Democritos 2007 IL CAOS Ing. Marco Affinito

Paradigma classico La matematica è il metodo più efficace e attendibile che noi conosciamo per capire ciò che ci circonda. Le leggi matematiche sul moto dei corpi di Newton si basano su equazioni differenziali, cioè su equazioni che coinvolgono certe quantità e le velocità con cui queste quantità variano (differenza fra i suoi valori in istanti di tempo vicini). Democritos 2007

Proprietà Esistenza e unicità della soluzione. Paradigma del determinismo classico: “Se le equazioni prescrivono l’evoluzione di un sistema in modo unico, senza alcun apporto esterno casuale, il comportamento del sistema è specificato in modo unico per sempre.” Democritos 2007

…ma in realtà… 5 Settembre 1977. Partono, a distanza di 16 giorni l’uno dall’altro due sonde gemelle (i Voyager 1 e 2) per l’esplorazione del sistema solare. Arrivata a Saturno, la prima individua un nuovo satellite, Iperione, dalla forma irregolare a patata, che compie piroette irregolari intorno alla sua orbita. Se anche la sonda avesse misurato con estrema precisione il suo moto, sarebbe stato impossibile prevedere il punto esatto in cui la seconda sonda l’avrebbe incontrata 16 giorni più tardi. Democritos 2007

Origini del caos Il caos nasce dal comportamento dei sistemi non lineari per certi valori dei parametri del sistema. Si verifica una grande sensibilità ai valori iniziali La scienza di oggi mostra che la natura è inesorabilmente non lineare! Il moto dei pianeti, le oscillazioni di un pendolo, il flusso delle correnti atmosferiche, lo scorrere più o meno regolare dell'acqua in un fiume, il numero di insetti che anno dopo anno popolano una certa regione, l'andamento giornaliero dei prezzi delle azioni nei mercati finanziari e così via. Democritos 2007

Funzioni non lineari Anche semplici funzioni non lineari possono mostrare un comportamento caotico Funzione di Mandelbrot: Z(n+1) = Z(n)2 + C con C costante e n = 0, 1, 2, … Si inizia assegnando un valore iniziale Z(0) e calcolando il successivo: Z(1) = Z(0)2 + C Poi: Z(2) = Z(1)2 + C E così via… Democritos 2007

Convergenza Sequenza di valori con C = 0.2 e Zini = 0 Z1(n) 0.0000 1 0.2000 2 0.2400 3 0.2576 4 0.2664 5 0.2709 6 0.2734 7 0.2748 8 0.2755 9 0.2759 10 0.2761 11 0.2762 12 0.2763 13 14 0.2764 15 16 Convergenza Sequenza di valori con C = 0.2 e Zini = 0 Converge al punto Z* = 0.2764

Funzione di Mandelbrot Fissando il valore Z(0) = 0: Per valori positivi di C <= 0.25 la successione converge a un punto fisso che è la soluzione dell’equazione: Z = Z2 + C Il punto di convergenza è detto attrattore Per valori negativi di C, fino a circa -0.75, la sequenza converge con un oscillazione smorzata Per valori di C intorno a -0.76 si verifica la prima biforcazione (attrattore a due valori) Democritos 2007

Caos nella funzione di Mandelbrot Diminuendo ancora C si verificano sempre nuove biforcazioni con attrattori multipli a 4, 8, 16, 32, … punti Il comportamento caotico inizia con valori di C intorno a -1.42, quando il numero di punti di attrazione diventa ∞ Fornendo valori iniziali di Z leggermente diversi si può verificare l‘ "effetto farfalla", ovvero l'estrema sensibilità ai valori iniziali Inizialmente procedono apparentemente in modo uguale, ma dopo soltanto poche decine di iterazioni le due sequenze divergono completamente, rendendo impossibile fare qualsiasi previsione! Democritos 2007

Il caos Sequenza caotica (C = -1.7) Z1(n) 0.0000 1 -1.7000 2 1.1900 3 -0.2839 4 -1.6194 5 0.9225 6 -0.8491 7 -0.9791 8 -0.7414 9 -1.1503 10 -0.3768 11 -1.5581 12 0.7275 13 -1.1707 14 -0.3295 15 -1.5914 16 0.8326 Sequenza caotica (C = -1.7) I valori si susseguono senza mai ripetersi Tuttavia i valori restano sempre entro certi limiti La regione coperta dai punti della successione si definisce attrattore caotico oppure strano attrattore