2: Lancio di due dadi I risultati possibili sono coppie di numeri interi compresi tra 1 a 6. Si possono ottenere, per esempio, con una tabella: 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 3 4 7 6 5 2 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 8 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 9 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 10 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 11 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 12 Se ci interessa la somma dei punti ottenuti in ogni lancio, al posto delle coppie inseriamo le somme.

Problema 2: Lancio di due dadi Risultati possibili: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Probabilità associate: 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Somma delle probabilità: La successione delle probabilità associate si dice anche distribuzione di probabilità.

Problema 3: Lancio di tre dadi Il problema è proponibile alle classi a partire dal secondo biennio di scuola media (allievi dai 14 anni in su). Anche qui ci si interessa alla somma dei punti usciti sui tre dadi lanciati insieme e ci si chiede quali siano le probabilità associate a ogni somma possibile. All’inizio il problema è essenzialmente combinatorio: occorre contare il numero di modi col quale si può ottenere ogni somma.

Totale 216 Problema 3: Lancio di tre dadi s addendi totale modi 3 (1,1,1) 1 1 4 (1,1,2) 3 3 5 (1,1,3) (1,2,2) 3, 3 6 6 (1,1,4) (1,2,3) (2,2,2) 3, 6, 1 10 7 (1,1,5) (1,2,4) (1,3,3) (2,2,3) 3, 6, 3, 3 15 8 (1,1,6) (1,2,5) (1,3,4) (2,2,4) (2,3,3) 3, 6, 6, 3, 3 21 9 (1,2,6) (1,3,5) (1,4,4) (2,3,4) (2,5,2) (3,3,3) 6, 6, 3, 6, 3, 1 25 10 (1,3,6) (1,4,5) (2,3,5) (2,4,4) (2,6,2) (3,3,4) 6, 6, 6, 3, 3, 3 27 11 6, 6, 6, 3, 3, 3 27 12 6, 6, 3, 6, 3, 1 25 13 3, 6, 6, 3, 3 21 14 3, 6, 3, 3 15 15 3, 6, 1 10 16 3, 3 6 17 3 3 18 1 1 ottenibili per simmetria Totale 216

Problema 3: Lancio di tre dadi Risultati possibili e probabilità associate: 3 4 5 6 7 8 9 10 1/216 3/216 6/216 10/216 15/216 21/216 25/216 27/216 11 12 13 14 15 16 17 18 1/216 3/216 6/216 10/216 15/216 21/216 25/216 27/216 La somma delle probabilità è uguale a 1. Istogramma della distribuzione:

Problema 4: Lancio di monete non truccate Lancio di una moneta Risultati possibili: T (testa) C (croce) Probabilità associate: 1/2 1/2 Somma delle probabilità: Lancio di due monete I moneta II moneta risultato probabilità T T TT 1/4 T C TC 1/4 C T CT 1/4 C C CC 1/4 Somma delle probabilità:

Problema 4: Lancio di monete non truccate Lancio di tre monete Schema ad albero I moneta II moneta III moneta Risultati: TTT TTC TCT TCC CTT CTC CCT CCC Probabilità: 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Somma probabilità:

Problema 4: Lancio di monete non truccate Lancio di n monete Simulazione su foglio elettronico Per simulare il verificarsi di un evento aleatorio si usa la funzione CASUALE(). Essa dà a ogni ricalcolo un valore casuale compreso tra 0 e 1. Per simulare il lancio di una moneta non truccata si inserisce, per esempio, la formula =SE(CASUALE()>=0.5;"T";"C"). Nell'esempio che stiamo presentando si sono simulati 320 lanci di 5 monete. I due grafici sovrapposti mostrano l'andamento delle frequenze degli eventi Ei=“appaiono i teste, per i = 1,2,…, 5”. Il primo grafico dà il risultato della simulazione; il secondo riproduce il risultato teorico.

