Elaborazione dei segnali mediante circuiti analogici o digitali.

Simboli logici e tabelle della verita` delle porte logiche elementari.

Porta NOR realizzata con interruttori ideali.

Porta NAND realizzata con interruttori ideali.

Circuiti integrati Le porte logiche che abbiamo analizzato precedentemente sono contenute all’interno di circuiti integrati come quelli in figura

Proprietà Per gli operatori AND e OR valgono le seguenti proprietà: Per l’operatore NOT si provano le seguenti identità: commutativa x1+x2 = x2+x1 x1 x2 = x2 x1 associativa x1+x2+x3 = x1+(x2+x3) x1 x2 x3 = x1(x2 x3) distributiva del prodotto rispetto alla somma x1 x2 + x1 x3 = x1(x2+x3) x + x = 1 x  x = 0 x = x

Teorema di De Morgan Per negare una funzione occorre negare ogni singola variabile e scambiare la OR con la AND e viceversa: (x · y) = x + y (x+y) = x · y

Forma canonica È possibile esprimere una funzione booleana tramite espressione analitica oppure tramite la tabella di verità. Le funzioni booleane possono essere scritte in vari modi ma vi sono delle espressioni che vengono considerate standard. Per far ciò definiamo i mintermini e i maxtermini

Mintermini Considerando una riga della tabella di verità si definisce mintermine il prodotto delle variabili booleane relative a tal riga prese in forma diretta o complementata a seconda se assumono valore 1 o 0.

Maxtermini Si definisca maxtermine la somma delle variabili booleane prese in forma diretta o negata a seconda se assumono valore 0 o 1. Con n variabili abbiamo mintermini e maxtermini

1° Forma Canonica 2° Forma Canonica Una funzione logica è esprimibile come somma dei minterm che danno uscita 1. 2° Forma Canonica Una funzione logica è esprimibile come prodotto dei maxterm che danno uscita 0.

Esempio Date tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la funzione Y che vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Y = ABC + ABC + ABC = (A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)

Mappa di Karnaugh Storia Utilizzo La mappa di Karnaugh è stata inventata nel 1953 da Maurice Karnaugh, un ingegnere in Telecomunicazioni presso i Bell Laboratories Utilizzo Una mappa di Karnaugh riguarda una funzione booleana di un numero poco elevato di variabili e si costruisce a partire dalla tabella della verità di tale funzione. Il metodo delle mappe di Karnaugh ha il vantaggio di essere un procedimento grafico piuttosto intuitivo e quindi di permettere semplificazioni della funzione booleana spesso più immediate di quelle ottenibili solo con modifiche algebriche.

Mappa di Karnaugh Metodo di semplificazione Raggruppare gli 1 adiacenti in blocchi di 2n (2, 4, 8, 16) Formare i gruppi più grandi possibile e nel minor numero possibile Ogni gruppo corrisponde a un fattore in cui sono presenti le variabili che non cambiano nel passaggio da una casella all’altra Le variabili vanno scritte dirette se valgono 1 e negate se valgono 0 La funzione semplificata è la somma dei termini corrispondenti ai gruppi formati sulla mappa

Mappa di Karnaugh Esempio Consideriamo la funzione: f (A, B, C, D) Essendoci 16 combinazioni delle 4 varibili booleane, anche la mappa di Karnaugh dovrà avere 16 posizioni. Il modo più conveniente per disporle è in una tabella 4x4.