Meccanica 6 21 marzo 2011 Cambiamento di sistema di riferimento Trasformazioni di coordinate tra sistemi inerziali (Galileo, Lorentz) Trasformazione delle velocita` e delle accelerazioni Trasformazioni con sistemi non inerziali Sistema in caduta libera e sistema in rotazione uniforme

Sistemi di riferimento inerziali Si dicono inerziali i sistemi in cui vale il primo principio di Newton Nella meccanica newtoniana i sistemi inerziali rivestono un ruolo speciale In essi infatti le leggi fisiche assumono la forma più semplice È spesso utile, nello studio dei sistemi fisici, cambiare sistema di riferimento

Sistemi di riferimento inerziali Il cambiamento più frequente è quello che porta da un sistema inerziale ad un sistema in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso Vedremo tra breve che anche il nuovo sistema è inerziale Solitamente gli assi del secondo sistema si scelgono paralleli agli assi corrispondenti del primo

Sistemi di riferimento inerziali Le equazioni che permettono di passare dal primo sistema (inerziale) S(O,x,y,z) al secondo S’(O’,x’,y’,z’) sono le seguenti O x y z O’ x’ y’ z’ R r r’ Posizione del corpo in S’= Posizione del corpo in S – posizione dell’origine O’ (rispetto a S)

Sistemi di riferimento inerziali Con la condizione che R sia Ove R0 è la posizione dell’origine O’, rispetto ad O al tempo t=0 O x y z O’ x’ y’ z’ R R0 V

Sistemi di riferimento inerziali Per semplicità spesso si sceglie R0=0 e la velocità V parallela ad uno degli assi di S, p.e., l’asse x O z x y O’ z’ x’ y’ R V

Trasformazioni di Galileo Ad esse possiamo aggiungere l’equazione di trasformazione del tempo t’=t che stabilisce che il tempo è sempre lo stesso (il tempo è assoluto) e che non cambia col sistema di riferimento Le equazioni di trasformazione trovate sono dette trasformazioni di Galileo

Trasformazioni inverse Tali trasformazioni sono facilmente invertibili: basta scambiare le coordinate di S con quelle di S’ e cambiare il segno alla velocità Si vede quindi che c’è simmetria tra i due sistemi S e S’ e si intuisce che il sistema S’ debba essere anch’esso inerziale

Trasformazioni di Lorentz In relativita` le trasformazioni di Galileo sono sostituite da quelle di Lorentz

Inerzialità Mostriamo ora che il nuovo sistema di riferimento è davvero inerziale A tal fine calcoliamo la velocità di un punto materiale in entrambi i sistemi Legge di trasformazione delle velocità

Inerzialità E l’accelerazione Legge di trasformazione delle accelerazioni

Inerzialità Quindi il punto materiale ha accelerazione nulla (ovvero velocità costante) nel sistema S’ se e solo se accade lo stesso nel sistema S Ovvero S’ è inerziale se e solo se S è inerziale Ciò significa anche che dato un sistema inerziale possiamo trovare una triplice infinità di sistemi inerziali, tanti quante sono le possibili scelte della velocità di traslazione V

Trasformazioni più generali In linea di principio una qualunque trasformazione di coordinate del tipo non può cambiare la fisica di un fenomeno, ma solo la descrizione che ne facciamo In pratica però esistono trasformazioni (cioè sistemi) per cui la descrizione del fenomeno è molto più semplice che per altre Sono questi, come già detto, i sistemi inerziali

Sistema di riferimento solidale con la terra A volte è però conveniente considerare trasformazioni, un po’ più generali, in sistemi accelerati rispetto ad un sistema inerziale L’accelerazione può essere dovuta a moto traslatorio non rettilineo uniforme e a moto di rotazione È questo, in particolare, il caso importantissimo del sistema di riferimento solidale con la terra, la quale ruota (attorno al proprio asse) e trasla (moto curvilineo di rivoluzione attorno al sole) rispetto ad un sistema inerziale Tale sistema è usato per descrivere i fenomeni atmosferici su larga scala

Sistemi accelerati Invece di considerare il caso più generale, ci limiteremo a considerare il caso di un sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato parallelamente ad un asse coordinato (p.e. z) Il caso di un sistema in moto rotatorio uniforme attorno ad un asse coordinato (p.e. z)

Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato Le equazioni di trasformazione sono O y x z r r’ R O’ y’ x’ z’

Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato Un caso particolare di questa trasformazione si ha per un sistema S’ in caduta libera, cioè che accelera verso il basso (rispetto a S) con accelerazione A=g (sempre rispetto a S) e che inizialmente (per t=0) è fermo con l’origine O’ coincidente con O In altri termini S’ è il sistema solidale con un grave in caduta libera

Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato Le equazioni di trasformazione per la velocità e l’accelerazione

Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato In S’ le coordinate x’, y’, z’ sono costanti, quindi le componenti della velocità in S’ sono identicamente nulle e lo stesso vale per l’accelerazione Ritroviamo così (in S) le leggi della caduta libera di Galileo (ricordiamo che A=g)

Dinamica in un sistema accelerato Dalle eqq. precedenti vediamo subito che nel sistema S’ il secondo principio di Newton non è valido Infatti benché in S’ la forza di gravità terrestre continui ad agire, abbiamo Si può però estendere il secondo principio ai sistemi accelerati introducendo opportune forze “d’inerzia” Fi accanto alle forze “reali” (Fg)

Dinamica in un sistema accelerato In S’ la forza d’inerzia bilancia esattamente la forza di gravità, per cui in S’ (sistema che trasla di moto uniformemente accelerato con A=g rispetto a S) il grave, inizialmente fermo, continua a rimanere fermo

Sistema in moto rotatorio uniforme Consideriamo un sistema S’ con asse z’ coincidente con l’asse z del sistema S, in rotazione (rispetto a S) con velocità angolare  attorno a z Le equazioni di trasformazione sono z’ z dr dr’ r(t+dt) r(t) y’ Spostamento del corpo in S’= Spostamento del corpo in S – Spost. dovuto alla rotazione di S’ (rispetto a S) O O’ y x x’

O’ x’ y’ z’ r’(t) r’(t+dt) dr’ O x y z r(t) r(t+dt) dr

Sistema in moto rotatorio uniforme E per la velocità e l’accelerazione

Sistema in moto rotatorio uniforme Un caso particolare di questa trasformazione si ha per un sistema S’ solidale con un corpo che ruota in S (trattenuto p.e. da una fune) di moto circolare uniforme attorno a z In tal caso il corpo ha velocità identicamente nulla in S’ e, di conseguenza, anche accelerazione nulla In tal caso le eqq. diventano Abbiamo ritrovato (nel sistema S) le eqq. del moto circolare uniforme

Dinamica in un sistema accelerato Di nuovo, le eqq. precedenti nel sistema S’ sono incompatibili col secondo principio di Newton Infatti benché in S’ la forza della fune Ff continui ad agire sul corpo in rotazione, abbiamo Si può però estendere il secondo principio al sistema accelerato S’ introducendo un’opportuna forza “d’inerzia” Fi accanto alla forza “reale” Ff Fi è la famosa forza centrifuga, che ha diritto all’esistenza solo nel sistema accelerato e non in S

Dinamica in un sistema accelerato In S’ la forza centrifuga bilancia esattamente la forza centripeta della fune, per cui in S’ (sistema che ruota di moto circolare uniforme rispetto a S) il corpo, inizialmente fermo, continua a rimanere fermo