Problema 4: Lancio di monete non truccate Lancio di n monete Simulazione su foglio elettronico

Problema 4: Lancio di monete non truccate Lancio di n monete Teorizzazione Modellizzazione: quanti risultati possibili esistono? Lanciare n monete, o -il che è equivalente- lanciare n volte una moneta, è come distribuire n oggetti (le n monete o gli n lanci) in due cassetti (T e C). Vi sono quindi 2n possibilità. Se ci si interroga, ad esempio, sul verificarsi di k volte T, questo risultato assume la forma di una parola di n lettere, delle quali k sono T e (n–k) sono C. n! Vi sono quindi modi di ottenere k volte T. k! (n–k)!

Problema 4: Lancio di monete non truccate Lancio di n monete Teorizzazione La probabilità teorica di ottenere k volte T su n lanci di una moneta è dunque: n! Tabulazione su foglio elettronico k! (n–k)! 2n Simmetria dei valori di probabilità, fissato n, al variare di k: per esempio, su 10 lanci, ottenere 3 T è come ottenere 7 T.

Problema 5: Estrazione da un’urna opaca Estraendo a caso una biglia, qual è la probabilità che sia bianca? Pr( bianca ) = 2 5 1 + Se in un'urna opaca si mettono 3 biglie nere e 3 bianche, la probabilità che estraendo una biglia a caso essa risulti bianca è evidentemente 3/6 ossia 1/2. Ma, se si avesse la possibilità di distribuire a piacimento le 6 biglie in 2 urne, sarebbe possibile aumentare la probabilità di estrarre una biglia bianca?  

? ? Problema 5: Estrazione da un’urna opaca Soluzione Scelta dell’urna Estrazione biglia Risultato: bianca nera bianca nera Probabilità:

Problema 5: Estrazione da un’urna opaca Aumentando il numero di biglie, come varia la probabilità massima? La probabilità massima si ottiene mettendo una biglia bianca in un’urna e le rimanenti nell’altra. Aumentando il numero di biglie, aumenta la probabilità di pescarne una bianca. I valori di probabilità sembrano tendere verso 0,75. Sarà vero?

Problema 5: Estrazione da un’urna opaca Aumentando il numero di biglie, come varia la probabilità massima? Per 2n biglie, delle quali n bianche e n nere, si ha: La congettura ricavata dai dati calcolati è confermata dalla teoria.

Problema 6: Il modello dell’albero A1) L’albero delle possibilità (caso simmetrico) su 2 su 4 su 8 B1) L’albero delle probabilità (caso di equiprobabilità) somma = 1 somma = 1 somma = 1

Problema 6: Il modello dell’albero B2) L’albero delle probabilità (caso generale) A2) L’albero delle possibilità (caso generale) inizio n1 n2 su n=n1+n2 su n2 su n3

Problema 6: Il modello dell’albero Operazioni sull’albero delle probabilità + o Lungo i rami… si moltiplica “e” logica In orizzontale… si addiziona “o” logica

Problema 7: Gioco dell’oca - un finale carico di tensione Vince colui che per primo arriva esattamente sulla casella FINE. Supponiamo che debba giocare C, poi B, poi A, nell'ordine. Che probabilità ha ciascun giocatore di vincere al primo colpo?

Problema 7: Gioco dell’oca - soluzione gioca C gioca B gioca A

Problema 7: Gioco dell’oca - soluzione Calcoliamo la probabilità che ciascun giocatore ha di vincere al primo colpo: 1 36 Probabilità maggiore

Problema 8: Le tre giocatrici Anna (A), Barbara (B) e Daniela (D) lanciano una dopo l'altra in quest'ordine una moneta. Vince chi ottiene per prima T. Che probabilità ha ciascuna ragazza di vincere? Soluzione lancia A T C lancia B T C lancia D T C lancia A T C ecc.

Problema 8: Le tre giocatrici - soluzione

Problema 9: Un professore originale Il professor Imbroglia un giorno si presentò al suo collega Della Rima, insegnante di lettere: «Noi due portiamo lo stesso numero di scarpe» Gli mostrò un sacco di plastica nera e continuò: «Qui dentro vi sono due paia di scarpe, perfettamente uguali. Domani è il tuo compleanno. Se vuoi che te le regali, devi guadagnartele. Propongo il gioco seguente: ti farò mescolare le quattro scarpe nel sacco, a tuo piacimento. Poi ne estrarrò a caso due. Se le due scarpe estratte saranno una destra e una sinistra, mi terrò le due paia e tu non avrai nessun regalo. Se, invece, estrarrò due scarpe destre o due sinistre, le due paia saranno per te.» È onesto il gioco proposto dal professor Imbroglia?

