ITIS “G.Galilei” – Crema Lab. Calcolo e Statistica Test di ipotesi

Ipotesi Accetta / Rifiutata Test di ipotesi Popolazione X Formulazione ipotesi Estrazione campione campione Analisi dati/parametri campione Test NON Parametrico Test Parametrico Ipotesi Accetta / Rifiutata

Ipotesi statistica Affermazione o asserzione (congettura) su un parametro di una popolazione Esempio se J è un parametro di una popolazione Ipotesi  J = J0 Estraggo campione Faccio una stima di J  E’ abbastanza vicina a J0 ? Accetto l’ipotesi di partenza ?

Ipotesi nulla E’ l’ipotesi da cui si parte in una verifica su una popolazione Indicata con H0 Es. H0 : J = J0 Ogni altra ipotesi è detta ipotesi alternativa ( indicata con H1 ) Es. H1 : J  J0 oppure H1 : J > J0 H1 : J < J0

Regole di decisione In base al parametro (J) da verificare (sulla popolazione) si sceglie una stimatore corretto e si prende in considerazione la sua distribuzione di probabilità ad esempio: se J è la media della popolazione, lo stimatore è la media campionaria se J è la probabilità, lo stimatore è la frequenza campionaria

QUINDI… Si considera la distribuzione dello stimatore (che verosimilmente segue la distribuzione normale) per calcolare la probabilità di ricavare dal campione una stima diversa da J OPERATIVAMENTE SI FISSA IL Livello di significatività: a (è la differenza massima ammessa tra lo stimatore e il parametro) Si indica la zona (1- a ) come livello di fiducia di accettabilità dello stimatore Infine si standardizza lo stimatore e si valuta Z

accettazione 1-a Dove cade Z? a rifiuto -z1-a/2 z1-a/2

Se |Z|>= Z1-a/2 si RIFIUTA l’ipotesi nulla: Cioè con probabilità a si valuta eccessiva la differenza tra il valore stimato e il valore del parametro Se |Z|< Z1-a/2 si ACCETTA l’ipotesi nulla H0 Questa regola di decisione è chiamata TEST DI SIGNIFICATIVITA’ (in questo caso test bilaterale o a due code)

Caso in cui H1 : J < J0 accettazione 1-a a rifiuto -z1-a Test unilaterale sinistro

Caso in cui H1 : J > J0 accettazione 1-a a rifiuto z1-a Test unilaterale destro

Convenzionalmente si fa riferimento a valori particolari di significatività del Test: a = 0,05 test SIGNIFICATIVO a = 0,01 test MOLTO SIGNIFICATIVO

Errori di I e II specie = a = b In base alla scelta di a si può incappare in due tipi di errore: I) rifiutare l’ipotesi nulla, quando questa è VERA II) accettare l’ipotesi nulla, quando questa è FALSA Si definiscono le probabilità per i due errori: P(rifiuto H0 | H0 ) P(accetto H0 | H1 ) = a = b

Situazione reale Errore II specie Ok P = 1 - a Accetto H0 P = b H0 Vera H0 Falsa Decisione Accetto H0 Ok P = 1 - a Errore II specie P = b Rifiuto H0 Errore I specie P = a Ok P = 1 - b

Un esempio : test unilaterale dx H0 H1

Curva caratteristica E’ data dalla successione dei valori di b quando l’ipotesi alternativa è composta n ipotesi semplici b1 , b2, b3, b4 … bn E’ definita anche la curva di POTENZA del test, fatta dai punti gi = 1- bi

Verifica di ipotesi su MEDIA Campione grande Campione piccolo (s2 nota) Campione piccolo (s2 non specificata) distrib. di Student gradi di libertà n = n-1

Per calcolare il valore teorico della distribuzione di Student con Excel bisogna tenere presente che : a livello di significatività n gradi di libertà = (n-1) nel caso di test a due code nta = INV.T(a , n) nel caso di test unil. DX nta = INV.T(2a , n) nel caso di test unil. SX nta = - INV.T(2a , n)

Verifica di ipotesi su frequenze Si pone l’ipotesi nulla (H0) sulla percentuale della popolazione che ha una proprietà Si estrae un campione e si usa la frequenza rilevata come elemento di confronto Approssimazione della distribuzione binomiale con normale