Problema 9: Un professore originale - soluzione prima estrazione: s d seconda estrazione: s d s d risultati possibili: ss sd ds dd Pr(vince Imbroglia) = Pr(sd o ds) = Pr(vince Della Rima) = Pr(ss o dd) = Il gioco non è onesto perché Imbroglia ha addirittura probabilità doppia di vincere.

Problema 9: Un professore originale - soluzione Che cosa succederebbe se nel sacco Imbroglia mettesse tre paia di scarpe uguali? prima estrazione: s d seconda estrazione: s d s d risultati possibili: ss sd ds dd Pr(vince Imbroglia) = Pr(sd o ds) = Pr(vince Della Rima) = Pr(ss o dd) = Il gioco è ancora disonesto, ma la situazione di Della Rima migliora leggermente…

Problema 9: Un professore originale - soluzione E se il numero delle paia di scarpe fosse n? Pr(vince Imbroglia) = Pr(vince Della Rima) = Quando n diventa molto grande, le due frazioni si avvicinano al valore limite 1/2… n 2 n n grande n 2 n n grande … e allora il gioco diventa onesto!

Problema 10: Play off Situazione I campionati di basket (di hockey o altri) terminano con i cosiddetti play off, un torneo fra le migliori squadre. La caratteristica di queste gare finali è che due squadre s’incontrano fra di loro più volte. Ci si può chiedere: perché partite ripetute? Problema I Rangers e i Devils sono giunti all’ultimo atto dei play off. Le statistiche indicano che la probabilità di vittoria dei Rangers è 0,6. Qual è la probabilità che la squadra ritenuta più debole (i Devils) vinca la sfida con i Rangers se si giocassero 1, 3, 5, 7 partite?

Problema 10: Play off Soluzione Sia Dk l'evento “vincono i Devils in k partite”. Pr(D1) = 0,4 (nei play off non esiste il pareggio) 0,6 0,4 una partita: vincono i Rangers (R) vincono i Devils (D) 0,6 0,4 0,6 0,4 RR RD DR DD tre partite: 0,4 0,4 RDD DRD Pr(D3) = 0,6 · 0,4 · 0,4 + 0,4 · 0,6 · 0,4 + 0,4 · 0,4 = 0,352 Con 3 partite, la probabilità che vinca la più debole è minore.

Problema 10: Play off Soluzione Pr(D5) = Pr(DDD) + + Pr(RDDD) + Pr(DRDD) + Pr(DDRD) + + Pr(RRDDD) + Pr(RDRDD) + Pr(RDDRD) + + Pr(DRRDD) + Pr(DRDRD) + Pr(DDRRD) Con 5 partite, la probabilità che vinca la squadra più debole è ancora minore.

Problema 10: Play off Soluzione Pr(D7) = ? Senza sconfitta: no. casi DDDD 1 Con una sconfitta (in una delle prime 4 gare): RDDDD, … (tutti gli anagrammi di RDDD) Con due sconfitte (nelle prime 5 gare): RRDDDD, … (tutti gli anagrammi di RRDDD) Con tre sconfitte (nelle prime 6 gare): RRRDDDD, … (tutti gli anagrammi di RRRDDD) Con 7 partite, la probabilità che vinca la squadra più debole è ancora minore.

Problema 10: Play off Soluzione Ecco alcuni risultati ottenuti con un foglio elettronico: 11 0.246501868 13 0.228843953

Problema 10: Play off Soluzione Altri risultati ottenuti con un foglio elettronico: 0.3 1 0.300000000 3 0.216000000 5 0.163080000 7 0.126036000 9 0.098808660 11 0.078224791 13 0.062222122

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